函数的基本性质单调性.doc

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1、1.3.1 函数基本性质单调性目标：函数单调性的讨论与证明一.函数的单调性.1.增函数的定义设函数在区间I上有定义，如果对于任意的I，当时，都有，则称函数在区间I上为增函数，相应的区间I则称为函数的递增区间.直观上，函数在区间I上为增函数，就是在区间I上小的对应小的，大的对应大的，函数值随着的增大而增大. 所以如果函数在区间I上为增函数，那么在区间I上函数的图象（从左到右）是不断地上升的.比如函数在区间上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数在区间上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数在区间上为增函数，图象（从左到右）上升.2.减函数的定义设函数在区间I上有定义，如果对于任意的I，当时，

2、都有，则称函数在区间I上为减函数，相应的区间I则称为函数的递减区间.直观上，函数在区间I上为减函数，就是在区间I上小的对应大的，大的对应小的，函数值随着的增大而减小. 所以如果函数在区间I上为减函数，那么在区间I上函数的图象（从左到右）是不断地下降的.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.3.函数的单调性和单调区间.如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数在区间I具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间. 例1.函数在区间上为减函数、在区间上为增函数

3、，也可以说成函数在区间上单调递减、在区间上单调递增. 而区间和都是函数的单调区间.4.增、减函数的图示.例2.下图是定义在上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数.注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭.5.函数单调性的讨论或证明（步骤三步走）.借助于函数的图象，可以粗略地得到函数的单调区间，但严格的讨论或证明必须按定义的要求进行. 具体步骤如下：设I，且.计算，并讨论其符号，以确定或.根据作出结论.例3.证明函数在区间上是增函数.二.函数的最大、最小值设函数的定义域为.如果存在，使得对于任意的，都有，则称为函数的最大值

4、（这时我们也说函数在点处取得最大值），记为：.如果存在，使得对于任意的，都有，则称为函数的最小值（这时我们也说函数在点处取得最小值），记为：.例4.求下列函数的最值.关于函数的最大、最小值我们有如下的结论：设函数在闭区间上有定义.如果是闭区间上的增函数，则函数在点处取得最小值；在点处取得最大值.如果是闭区间上的减函数，则函数在点处取得最大值；在点处取得最小值.例5.求函数的值域.三.课堂练习：练习.四.复合函数的单调性给定函数，及函数，经复合后得到关于的复合函数，设当时，内函数单调，且相应的值域区间为E（E=u|，），如果外函数在时也是单调的，那么复合函数作为的函数在时也是单调的.复合函数的单

5、调性遵循“同增异减”的原则.例6.确定函数的单调性.五.单调函数的有关结论.增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数.非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变.奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性.偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性.注意：一些常用的函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数等）.六.小结1.关于函数单调性的理解，要注意以下几点：.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数在给定区间上的单调性，反映了函数在这个区间上函数值的变化趋势，是函数

6、在区间上的整体性质. 因此要证明函数在上是递增的，就必须证明对于区间上任意的两个值，当时，都有成立. 若要证明函数在上不是递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到两个特殊的，当时，反而有即可.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制. 比如函数 在区间上都是减函数，但不能说函数在整个定义域即内是减函数. 2.注意求复合函数单调区间的步骤：.确定函数的定义域；.将复合函数分解为基本初等函数；.分别确定这两个函数的单调区间.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.七.典型例题1.函数的单调递减区间是 （ ） A. B. C. D. 2.函数的单调性为 （ ） A.在上为减函数 B.在

7、上为增函数，在上为减函数 C.不能确定 D.在 上为增函数3.如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中不正确的是 （ ） A. B.C. D.4.作出函数的图象，并指出函数的单调区间.5.确定函数的单调性.6.确定函数的单调性.7.如果函数在区间上是增函数，求的取值范围.8.设函数为R上的单调函数，求证方程在R上至多有一个实根.9.设为定义在上的增函数，如果对于任意的，都有.求证.若，解不等式.10.设函数是实数集R上的增函数，令. .求证是R上的增函数；.若，求证：.11.若二次函数满足，且. .求的解析式；.若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.12.已知函数，其中. .当时，作

8、函数的图象；.设在区间上的最小值为，求的表达式.八.补充练习1.函数在上是增函数，则的递增区间是 （ ） A. B. C. D.2.函数在定义域M内为增函数，且，则下列函数在M内不是增函数的是 （ ） A. B. C. D.3.已知函数在区间上的最大值为3，最小值为2， 则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.4.函数在内递减，求实数的取值范围.5.求函数的递减区间.6.确定下列函数的单调性.7.已知函数.当时，求函数的最小值.若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.8.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.9.已知函数是定义在上的减函数，满足，.求；.若，求的取值范围.10.函数是定义在上的减函数，对于任意的、，都有 ，且. .求的值.解不等式.11.是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，而在区间上是增函数？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.12.定义在上的函数满足：对任意实数、总有，且当时，. .试求的值；.判断的单调性并证明你的结论.