高级宏观经济学数学附录优秀课件.ppt

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1、高级宏观经济学数学附录1第1页，本讲稿共43页1 1、矩阵代数、矩阵代数 2 2、微积分、微积分2第2页，本讲稿共43页一、矩阵代数一、矩阵代数n1 1、特征值和特征向量、特征值和特征向量n令令A A是是nnnn方阵，方阵，v v是非零的是非零的n n维向量，维向量，a a是纯是纯量（实数或复数），使得量（实数或复数），使得Av=avAv=av，则称，则称a a是是A A的的特征值特征值，v v是是A A对应于特征值的对应于特征值的特征向量特征向量。n上式可写成上式可写成：(A-aI)v=0,(A-aI)v=0,如果想要如果想要v v不为零，不为零，则（则（A-aI)A-aI)的行列式必为零，

2、即的行列式必为零，即det(A-aI)=0det(A-aI)=0。该式被称为该式被称为特征方程特征方程。n特征方程的解就是特征方程的解就是A A的特征值，每一个特征值的特征值，每一个特征值都确定一个特征向量。都确定一个特征向量。3第3页，本讲稿共43页n2 2、矩阵的对角化、矩阵的对角化n将矩阵将矩阵A A的特征向量组成一个矩阵的特征向量组成一个矩阵V V（特征向量矩阵）（特征向量矩阵），将，将A A的特征值组成一个对角矩阵的特征值组成一个对角矩阵D D，则：，则：V V-1-1 AV=D AV=Dn3 3、结论、结论n第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量第一，如果所有的特征值都不相同

3、，那么特征向量矩阵是非奇异的，即矩阵是非奇异的，即det(V)0det(V)0。n第二，特征值对角矩阵的行列式与迹（主对角线第二，特征值对角矩阵的行列式与迹（主对角线上各元素之和）分别等于原始矩阵的行列式与迹。上各元素之和）分别等于原始矩阵的行列式与迹。4第4页，本讲稿共43页概念检验概念检验已知矩阵已知矩阵计算该矩阵的特征值、特征向量、对角计算该矩阵的特征值、特征向量、对角矩阵、特征向量矩阵及其逆矩阵。矩阵、特征向量矩阵及其逆矩阵。5第5页，本讲稿共43页构造：构造：特征多项式：特征多项式：特征特征值：值：特征值对角矩阵：特征值对角矩阵：6第6页，本讲稿共43页每个特征值对应每个特征值对应一

4、个特征向量一个特征向量将其中一个标将其中一个标准化为准化为1 1同理可计算出同理可计算出v v2 2特征向量矩阵特征向量矩阵7第7页，本讲稿共43页特征向量特征向量矩阵的逆矩阵的逆矩阵矩阵特征向量特征向量矩阵的余矩阵的余子式矩阵子式矩阵伴随矩阵等于伴随矩阵等于余子式矩阵的余子式矩阵的转置矩阵转置矩阵8第8页，本讲稿共43页二、微积分中的一些有用结论二、微积分中的一些有用结论n1 1、隐函数法则、隐函数法则n当当f(xf(x1 1,x,x2 2)=0)=0时，隐含着时，隐含着x x2 2是是x x1 1的一个函数，的一个函数，隐函数定理用来计算隐函数定理用来计算x x2 2对对x x1 1的导数

5、：的导数：快速问答：下式中快速问答：下式中x2对对x1的导数等于多少？的导数等于多少？9第9页，本讲稿共43页2 2、泰勒定理、泰勒定理n令令f f（x x）是一元函数。泰勒定理认为围绕点）是一元函数。泰勒定理认为围绕点x*x*的函的函数的近似式为：数的近似式为：f(xf(x1 1,x,x2 2)围绕围绕(x(x1 1*,x*,x2 2*)*)的线性近似为：的线性近似为：泰勒定理可用于将非线性函数进行线性近似。泰勒定理可用于将非线性函数进行线性近似。10第10页，本讲稿共43页3 3、罗必塔法则：、罗必塔法则：用于计算用于计算0/00/0和和/不定型。不定型。分部积分分部积分4 4、微分、微分

6、11第11页，本讲稿共43页概念检验：计算积分概念检验：计算积分解答解答12第12页，本讲稿共43页5 5、微积分的基本原理、微积分的基本原理对原函数对原函数F(t)微分得到导数微分得到导数f(t)。不定积分不定积分定积分定积分积分是微分的逆过程。积分是微分的逆过程。积分是微分的逆过程。积分是微分的逆过程。13第13页，本讲稿共43页6 6、积分的微分法则、积分的微分法则不定积分对积分变量不定积分对积分变量t t的导数就是积分函数自身。的导数就是积分函数自身。对定积对定积分微分分微分令令F(a,b,c)F(a,b,c)为描述为描述f(c,t)f(c,t)的定积分的函的定积分的函数，其中数，其中

