定积分计算方法精.ppt

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1、定积分计算方法1第1页，本讲稿共38页定积分的换元法定积分的换元法n n定积分换元法：设函数定积分换元法：设函数f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,而而x=(t)满足下列条件：满足下列条件：x=(t)在区间在区间,上单调且有连续导数；上单调且有连续导数；()=a,()=b，且当，且当t在区间在区间,上变化上变化时时,x=(t)的值在的值在a,b上变化，则有换元公式上变化，则有换元公式口诀：口诀：口诀：口诀：“换元换元换元换元”同时要同时要同时要同时要“换限换限换限换限”！(不换元就不要换限不换元就不要换限不换元就不要换限不换元就不要换限)2第2页，本讲稿共38页换元法证明换元法证明n n证

2、：证：3第3页，本讲稿共38页换元法注意点换元法注意点n n1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是连续的；连续的；n n2：变换函数在变换后的区间内是单调的；：变换函数在变换后的区间内是单调的；n n3：变换后，积分上限、下限要发生变化。：变换后，积分上限、下限要发生变化。4第4页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解：解：5第5页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解6第6页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n

3、*例：计算例：计算n n解解原式原式7第7页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解：解：令令原式原式注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！8第8页，本讲稿共38页由奇偶函数的对称性由奇偶函数的对称性由奇偶函数的对称性由奇偶函数的对称性以及定积分的几何意以及定积分的几何意以及定积分的几何意以及定积分的几何意义也可说明结论正确义也可说明结论正确义也可说明结论正确义也可说明结论正确例题与讲解例题与讲解n n例：设例：设例：设例：设f f(x x)在在在

4、在-a a,a a 上连续上连续上连续上连续,则则则则n n证证9第9页，本讲稿共38页奇函数在对称区间上的积分奇函数在对称区间上的积分n n若若f(x)是对称区间是对称区间-a,a上的奇函数上的奇函数(如右图如右图)n n由于奇函数关于原点对称由于奇函数关于原点对称,结合结合定积分的几何意义，可以得出定积分的几何意义，可以得出yxOy=f(x)-aaAA10第10页，本讲稿共38页偶函数在对称区间上的积分偶函数在对称区间上的积分n n若若f(x)是对称区间是对称区间-a,a上的偶函数上的偶函数(如右图如右图)n n由于偶函数关于由于偶函数关于y 轴对称轴对称,结合结合定积分的几何意义，可以得

5、出定积分的几何意义，可以得出y=f(x)yxO-aaAA11第11页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：利用对称性，计算例：利用对称性，计算n n解：由于解：由于sinx在在-,上为上为奇函数奇函数,故故12第12页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算因为因为因为因为为奇函数，为奇函数，为奇函数，为奇函数，n n解：解：为偶函数，为偶函数，为偶函数，为偶函数，因此：因此：因此：因此：13第13页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算 n n解：设解：设14第14页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n*例：计算例：计算n n解解注意：此例

6、用的是第一换元法，原积分变量注意：此例用的是第一换元法，原积分变量注意：此例用的是第一换元法，原积分变量注意：此例用的是第一换元法，原积分变量 并未消失，因此并未消失，因此并未消失，因此并未消失，因此,这种情形的换元，积分上、下限不变。这种情形的换元，积分上、下限不变。这种情形的换元，积分上、下限不变。这种情形的换元，积分上、下限不变。n n*例：计算例：计算n n解解15第15页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：若例：若f(x)在在0,1上连续上连续,试证明：试证明：并由此计算并由此计算并由此计算并由此计算n n证证16第16页，本讲稿共38页续上页续上页移项移项,整理得整理得1

7、7第17页，本讲稿共38页定积分的分部积分法定积分的分部积分法n n设函数设函数u(x)、v(x)以下简记为以下简记为u、v在在a,b上有上有连续的导数连续的导数,则有则有即把先积出来的那一部分代上、下限求值即把先积出来的那一部分代上、下限求值即把先积出来的那一部分代上、下限求值即把先积出来的那一部分代上、下限求值,余下的部余下的部余下的部余下的部分继续积分分继续积分分继续积分分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上、这样做比完全把原函数求出来再代上、这样做比完全把原函数求出来再代上、这样做比完全把原函数求出来再代上、下限简便一些。下限简便一些。下限简便一些。下限简便一些。n n推导推导1

8、8第18页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解令令则则19第19页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解20第20页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解21第21页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解22第22页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算n n解解分别用定积分的分部积分法求右端两个积分分别用定积分的分部积分法求右端两个积分分别用定积分的分部积分法求右端两个积分分别用定积分的分部积分法求右端两个积分于是于是于是于是23第23页，本讲稿共38

9、页例题与讲解例题与讲解(换元法结合分部积分法换元法结合分部积分法)n n例：计算例：计算n n解解设设设设24第24页，本讲稿共38页例题与讲解例题与讲解25第25页，本讲稿共38页小结小结n n定积分的换元法定积分的换元法对称性的应用、几个特殊积分等式对称性的应用、几个特殊积分等式n n定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分公式的区别）（注意与不定积分公式的区别）26第26页，本讲稿共38页练习练习解答解答解答解答解答解答解答解答27第27页，本讲稿共38页练习练习解答解答解答解答解答解答解答解答解答解答28第28页，本讲稿共38页解答解答返回习题返回习题29第29页，本讲稿共38页解答解答返回习题返回习题30第30页，本讲稿共38页解答解答x=asinty=acost2t=u31第31页，本讲稿共38页解答解答x=1-tdx=-dt返回习题返回习题32第32页，本讲稿共38页解答解答33第33页，本讲稿共38页解答解答34第34页，本讲稿共38页解答解答35第35页，本讲稿共38页解答解答36第36页，本讲稿共38页解答解答x=-t37第37页，本讲稿共38页解答解答10.设在区间上连续，且证明：（*）对（*）两边同时取定积分38第38页，本讲稿共38页