初等数论开课优秀PPT.ppt

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1、初等数论开课第1页，本讲稿共38页研究数的规律，特别是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是数整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分支。它论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。不定方程、同余式等。第2页，本讲稿共38页 初等数论就是用初等、初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究论（用代数结构的方法研究数论）。数论）。第3页，本讲稿

2、共38页中外数论科学家中外数论科学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯:古希腊古希腊,初等数论的先驱。初等数论的先驱。大约生于公元前大约生于公元前580580年年-500-500 年。最大贡年。最大贡献献“毕达哥拉斯定毕达哥拉斯定理理”（勾股定理）。（勾股定理）。第4页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家 欧几里德欧几里德:公元前公元前4 4世世纪，纪，几何原本几何原本通过通过102102个命题，初个命题，初步建立了整数的整步建立了整数的整除理论。他关于除理论。他关于“素数有无穷多个素数有无穷多个”的证明，被认为是的证明，被认为是数学证明的典范。数学证明的典范。第5页，本讲稿共38页中外数论科学家中

3、外数论科学家拉格朗日拉格朗日:法国数学家、法国数学家、物理学家。物理学家。17361736年年1 1月月2525日日生于意大利都灵，生于意大利都灵，18131813年年4 4月月10 10日卒于巴黎。他日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突数学方面的成就最为突出。出。第6页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家欧拉欧拉:1707:1707年出生在年出生在瑞士。瑞士。18 18世纪最优世纪最优秀的数学家，也是秀的数学家，也是历史上最伟大的数历史上最伟大的数学家之一，被称为学家

4、之一，被称为“分析的化身分析的化身”。第7页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家费马费马:1601:16011665 1665，法国著名数学家，法国著名数学家，被誉为被誉为“业余数学业余数学家之王家之王”、“费费马大定理马大定理”、“费马小定理费马小定理”。第8页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家刘徽，生于公元刘徽，生于公元250250年左年左右，三国时期数学家，右，三国时期数学家，是世界上最早提出十进是世界上最早提出十进小数概念的人，著小数概念的人，著九九章算术注章算术注10 10卷；卷；海海岛算经岛算经；九章重差九章重差图图.割圆术求圆面积割圆术求圆面积和圆周率和圆周率.

5、第9页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家祖冲之，祖冲之，429429500500，数学家，科学家，数学家，科学家，算出算出在在3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间，之间，求球体积公式求球体积公式著有著有缀术缀术.天文天文历法和机械历法和机械方面的成就方面的成就略略。第10页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家秦九韶秦九韶 约约1202120212611261，著，著数书九章数书九章,最重要的数学最重要的数学成就成就“大衍总数术大衍总数术”一次同余组解法一次同余组解法 与与“正负开正负开方术方术”高次方程数值解法高次方程数值解法，在中

6、世纪世界数学史上，在中世纪世界数学史上占有突出地位。占有突出地位。李冶李冶119211921279,1279,著著测圆海镜测圆海镜，主要目，主要目的就是说明用开元术列方程的方法。的就是说明用开元术列方程的方法。“开元开元术术”与现代代数中的列方程法相类似。与现代代数中的列方程法相类似。杨辉杨辉12501250前后前后，是世界上第一个排出丰富的纵横图，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著和讨论其构成规律的数学家。著详解九章算法详解九章算法,日用算法日用算法等。等。第11页，本讲稿共38页中外数论科学家中外数论科学家朱世杰朱世杰13001300前后前后，著，著算学启蒙算学启蒙

7、和和四元四元玉鉴玉鉴。算学启蒙算学启蒙是一部通俗数学名著，是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。数学的发展。四元玉鉴四元玉鉴则是中国宋元数则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有作有“四元术四元术”多元高次方程列式多元高次方程列式与消元解法与消元解法、“垛积法垛积法”高阶等差数列求和高阶等差数列求和 与与“招差术招差术”高次内插法高次内插法。第12页，本讲稿共38页素数素数 (质数质数)：所谓素数，就是一个正整数，它除了所谓素数，就是一个正整数，它除了本身和本身和 1 1 以外并没有任何其他

