数学与经济金融课件精.ppt

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1、数学与经济金融课件数学与经济金融课件2023/2/14第1页，本讲稿共62页经济金融投资证券保险管理商业第2页，本讲稿共62页数学能否引入经济学数学能否引入经济学计量经济学的创立：引入统计和模型计量经济学的创立：引入统计和模型发展数理经济学：发展数理经济学：Paul Samuelson决定论模型（加速决定论模型（加速-乘子模型）乘子模型）股市随机运动模型（股市随机运动模型（martingale）和期权模型）和期权模型生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型关于数理经济学的争论关于数理经济学的争论:奥地利学派：人的行为能否用数学描写？奥地利学派：人的行为能否用

2、数学描写？心理学：人们的理性是优化还是固锚？心理学：人们的理性是优化还是固锚？计量经济学（计量经济学（Hendry）:科学还是炼金术？科学还是炼金术？Herbert Simon:数学用得太多了数学用得太多了我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）何，混沌，小波，生灭过程）第3页，本讲稿共62页数学在经济学中的作用Samuelson:数学是语言，更精确，自洽，简要数学是语言，更精确，自洽，简要我们：数学和历史分析的定性差别我们：数学和历史分析的定性差别期权模型和期权市场期权模型和期权市场热力学和

3、噪声驱动的阻尼谐振子？热力学和噪声驱动的阻尼谐振子？大数定律和宏观波动的微观基础？大数定律和宏观波动的微观基础？几何布朗运动和经济有序几何布朗运动和经济有序第4页，本讲稿共62页一、模型一、模型二、数理模型二、数理模型三、经济建模三、经济建模四、数理模型建模的简单实例四、数理模型建模的简单实例五、建模过程五、建模过程建模概述建模概述第5页，本讲稿共62页什么是数理经济学什么是数理经济学数理经济学不仅仅是经济学的一个分支，确切地说，它是一种经济分析方法，是经济学者利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。从广义上说，数理经济学（Mathematical Economics）

4、是一种采用现代的数学分析方法，收集分析经济运行中的数据加以分析，在得出精确的、有预见性的、符合客观经济运行规律的经济学模型之后，分析解决面临的经济问题，最终提出解决方案的新兴前沿学科。从狭义上来说，是特指瓦尔拉斯（Walras1834-1910）开创的一般均衡理论F1体系。通常可分为静态分析和动态分析。这个理论首先设立“人是理性的”这个假设，然后利用各种数学方法，来模拟各种经济学现象，并进而推论出有关问题的解决方案。第6页，本讲稿共62页14 二月 2023 18381838年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺(他研究概率论他研究概率论)发表了题为发表了题为财富

5、理论的数学原财富理论的数学原理研究理研究的经济学著作，著作中充满着数学符号。的经济学著作，著作中充满着数学符号。例如，其中记市场需求为例如，其中记市场需求为d d，市场价格为，市场价格为 ，需，需求作为价格的函数记为求作为价格的函数记为 。数理经济学的历史数理经济学的历史第7页，本讲稿共62页14 二月 20231919世纪中叶之后，勒翁世纪中叶之后，勒翁瓦尔拉斯和杰文斯瓦尔拉斯和杰文斯提出名之为提出名之为“边际效用理论边际效用理论”的经济学。的经济学。后一代的经济学家们发现，这一理论中的后一代的经济学家们发现，这一理论中的“边际边际”原来就是数学中的原来就是数学中的“导数导数”或或“偏导数偏

6、导数”。瓦尔拉斯还于瓦尔拉斯还于18741874年前后提出了另一年前后提出了另一种颇有影响的种颇有影响的“一般经济均衡理论一般经济均衡理论”。但是他的数学论证是不可靠的，后来，但是他的数学论证是不可靠的，后来，严格证明一般均衡理论的数学工作一直严格证明一般均衡理论的数学工作一直到到19541954年由阿罗和德布罗完成。年由阿罗和德布罗完成。第8页，本讲稿共62页14 二月 2023 19591959年，德布罗发表了他的著作年，德布罗发表了他的著作价值理论，经济均衡的一价值理论，经济均衡的一种公理化分析种公理化分析，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学的