7、a a和和b b分别是积分的下限和上限，分别是积分的下限和上限，c c是一个参数。是一个参数。对不定积对不定积分的微分分的微分14第14页，本讲稿共43页对定积分微分的莱布尼兹法则对定积分微分的莱布尼兹法则15第15页，本讲稿共43页 微分方程是研究动态经济学的基本工具。微分方程是研究动态经济学的基本工具。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。以及能否收敛于均衡。16第16页，本讲稿共43页n一、导论一、导论n变量为导数的方程称为微分方程。变量为导数的方程称为微分方程。n如果只有一个自变量，称为常微分方程（如果只有一个自变量，称

8、为常微分方程（ODEODE）。）。n常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。n宏观经济学使用的宏观经济学使用的ODEODE都是对时间的导数。都是对时间的导数。n例：例：n若若x(t)x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量变量y y而依赖于时间而依赖于时间t,t,即即t t不独立出现）。不独立出现）。n若若x(t)x(t)0 0，方程被称为齐次的。，方程被称为齐次的。17第17页，本讲稿共43页微分方程的解法微分方程的解法n求解微分方程的目的在于找到变量的变化特求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。征。

9、n第一种解法：图解法。只能用于自控方程。第一种解法：图解法。只能用于自控方程。n第二种解法：解析法。可以找到精确的解，第二种解法：解析法。可以找到精确的解，只能用于线性函数。只能用于线性函数。n第三种解法：数值分析。使用现存软件，如第三种解法：数值分析。使用现存软件，如MatlabMatlab的子程序的子程序ODE23ODE23和和ODE45ODE45。18第18页，本讲稿共43页二、一阶常微分方程的解法二、一阶常微分方程的解法n1 1、图解法。、图解法。n例例1 1：一阶线性自控常微分方程：一阶线性自控常微分方程：n其中其中a a和和x x是常数且大于是常数且大于0 0。n以以y y为横轴，

10、以为横轴，以 为纵轴。由于为纵轴。由于 是是y y对对时间的导数，因此，时间的导数，因此，为正时，意味着为正时，意味着y y随着时间的变化而增加；随着时间的变化而增加；为负则减少。为负则减少。19第19页，本讲稿共43页n图形为直线。图形为直线。n在纵轴的截距为在纵轴的截距为-x-x，在，在横轴的截距为横轴的截距为-x/a-x/a。n在在y*y*点，点，0 0，即，即y y不会不会随时间而变化，随时间而变化，y*y*称为称为y y的稳态值。的稳态值。n当当yy*,y*,0,y随时随时间而减少。反之则增加。间而减少。反之则增加。n练习：当练习：当a0a0的动态。的动态。yy*当直线的斜率为负时方

11、程是当直线的斜率为负时方程是稳定稳定的：的：无论初始值无论初始值y(0)y(0)在在何处，何处，y(t)y(t)都将回到都将回到y*y*。稳态值稳态值20第20页，本讲稿共43页n例例2 2：非线性函数的动态。：非线性函数的动态。n微分方程：微分方程：n其中其中s s、和和都是正常数，且都是正常数，且100且且a a222200：系统不稳定。系统不稳定。n情形情形2 2：a a111100且且a a222200：系统稳定。系统稳定。n情形情形3 3：a a1111000：鞍点路径稳定。鞍点路径稳定。y1y2鞍点路径稳定的相位图鞍点路径稳定的相位图稳定臂稳定臂不稳定臂不稳定臂原点是稳态。鞍点路径

12、既不是原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只稳定又不是不稳定的。系统只有从横轴开始才会回到稳态。有从横轴开始才会回到稳态。结论：对角系统的稳定性结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点若两者异号，系统是鞍点路径稳定。路径稳定。稳态稳态28第28页，本讲稿共43页（2 2）非对角系统）非对角系统n初始条件为初始条件为y y1 1(0)=1(0)=1和终端条件和终端条件n 的轨迹是直线的轨迹是直线y y2 2=0.06y=0.06y1 1+1.4

13、+1.4n在直线的下方，在直线的下方，y y2 20.06y0.06y1 1+1.4+1.4，即在该区，即在该区域域y y1 1递增；同理，在直线的上方区域递增；同理，在直线的上方区域y y1 1递减。递减。n 的轨迹是直线的轨迹是直线y y1 1=10=10n在直线的左边，在直线的左边，y y2 2递减；右边递增。递减；右边递增。29第29页，本讲稿共43页具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图y1y210稳定臂稳定臂不稳定臂不稳定臂稳态稳态30第30页，本讲稿共43页非对角系统稳定性：结论非对角系统稳定性：结论n1 1、系数矩阵的两个特征值是正实数，系