8、因子。素以外并没有任何其他因子。素数就好象是正整数的原子一样，著名的数就好象是正整数的原子一样，著名的高斯唯一分解定理说，任何一个整高斯唯一分解定理说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。但是数。可以写成一串质数相乘的积。但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数。子可以表示所有的素数。第13页，本讲稿共38页1 1、哥德巴赫猜想、哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)“所有的所有的大于大于2 2的的偶数，都偶数，都可以表示可以表示为两个素为两个素数数”。第14页，本讲稿共38页哥德

9、巴赫猜想有两个内容：哥德巴赫猜想有两个内容：第一部分叫做偶数的猜想第一部分叫做偶数的猜想;第二部分叫做奇数的猜想。第二部分叫做奇数的猜想。偶数的猜想是说，大于等于偶数的猜想是说，大于等于6 6的偶的偶数一定是两个奇素数的和。奇数的数一定是两个奇素数的和。奇数的猜想指出，任何一个大于等于猜想指出，任何一个大于等于9 9的奇的奇数都是三个奇素数的和。数都是三个奇素数的和。第15页，本讲稿共38页例如：例如：第16页，本讲稿共38页哥德巴赫猜想的历程哥德巴赫猜想的历程19201920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”9+9”。19241924年，德国的拉特马赫证明年，德国的拉特马赫证

10、明“7+7 7+7”。19321932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”6+6”。19371937年，意大利的蕾西先后证明了年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,5+7”,“4+9”,“3+15”“4+9”,“3+15”和和“2+366”2+366”第17页，本讲稿共38页19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃证明夕太勃证明“5+5”“5+5”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃证明了夕太勃证明了“4+4“4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼证明了年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”“1+c”，其中其中c c是一很大的自然数。是一很大的

11、自然数。19571957年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了“3+3 “3+3”和和“2+3”“2+3”。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了“3+4”“3+4”。第18页，本讲稿共38页19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了恩证明了“1+5”1+5”，中国的王元证明，中国的王元证明了了“1+4”1+4”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，夕太勃和小维诺格拉多夫，及及 意大利的朋比利证明了意大利的朋比利证明了“1+3”1+3”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润

12、证明了 “1+2”1+2”。第19页，本讲稿共38页2 2、孪生素数猜想：、孪生素数猜想：所谓孪生素数指的就是这所谓孪生素数指的就是这种间隔为种间隔为 2 2 的相邻素数，的相邻素数，它们之间的距离已经近得它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄不能再近了，就象孪生兄弟一样。弟一样。第20页，本讲稿共38页最小的孪生素数是最小的孪生素数是 (3,5)(3,5)在在 100 100 以内的孪生素数还有以内的孪生素数还有 (5,(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61)43),(59,

13、61)和和 (71,73)(71,73)，总计有，总计有 8 8 组。组。第21页，本讲稿共38页 孪生素数猜想：孪生素数猜想：存在无穷多个素数存在无穷多个素数 p,p,使得使得 p+2 p+2 也是也是素数。素数。第22页，本讲稿共38页 截至截至20022002年底，人们发现的最年底，人们发现的最大的孪生素数是：大的孪生素数是：(332189252169690-1,(332189252169690-1,332189252169690+1)332189252169690+1)第23页，本讲稿共38页在证明孪生素数猜想上的成果大在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。体可以分为两类。第一类

14、是非估算性的结果，这第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用年由已故的我国数学家陈景润利用筛法筛法 所取得的。陈景润证明了：所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数存在无穷多个素数 p,p,使得使得 p+2 p+2 要么要么是素数，要么是两个素数的乘积。是素数，要么是两个素数的乘积。第24页，本讲稿共38页有无穷多个素数：有无穷多个素数：这个古老的命题最初是由这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德在他古希腊数学家欧几里德在他的不朽著作几何原本里的不朽著作几何原本里给出的。给出的。第25页，本讲稿共38页证明（反证法

15、）：证明（反证法）：假设命题不真，则只有有限多个素数，假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是设所有的素数是2=a2=a1 1aa2 2aaNai i(i=1,2n).(i=1,2n).无论是哪种情况，都将无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！证明，所以确实有无穷多个素数！第26页，本讲稿共38页亲和数：亲和数：如果两个数如果两个数a a和和b b，a a的的所有真因数之和等于所有真因数之和等于b,bb,b的所有真因数之和等于的所有真因数之和等于a,a,则称则称a,ba,b是一对是一对亲和数亲和数。第27页