7、诞生。他于的诞生。他于19831983年获诺贝尔经济学奖。年获诺贝尔经济学奖。G.Debreu诺贝尔奖章诺贝尔奖章第9页，本讲稿共62页14 二月 2023 埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经济学著作却叫济学著作却叫数学心理学数学心理学。马歇尔是在剑桥学数学的，他成。马歇尔是在剑桥学数学的，他成为经济学的为经济学的“剑桥学派剑桥学派”的宗师，今天的微观经济学著作中那些既的宗师，今天的微观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。埃奇沃思埃

8、奇沃思马马歇歇尔尔第10页，本讲稿共62页14 二月 2023 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，19211921年，他有一本数学著作年，他有一本数学著作概率论概率论，是那个时代最重要的概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。著作之一。美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文中的欧文费歇尔是耶鲁大学

9、的一位数学教授，他在货币理论方面的研究费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。被视为精神上的祖父。20 20世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于19441944年写年写成了最重要的数学经济学巨著：成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为对策论与经济行为。第11页，本讲稿共62页14 二月 2023 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是著名经济学家，马歇尔的学生凯恩

10、斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，术研究的，19211921年，他有一本数学著作年，他有一本数学著作概率论概率论，是那个时代最重，是那个时代最重要的概率论著作之一。要的概率论著作之一。凯恩斯凯恩斯第12页，本讲稿共62页14 二月 20232020世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于究，于19441944年

11、写成了最重要的数学经济学巨著：年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行对策论与经济行为为。克拉克克拉克美国的边际效用学派是由克拉克美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文文费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。的祖父。第13页，本讲稿共62页14 二月 2023美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文代代表中的欧文费雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论费

12、雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。方面的研究被视为精神上的祖父。2020世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩根斯诺伊曼，他与经济学家摩根斯坦长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于坦长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于19441944年写年写成了最重要的数学经济学巨著：成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为对策论与经济行为。克拉克克拉克欧文欧文费雪费雪摩根斯坦摩根斯坦第14页，本讲稿共62页14 二月 2023 计量经济学是从具体数据出发，用数理统计的方法，计量经济学是从具体数据出发，用

13、数理统计的方法，建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前者是用归纳法，后者用的则是演绎法。者是用归纳法，后者用的则是演绎法。熊彼特熊彼特奥地利边际效用学派最奥地利边际效用学派最有影响的代表熊彼特对于经济有影响的代表熊彼特对于经济学中使用数学方法，起了比谁学中使用数学方法，起了比谁都大的作用。都大的作用。第15页，本讲稿共62页14 二月 2023 在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济学奖。在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济

14、学奖。数学奖一直没有增设，但是，数学奖一直没有增设，但是，19691969年，由瑞典中央银行年，由瑞典中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。19691969年一年一19891989年的年的2121届诺贝尔经济学奖获奖人共届诺贝尔经济学奖获奖人共2727位，位，其中有其中有6 6届评了届评了2 2人，其他每届人，其他每届1 1人。这人。这2727位之中，美国人占位之中，美国人占了一半以上了一半以上(15(15位位)，英国人，英国人5 5位，瑞典、挪威各两位，法国、位，瑞典、挪威各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。荷兰、前苏联各一位。第16页

15、，本讲稿共62页14 二月 2023 首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为经济学推动数学发展的出色例子。经济学推动数学发展的出色例子。首届得奖者中的另一位丁伯根是一个物理学博士，然而，数首届得奖者中的另一位丁伯根是一个物理学博士，然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希一道成为计量经济学的奠数学的方法带进了经济学，并与弗

