不等式概述及不等式的性质.doc

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1、第六章 不等式【考试大纲选读】 考试内容:不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值的不等式考试要求:1、 理解不等式的性质及证明2、 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的定理，并会简单的应用3、 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4、 掌握简单不等式的解法5、 理解不等式 【高考试题概览】题号 、 项 考点 目时间选择题（每题5分）填空题（每题4分）解答题（未注明分值的每题12分）总分2000年全国卷7、用平均值不等式比较大小19、解含参数的根式不等式，与函数综合求取值范围17分2001年全国卷4、求取值范围20、与排列组合综合证明不等

2、式17分2002年全国卷3、解绝对值不等式4、解三角不等式22、与数列综合证明不等式（数学归纳法）（14分）24分2003年全国卷14、解对数不等式19、解绝对值不等式，求取值范围22、与数列综合解二次不等式(14分)30分 2004年全国卷卷12、用平均值不等式求最值13、解绝对值不等式19、与函数综合求取值范围21分卷1、解二次不等式 22、与函数、导数综合证不等式（14分）19分卷5、解分式不等式 21、与解几综合求取值范围17分卷8、解绝对值不等式 22、与数列综合证明不等式（14分）19分【复习迎考导向】从高考试题分析表可以看出，高考对不等式的考查主要集中在不等式的解法、不等式的证明

3、以及不等式的应用上因此，在复习中首先应认真理解记忆不等式的性质、平均值不等式以及绝对值不等式的性质，这是解决各种不等式问题的基础其次要切实抓好解不等式、证明不等式以及求取值范围（最值）等基本题型，这既是高考独立考查不等式的核心，同时也是应用不等式解答综合题的基础此外，还要加强不等式的综合解题训练，增强灵活运用不等式解决各种新问题的能力，只有这样才能适应高考中以能力考查为核心的灵活多变的命题方式【全章知识结构】比较法综合法分析法不等式的证明平均值不等式换元法放缩法构造法反证法数学归纳法不等式的应用不等式的性质取值范围、最值问题恒成立问题方程根的分布问题实际应用问题不等式整式不等式分式不等式根式不

4、等式绝对值不等式函数不等式不等式的解法绝对值不等式不等式组含参数的不等式6.1 不等式的性质【一线名师精讲】基础知识要点（一）、不等式的定义用不等号（）连接的数学式子叫做不等式（二）、两个实数大小的比较（三）不等式的性质1、对称性：2、传递性：3、不等量加等量：4、不等量乘等量：6、 加法法则：6、乘法法则： 7、乘方法则：， 8、开方法则： 不等式的性质是各种不等变形的基础，但同学们在使用中却容易出错.错误主要集中在以下几处:一是不等量乘等量时不分等量的正、负、零，出现“”的错误二是在使用不等式的乘法、乘方、开方法则时忽略正数的条件，出现，或之类的错误在使用不等式的性质时，要注意定理的扩展及

5、变形例如，用不等量乘等量可得出倒数法则：在不等式两端同乘以,即知当当时又如，不等式相减、相除也可转为相加、相乘来处理基本题型指要题型一：判断正误高考经常考不等式的正误判断题，一般以选择题的形式出现解这种题通常用性质推导与特例排除相结合的办法【例1】 若且,则下列命题中正确的是：（ ） 解析1：因为，故选项D正确其中A、的错误均为忽略了正数的条件；选项B则是在两端同乘以时，不知的正负，也错误故不能得出。解析2：取，即可排除A、B，再取c=-1,d=-2即可排除C由此可知应选D【例2】 （2004年北京市高考）如果满足，那么下列选项中不一定成立的是：（ ） (C) (D) 解析：由易知，。由此易判

6、断选项A、B、D中的式子一定成立选项C中，取b0显然不成立所以选C点评：该题选项中不成立的式子显然只有一个，而成立的式子却有三个，由于特例不宜肯定式子恒成立，故本题用特例法不够方便题型二：比较大小利用不等式的性质比较大小主要使用作差比较法，当各量之间的关系较为隐蔽时，要注意多角度观察、尝试，捕捉有用的解题信息 【例3】 ，比较的大小解析： 点评：作差后，将比较两数的大小转为了比较它们的差的正负零，所以，通常对差进行因式分解或配方等易于判断正负的变形 【例4】 实数满足：且，试比较的大小思路：本题很难直接从已知式子中直接比较x、y、z的大小，故考虑构造它们的差解析：由易得zy(x1)20，所以在