16、，本讲稿共38页220220和和284284 220220的因数除去本身之外，有的因数除去本身之外，有1 1、2 2、4 4、5 5、10 10、11 11、2020、2222、4444、5555、110110。把这些数相。把这些数相加加1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。它们的和正好等于它们的和正好等于284284嘛！嘛！284284也一样，因也一样，因数（不包含本身）有数（不包含本身）有1 1、2 2、4 4、71 71、142142，把，把这这5 5个数加起来就是个数加起来就是220220。

17、难道这不奇妙吗。难道这不奇妙吗？第28页，本讲稿共38页 又如又如11841184和和12101210，它们也，它们也是一对相亲数。是一对相亲数。18 18世纪著世纪著名数学家欧拉，就曾经名数学家欧拉，就曾经一次向大家公布了一次向大家公布了6060对对相亲数。相亲数。第29页，本讲稿共38页 完全数完全数:如果一个数除去这个数本身不算外，如果一个数除去这个数本身不算外，其他所有因数的和还等于这个数，就其他所有因数的和还等于这个数，就把这个数叫做把这个数叫做完全数完全数。完全数是一些。完全数是一些特殊的自然数。比如特殊的自然数。比如6 6，就是一个完全，就是一个完全数。因为数。因为6 6的因数是

18、的因数是1 1、2 2、3 3、6 6。除去。除去6 6不算，不算，1+2+3=61+2+3=6。这证明了。这证明了6 6是最小的是最小的完全数。完全数。第30页，本讲稿共38页 2828、496496、81288128、130816130816、33550336.33550336.这些都是完全这些都是完全数。现在数学家们用电子计数。现在数学家们用电子计算机来验算，已经找到有好算机来验算，已经找到有好几万位的数值非常大的完全几万位的数值非常大的完全数。事实上，至今，人类只数。事实上，至今，人类只发现了发现了4444个完全数。个完全数。第31页，本讲稿共38页费马费马(Fermat):(Ferm

19、at):数论大师数论大师费马大定理：费马大定理：n2n2是整数，则方程是整数，则方程x xn n+y+yn n=z=zn n没有满没有满足足xyz0 xyz0的整数解。这个是不定方程，的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明了它已经由美国数学家证明了(1995(1995年年)，证明的过程是相当艰深的！，证明的过程是相当艰深的！第32页，本讲稿共38页费马小定理：费马小定理：假如假如p p是质数，且是质数，且(a,p)=1(a,p)=1，那，那么么 a a(p-1)(p-1)1 1（mod pmod p）假如假如p p是是质数，且质数，且a,pa,p互质，那么互质，那么 a a的的(p-

20、(p-1)1)次方除以次方除以p p的余数恒等于的余数恒等于1 1。第33页，本讲稿共38页 成果：成果：(1)(1)全部素数可分为全部素数可分为4n+14n+1和和4n+34n+3两种形式。两种形式。(2)(2)形如形如4n+14n+1的素数能够，而且只能够以的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。一种方式表为两个平方数之和。(3)(3)没有一个形如没有一个形如4n+34n+3的素数，能表示的素数，能表示为两个平方数之和。为两个平方数之和。第34页，本讲稿共38页 (4)(4)形如形如4n+14n+1的素数能够且只能够作的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形为一个直角

21、边为整数的直角三角形的斜边；的斜边；4n+14n+1的平方是且只能是两的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+14n+1的的m m次方是且只能是次方是且只能是m m个这种直个这种直角三角形的斜边。角三角形的斜边。第35页，本讲稿共38页(5)(5)边长为有理数的直角三角形的面边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。积不可能是一个平方数。(6)(6)发现了第二对亲和数：发现了第二对亲和数：1729617296和和1841618416。第36页，本讲稿共38页 (7)4n+1(7)4n+1形的素数与它的平方形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的个平方数之和；它的3 3次和次和4 4次次方都只能以两种表达为两个平方都只能以两种表达为两个平方数之和；方数之和；5 5次和次和6 6次方都只能次方都只能以以3 3种方式表达为两个平方数种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。之和，以此类推，直至无穷。第37页，本讲稿共38页第38页，本讲稿共38页