16、瑞希一道成为计量经济学的奠基人。基人。第17页，本讲稿共62页14 二月 2023 第二届，第二届，19701970年的获奖者萨缪尔森，他在年的获奖者萨缪尔森，他在19371937年作为学位论文年作为学位论文写出，在写出，在19471947年才正式出版的成名作年才正式出版的成名作经济分析基础经济分析基础，是一部，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。19721972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作作价值与资本价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著被萨

17、缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士作媲美。阿罗则是数学博士(1951(1951年获学位年获学位)，他创立了新的数理经，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即即“阿罗不可能定理阿罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理，其实，这完全是一条数学定理(适用于经适用于经济学济学)。第18页，本讲稿共62页14 二月 2023 第二届，第二届，19701970年的获奖者萨缪尔森，他在年的获奖者萨缪尔森，他在19371937年作为学位论文写出，年作为学位论文写出，在在1947194

18、7年才正式出版的成名作年才正式出版的成名作经济分析基础经济分析基础，是一部用严格的，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。数学理论总结数理经济学的划时代著作。19721972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作价值与资本价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士美。阿罗则是数学博士(1951(1951年获学位年获学位)，他创立了新的数理经济学分，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即支：公共

19、选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿阿罗不可能定理罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学适用于经济学)。第19页，本讲稿共62页14 二月 2023 1973 1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。19751975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家

20、在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于19421942年写成的年写成的经济资经济资源的最优利用源的最优利用一书到一书到19591959年才得以出版。年才得以出版。第20页，本讲稿共62页14 二月 2023 1973 1973年的诺

21、贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。19751975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余

22、的，甚至是地下的研过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于19421942年年写成的写成的经济资源的最优利用经济资源的最优利用一书到一书到19591959年才得以出版。年才得以出版。第21页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克年的克莱因、莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布罗、年的德布罗、1984198

23、4年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析

24、的文章，却从没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降下降到了到了11116 6。第22页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年年的克莱因、的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布年的德布罗、罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家年的哈维尔莫等都有极高的数学

25、修养，有的就是数学家兼经济学家。兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，没。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降到了下降到了11116 6。第23页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、1978197

26、8年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年年的克莱因、的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布年的德布罗、罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，没上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占有任

27、何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977197719811981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，没有任。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从何数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降到了下降到了11116 6。第24页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的年的克莱因、克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布罗、年的德布罗、1984

28、1984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，没上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977197719811981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，没有任何。在同一时间内，没有任何数学公式

29、对资料进行分析的文章，却从数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降到了下降到了11116 6。第25页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的年的克莱因、克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布罗、年的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学的哈维尔莫等

30、都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，没。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降到了下降到了11116 6。第26页，本讲稿共62页 1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、1978

31、1978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的年的克莱因、克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年的德布年的德布罗、罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年的索洛、年的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章中，没上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的

32、占有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同一时间内，没。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从21212 2下降到了下降到了11116 6。第27页，本讲稿共62页 冯冯诺伊曼在诺伊曼在19281928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼为经济学准备了一系列诺伊曼为经济学准备了一系列

33、的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。2020世纪世纪6060年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系学提出问题。生产者由生产集来

34、刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。视过。第28页，本讲稿共62页 冯冯诺伊曼在诺伊曼在19281928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼为经济学准备了一诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学

35、工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。2020世纪世纪6060年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数问题。生产者由生产

36、集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。第29页，本讲稿共62页 获得过菲尔兹奖获得过菲尔兹奖(授予授予4040岁以下的数学家的最高国际数学奖岁以下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研这使得经济学中的数

37、学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究研究“动力系统化动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学与德布罗一起把经济学“光滑化光滑化”，提出了，提出了“正则经济学正则经济学”。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。第30页，本讲稿共62页 获得过菲尔兹奖获得过菲尔兹奖(授予授予4040岁以下的数学家的最高国际数学岁以下的数学家的最高国际数学奖奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究

