第一章函数与极限.doc

《第一章函数与极限.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章函数与极限.doc（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章 函数与极限一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。(2) 理解复合函数的概念，了解反函数的概念。(3) 会建立简单实际问题中的函数关系式。(4) 理解极限的概念，了解极限的定义（不要求做给出求或的习题）。(5) 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。(6) 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限求极限。(7) 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。(8) 理解函数在

2、一点连续和在一区间上连续的概念。(9) 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。(10) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。2. 重点及难点（1）重点：极限与连续的概念，计算极限的方法，判断间断点类型的方法。 （2）难点：极限概念的建立，对定义的理解。二、内容概述1. 函数的定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为。2. 基本初等函数的定义：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。3. 初等函数的定义：指由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合并可用一个式子表示的函数。4. 分段函数的定义：在定义域不同的

3、区间内用不同的解析式表示的函数。（注：分段函数表示的是一个函数，不能认为是几个函数；一般地分段函数不是初等函数。）5. 数列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为。6. 两个重要极限： ，它们的等价形式分别是。7. 几个重要的等价无穷小：时，。8. 等价无穷小的替换定理：设，且存在，则=（该定理只能在乘积形式中用，和差形式不能用）。9. 定理：的充分必要条件是，其中是同一变化过程的无穷小。10. 函数在一点连续的定义定义1：设函数在点的某一领域内有定义，如果，那么就称函数在

4、点连续。定义2：设函数在点的某一领域内有定义，如果，那么就称函数在点连续。11. 零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即那么在开区间内至少有一点，使。12. 求函数极限的几种方法：a) 极限的四则运算法则；b) 利用两个重要极限；c) 利用无穷小的性质；d) 利用等价无穷小的替换；e) 利用函数的连续性；f) 夹逼性定理（不做要求）；g) 洛必达法则（第三章作介绍）；h) 当时，求（其中分别为次多项式）的极限时，可比较分子、分母最高次项，即其中，的最高次项的系数分别为。三、典型例题分析例1 ：判断下列各对函数是否相同：（1）; (2) ; (3) ; (4) ;解：确定函数的要素是其

5、定义域及对应规则，因此要判断两个函数是否相同，只要比较它们的定义域及对应规则。 （1）的定义域是，两者不相同，故与不相同。 （2）的定义域都是，两者的对应法则不尽相同，故不相同。 （3）的定义域都是可知的对应规则也相同，故相同。 （4）显然的区别只是变量采用不同的符号，其定义域与对应规则都相同，因此表示同一个函数。例2：设。 解：的复合，先求其定义域。 因定义域，的定义域，的值域，的定义域的复合，因的定义域因此。例3 ：若是偶函数，则必是偶函数；若是奇函数，则必为奇函数。对吗？也是偶函数或奇函数呢？解：不一定。若，均为偶函数，则为偶函数；而若、均为奇函数，则为奇函数。例4：设。解：方法一 令

6、由于函数关系与表示自变量的字母无关，故 方法二 用拼凑法 = 。例5：设解：（1）因为要求极限，首先分子、分母同除以，然后利用无穷小与无穷大的关系，即可求出极限（或直接比较分子、分母最高次）。 。例6：求极限：。解：该题属于“”型，且分子含有根式，因此只要对分子进行有理化即可化为“”型，然后比较分子、分母最高次。=。例7：求极限：分析 可以利用第二个重要极限求函数极限。解： = = =。例8：求极限：。分析 该题属于“”型，因为分子中虽然是无穷小量，但是它们是以和差的形式出现的，故不能用其等价无穷小替代，而应化为乘和除的情况后再作考虑。解： = = = = = 。例9：求极限。解：因为当时，分

7、子分母的极限都为零，故不能用商的极限运算法则，把分子分母中极限为零的因式分离出来，消去零因式，然后再用极限运算法则，可得 = = = 。例10：求极限解：这也是“”型。这里引入换元法，化去根式，以便分离并消去零因式。 令于是=。例11：。解：因为都不存在，故不能使用“和”的极限运算法则解之。 由于不存在，故不能使用“积”的运算法则。注意到 = =例12：求。解：原式= = -1。例13：求极限。解：因为不存在，故不能直接使用“积”的极限运算法则，此处引入换元法，以便利用已知等价无穷小的替换消除运用极限运算法则的障碍。令。因此=。（此处用到：）。例14：求极限。解：利用第二类重要极限， = =。

