数列极限存在的条件精.ppt

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1、数列极限存在的条件第1页，本讲稿共29页一一 单调有界原理单调有界原理定义定义 称为单调上升的，若 称为单调下降的，若 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？第2页，本讲稿共29页Mv定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限 定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生 数列极限存在的条件第3页，本讲稿共29页数列极限存在的条件v定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限 证明 第4页，本讲稿共29页例

2、例1 设 证明数列 收敛.例例2 例例3(n重根号),证明数列 单调有界,并求极限.求(计算 的逐次逼近法,亦即迭代法).解 由均值不等式,有 有下界;第5页，本讲稿共29页注意到对 有 有,例4 1）证明序列 的极限存在；2）求极限 第6页，本讲稿共29页解解 1）因 时有 所以 即有 这表明序列 有下界。又 故序列 下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是 或 第7页，本讲稿共29页2）因 所以 又 即得 第8页，本讲稿共29页例例2 2证证(舍去舍去)第9页，本讲稿共29页二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则收敛准则1 Cauchy列：列：如果数列具有以下特

3、性：则称数列是一个基本数列.（Cauchy列）列）2 Cauchy收敛准则：收敛准则：定理 数列 收敛的充要条件是：是一个基本数列.数列收敛或第10页，本讲稿共29页第11页，本讲稿共29页第12页，本讲稿共29页数列极限存在的条件定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1 x2 x3 x4 x5 第13页，本讲稿共29页 例例5 证明:任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列收敛.其中 是中的数.证证 令 有 第14页，本讲稿共29页 第15页，本讲稿

4、共29页第16页，本讲稿共29页第17页，本讲稿共29页第18页，本讲稿共29页三三.关于极限关于极限（证明留在下段进行.）例例8 例例9 例例10第19页，本讲稿共29页四四 数列数列 证法一证法一单调有界证法欣赏单调有界证法欣赏:Cauchy(17891857)最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.设 用二项式展开，得 第20页，本讲稿共29页注意到 且比 多一项 即.第21页，本讲稿共29页有界.综上,数列单调有界.评註评註:该证法朴素而稳健,不失大师风度.证法二证法二 (利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式 为正整数),有第22页，本讲稿共29页第23页，本讲稿共29页第24页，本讲稿共29页第25页，本讲稿共29页第26页，本讲稿共29页第27页，本讲稿共29页第28页，本讲稿共29页第29页，本讲稿共29页