38、，这使的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化光滑化”，提出了，提出了“正则经济学正则经济学”。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。第31页，本讲稿共62页 这种状况表明，真正理解经济学所需这种

39、状况表明，真正理解经济学所需要的数学知识和数学水平，可能是一个大要的数学知识和数学水平，可能是一个大学本科数学专业的学生还难以达到的。然学本科数学专业的学生还难以达到的。然而，理解今天如此复杂的经济活动本身已而，理解今天如此复杂的经济活动本身已不是一件容易的事。不是一件容易的事。第32页，本讲稿共62页金融数学简介金融数学简介第33页，本讲稿共62页引言引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资展起来的，其核心问题

40、是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基

41、础的。工作为基础的。第34页，本讲稿共62页 1990年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和和M.Miller，奖励他们在金融经济学中奖励他们在金融经济学中的先驱工作的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理论、的投资组合理论、W.Sharpe的的 资本资产定价理论资本资产定价理论M.Miller 的公司财务理论。的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（1）注第35页，本讲稿共62页H.Markowitz H.Markowitz 在资产组合选在资产组合选择一文中，第一次从风险资择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系产的收益率和风险之间的关系出

42、发，讨论了不确定经济环境出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。中最优资产组合的选择问题。其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。题的实际计算方法。第36页，本讲稿共62页W.Sharpe W.Sharpe 的资本资产定价

43、理论，在较的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了强的市场假设下，给出了Markowitz Markowitz 均值方差模型的均衡均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。版本，即资本资产定价模型。（CAPMCAPM）22 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的一步发展为著名的资本资产定价模型资本资产定价模型

44、，用来说明在金融市，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。第37页，本讲稿共62页M.MillerM.Miller的公司财务理论（的公司财务理论（19581958）主）主要研究资本结构与其企业市场价值的要研究资本结构与其企业市场价值的关系。关系。MillerMiller在资本成本、公司在资本成本、公司理财和投资理论论文中证明，在一理财和投资理论论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。结构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内

45、在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从争议。从50年代末到年代末到60年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，后，Miller的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。定它在学术界的主流地位。第38页，本讲稿共62页 1997年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予R.Merton和和M.Schole,以奖励他们和以奖励他们和F.Black在确定衍生在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定证券价值方法方面的贡献，也

46、就是关于期权定价的著名的价的著名的Black-Sholes公式。公式。诺贝尔经济奖简介（2）注第39页，本讲稿共62页 19731973年，年，M.ScholesM.Scholes与已故的经济学与已故的经济学家家F.BlackF.Black发表期权定价和公司债发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的务一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。公式。指出指出期权价格仅期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票率、期权到期时间、执行价格、股票时价时价.其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投其主要贡献是提出用标的股

47、票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。融产品的思想方法。注第40页，本讲稿共62页1973年年R.Merton在经济和管理科学在经济和管理科学杂志上发表了理性期权定价理论的杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对文章，对Black-Sholes公式的假定公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面条

48、件做了进一步削弱，在许多重要方面都对都对Black-Sholes的研究做了推广的研究做了推广 Merton对对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现实实注第41页，本讲稿共62页2003年度诺贝尔经济学奖授予年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和和 Clive G

49、ranger。令令Engle 摘取桂冠的是他于摘取桂冠的是他于1982年提出的年提出的ARCH模型。模型。Granger因为时间序列的协整分析方法而获因为时间序列的协整分析方法而获奖奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（3）第42页，本讲稿共62页 对收益率的建模研究一直在计量对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人所以人们将注意力都放在了对二阶矩的

50、建模们将注意力都放在了对二阶矩的建模上上,也就是对收益率波动的计量建模。也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中许多金融学家尝试了不同的模型。其中,Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型模型,被认为是最集中反映了方差变被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。第43页，本讲稿共62页20世纪世纪70年代以前计量经济学的建模方法年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