8、也可做如此变形且这样做更为简单，= = = =。例15：求在中的连续区间。解：当是初等函数，由连续函数的性质，初等函数在其定义区间内连续，因此，当是连续的。 同理，当是连续的；也是连续的。 因此，求中的连续区间，关键是讨论的连续性。（）讨论的连续性。根据连续函数的定义，处不连续，且为跳跃间断点；（）讨论的连续性。根据连续函数的定义，连续。综合上述情况，得中的连续区间为。例16：设函数在解：由于函数处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有例17：设函数若有间断点，指出间断点的类型。解：；的连续区间为。例18：设在存在一点，。证： 要证只要设又 （1）若由零点定理知，在上至少存在一点即 （2）若

9、综合（1）（2）即得结论。四、自测题A及解答（一）选择题1、设的定义域为，函数的定义域（ ）：（A）； （B）； （C）； （D）.2、设（ ）： （A）; （B）1; （C） （D）sin1.3、设的图形关于直线（ ）： (A) (B) (C) (D) 4、 （ ）： (A) (B) (C) (D) 不存在.5、下列变量在给定变化过程中不是无穷小量的是（ ）： （A） （B） （C） （D）6、当等价的无穷小量是（ ）： （A） （B） （C） （D）7、 （ ）： （A）3； （B）1； （C） （D）8、 （ ）： （A）0； （B） （C）； （D）2.（二） 填空题1、 设是奇函数，

10、且当_。2、_， _，_ _，_， _。3、 的连续区间是_，间断点是_。4、 _。5、 _ _ 。6、 当的_阶无穷小。7、_时，函数点连续。8、_ _。(三) 计算题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 设其中 (1)当的连续点？ (2)当的间断点？是何种类型的间断点？ 8、设内的实根情况。自测题A参考答案（一）1、(D) 2、(C) 3、(A) 4、(D) 5、(B) 6、(A) 7、(A) 8、(C)（二）1、 2、 1,0,0 ,1 3、 ， 4、 5、 1 6、 同 7、 2 8、 （三）1、解: 原式= 2、解: 原式= = 3、解: 原式= = = =14、解: 原式=0

11、5、解: 原式= 6、解: 原式= =7、解: (1)因为， 所以当=1时， =0是的连续点。(2)当8、解: 及上满足零点定理的条件，故存在，使得所 以方程内存在两个不等的实根。又因为 上满足零点定理的条件，在 方程，它最多只有三个实根，因此方程内只有两个不等的实根。五、自测题B及解答(一) 选择题 1、函数在内是（ ）：(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C)单调函数 (D) 有界函数 2、 函数（ ）：(A) 在内无界 (B) 在内有界(C) 当时为无穷大 (D) 当时极限存在 3、 设函数（ ）：(A) (B) (C) (D) 4、极限（ ）：(A) 0 (B) (C) (D)不存在，且

12、不是 5、 设且，则（ ）：(A) (B) (C) (D)同阶，但不等价。 6、 设函数（ ）：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 7、 设（ ）：(A) 与为等价无穷小 (B) 较为高阶无穷小(C) 较为低阶无穷小 (D) 与为同阶无穷小但不等价 8、 若，若为可去间断点，则（ ）：(A) (B) (C) (D)(二)填空题 1、设的定义域为_。 2、已知函数，则它的反函数是_。 3、已知_。 4、当的_阶无穷小。 5、_ _。 6、的值分别为_ _。 7、设_ _ _。 8、_ _。(三)计算题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、求的连续区间、间断点并判断其类型。 8、 求证：.自测题B参考答案(一) 1、 D 2、 A 3、B 4、 D 5、 A 6、D 7、D 8、C(二) 1、 2、 3、 4、同阶 5、 6、 7、 8、(三)1、解: 原式= 2、解: 原式= 3、解: 原式= 4、解: 原式= 5、0 6、解: 原式=7、解: 设无定义的点是使和,，当，当8、证: , 。