14、统不稳定。、系数矩阵的两个特征值是正实数，系统不稳定。n2 2、两个特征值是负实数，系统稳定。、两个特征值是负实数，系统稳定。n3 3、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。n4 4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。n5 5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。n6 6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。运动的椭圆。n7 7、两个特征值相等，解为、两个特征值相等

15、，解为y(t)=(by(t)=(b1 1+b+b2 2t)et)eatat31第31页，本讲稿共43页（3）非线性系统）非线性系统 解答：解答：的轨迹为：的轨迹为：c=kc=k0.30.3;轨轨迹为迹为k=10k=10。将将k k和和c c的动态结合到一起，系统的稳态是两的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点。条轨迹的交点。系统是鞍点路径稳定的。系统是鞍点路径稳定的。32第32页，本讲稿共43页kc稳定臂稳定臂不稳定臂不稳定臂具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图33第33页，本讲稿共43页2 2、解析解、解析解（1 1）线性齐次系统）线性齐次系统y(t

16、)是一个是一个n1列向量，列向量，A是是nn常系数矩阵。常系数矩阵。解法：解法：假设假设z(t)=V-1y(t)，则，则其中，其中，V V是特征向量矩阵，是特征向量矩阵，D D是特征值的对角矩阵。是特征值的对角矩阵。先解出先解出z(t)z(t)，然后可解出，然后可解出y(t)y(t)。34第34页，本讲稿共43页（2 2）线性非齐次系统）线性非齐次系统解法与其次系统相同。解法与其次系统相同。练习：练习：求解以下线性系统的解。求解以下线性系统的解。35第35页，本讲稿共43页解题思路解题思路在在z z前乘以前乘以V V可以得到原变量的解：可以得到原变量的解：时间时间t ty1(t)110y1(t

17、)的解的解36第36页，本讲稿共43页37第37页，本讲稿共43页一、无约束极大值一、无约束极大值n一元函数在闭区间一元函数在闭区间a,ba,b中极大值条件：中极大值条件：n在极大值处，一阶导数为零，二阶导数小于在极大值处，一阶导数为零，二阶导数小于零。零。n多元函数极大值条件：多元函数极大值条件：n必要条件是在该点处所有偏导数等于零，充必要条件是在该点处所有偏导数等于零，充分条件是函数严格凹（海赛矩阵是负定的）。分条件是函数严格凹（海赛矩阵是负定的）。38第38页，本讲稿共43页二、古典非线性规划二、古典非线性规划1、等式约束：优化问题、等式约束：优化问题 maxu(x1,xn)s.t.g(

18、x1,xn)=a构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：L L（x x1 1,x,xn n ，）=u(x=u(x1 1,x,xn n)+)+a-g(xa-g(x1 1,x xn n)将拉格朗日函数对每个变量求偏导等于零得：将拉格朗日函数对每个变量求偏导等于零得：Du(x)=Dg(x)Du(x)=Dg(x)即约束极大值的必要条件是在极大值处目标函数的梯度与约即约束极大值的必要条件是在极大值处目标函数的梯度与约束函数的梯度成比例。比例因子就是拉格朗日乘数。束函数的梯度成比例。比例因子就是拉格朗日乘数。39第39页，本讲稿共43页2 2、不等式约束：库恩塔克条件、不等式约束：库恩塔克条件n优化问题：优化

19、问题：max u(x1,xn)n s.t.g1(x1,xn)a1 -n gm(x1,xn)amn库恩塔克条件：库恩塔克条件：nDu(x)=iDgi(x)ngi(x)ai，i0ni ia-ga-gi i(x)(x)=0=0 该条件被成为互补松弛性条件该条件被成为互补松弛性条件 40第40页，本讲稿共43页方法方法1 1：贝尔曼的动态规划：贝尔曼的动态规划方法方法2 2：庞特里亚金的极大值原理：庞特里亚金的极大值原理41第41页，本讲稿共43页一、典型问题一、典型问题问题：问题：约束条约束条件：件：转移方程转移方程非蓬齐博弈非蓬齐博弈c(t)c(t)是控制变量，是控制变量，k(t)k(t)是状态变量。是状态变量。42第42页，本讲稿共43页二、动态最优化求解步骤二、动态最优化求解步骤1 1、构造汉密尔顿函数、构造汉密尔顿函数2 2、汉密尔顿对控制变量的倒数为零。、汉密尔顿对控制变量的倒数为零。3 3、汉密尔顿对状态变量的倒数等于、汉密尔顿对状态变量的倒数等于负的乘子对时间的倒数。负的乘子对时间的倒数。4 4、横截、横截性条件性条件有限界期有限界期有贴现的无限界期有贴现的无限界期无贴现的无限界期无贴现的无限界期43第43页，本讲稿共43页