7、中不易构成，但却能将x、y消去一个： 综上所述，题型三：求取值范围【例5】已知求的取值范围思路：这是一个多元不等式问题，一般可用待定系数法求解解析1： 则 . 易得解析2：令误区警示：下面是一种很典型的错误解法，你能找出它的错误吗？ 错因：由于（3）（4）两式中的已脱离了相互制约，扩大了的取值范围，使得的等号不能取到易知，若要（5）式取等号，必须（3）式、（4）式中的，而此时，与已知中的矛盾点评：对多元不等式，不宜将元分开求范围，一般可使用待定系数法将已知不等式整体使用本例也可转化为一个线性规划问题：已知变量满足约束条件求目标函数的最值【阅卷老师评题】【例6】（2004年北京春季，理）已知三个

8、不等式：（其中、均为实数）用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数为：（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3命题目的：考查不等式的基本性质、组合数的计算以及灵活运用所学知识的能力考情分析：该题得分率较低，主要是不能适应题目的新形式，不能灵活使用不等式的性质思路：首先应明确组成的命题数为，然后即可依次找出这些命题：， 这就把题目变成了判断这三个命题的真假解析1：因为，在的两端同乘以即得同理可知其余两个命题也正确解析2：若注意到，则易知：若中的任意两个成立，则其余一个也成立，故三个命题均成立点评：由判断正误组成的选择题历来是高考考查不等式性质的主要

9、形式，但近年在形式上有些变化，若不引起重视，容易造成失分【例7】4 (2004年天津卷)不等式的解集为：（ ）（A） （B）（C） （D）命题目的：考查分式不等式的解法考情分析：该题本来是一个很容易解的分式不等式，但仍有一些考生对不等式的性质掌握不好，导致未能得分错解一：由得，解得错误原因：用乘不等式去分母时没考虑它的正负错解二：由已知得：所以解得，故选D错误原因：一是去分母后的式子取值范围扩大了，增加了x0这个不符合条件的解二是解一元二次不等式错误正确的解应该为解析：由已知得： 所以，解得：，所以选A点评：不等式的性质是各种不等式变形的基础，若掌握不好，后患无穷 【好题优化训练】基础巩固1、

10、角的取值范围是：_答案： 解析：因为，所以又，故2、若的取值范围是：（ ）答案：（D）解析：3、下列命题正确的是：（ ）答案：（D） 解析1：特例法解析2： 由,使用不等式乘法法则易得故D正确。4、(2004年天津高考)对任意实数a、b、c，在下列 命题中，真命题是：（）（A）“”是“”的必要条件 （B）“”是“”的必要条件（C）“”是“”的充分条件（D）“”是“”的充分条件答案：（）解析：关键是弄清充分、必要条件 5、已知，则中最小的是（ ）答案：（）解析：特例法，比如取即可很快地排除A、C、D解析：容易看出：技能培训6、(2004年北京市高考) 已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定

11、成立的是：（ ）（A） （B）（C） （D）答案：（C） 解析：特例法解析2： 由此易知、成立由可能为知道不成立7、(2004年湖北省高考) 若，则在下列不等式 ； ； ；中，正确的不等式有（ ）（A）1个 （B）2个（C）3个 （D）4个答案：（）解析：8、若的值为：（）(A) 大于，（B）等于0，(C) 小于0， （D）不能确定答案：（A）解析：关键是把减转为加来处理，相加即得9、(2002年全国高考) 已知，则有：（ ）答案：（D） 解析1：特例法解析2：因为 ，所以，由对数的性质知10、(2004年湖北高考) 若则下列结论中不正确的是：（ ）答案：（D）解析：11、实数满足等式， ，试确定的大小关系 答案： 解析：易知： 由已知两式相减得：， ，所以，综上所述，12、设为正数，分子、分母同时加上c， ，问原分数是变大了还是变小了？答案：， 解析： ，13、，求的取值范围答案：解析：将f（x）具体化即知： 本题实质是及的范围用待定系数法可得：所以得，思维拓展14、已知，求答案：解析：由已知易得：这时可看出，本题是一个多元不等式问题易得：， 所以可得故，