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1、刚体力学基础第1页，本讲稿共50页二二 、平动和转动平动和转动A AB B平动平动:固联在刚体上的任一条直线固联在刚体上的任一条直线,在各时刻在各时刻的位置始终保持彼此平行的运动的位置始终保持彼此平行的运动特征特征:各点的速度和加速度一样各点的速度和加速度一样,因此因此,可以可以选取刚体上的任一点来代表其运动选取刚体上的任一点来代表其运动.转动转动:刚体上所有各点都绕同一直线刚体上所有各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动.特征特征:r rp po oX X刚体上所有不在转轴上的各个质元都在作刚体上所有不在转轴上的各个质元都在作半径不等的圆周运动半径不等的圆周运动圆周轨道所在平面垂直

2、于转轴圆周轨道所在平面垂直于转轴,称为转动平面称为转动平面.各个质点在相同时间内都转过了相同的角度各个质点在相同时间内都转过了相同的角度因此因此,描述刚体的定轴转动描述刚体的定轴转动,可以在刚体上选取一个质元作代表可以在刚体上选取一个质元作代表点点P,P,选取坐标轴选取坐标轴oX,oX,就可以就可以用角坐标、角速度、角加速度来定量描用角坐标、角速度、角加速度来定量描述。述。第2页，本讲稿共50页三、定轴转动三、定轴转动 O O刚体刚体v vP Pr rr r定轴定轴 参参考考方方向向z z角速度角速度角加速度角加速度匀变速转动时匀变速转动时:第3页，本讲稿共50页四、四、角速度角速度o o角速

3、度矢量角速度矢量:大小大小:方向方向:与刚体转动方向成右手螺旋法别与刚体转动方向成右手螺旋法别.刚体上任一点刚体上任一点p p的线速度与角速度之间的关的线速度与角速度之间的关系可表示为系可表示为:速度的大小为速度的大小为:其中其中是质元是质元P P到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离第4页，本讲稿共50页4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 是决定刚体转动的物理量是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。向和作用点对物体转动的影响。一、力矩一、力矩1.力矩的定义力矩的定义:2.物理意义物理意义3.定轴转动定轴转动的力矩的力矩(1)力矩只有两

4、个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向矩的方向;(2)若有若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和力矩为所有力对刚体力矩的代数和;doPz第5页，本讲稿共50页(3)若力不在垂直于转轴的平面内若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方向分则将这些力沿平面和转轴方向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的代数和即解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的代数和即为这些力的合力矩为这些力的合力矩;(4)由于刚体内质

5、点间的相互作用力总是由于刚体内质点间的相互作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三定律，所以成对出现，并遵守牛顿第三定律，所以这些力对转轴的合力矩为零，即合内力这些力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。矩为零。对对 mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：二、转动定律二、转动定律zOrifiFi mi i i切向分量式为：切向分量式为：外力矩外力矩内力矩内力矩第6页，本讲稿共50页对所有质点求和：对所有质点求和：用用M表示合外力矩表示合外力矩,则有则有:MJ 转动惯量转动惯量矢量式矢量式:刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律:刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体

6、上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。2.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。说明：说明：1.与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。3.力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所 以以用用正负号表示方向正负号表示方向。第7页，本讲稿共50页物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大

7、小反映了改变刚体转动状态的难易程度。改变刚体转动状态的难易程度。三、转动惯量三、转动惯量1.定义定义2.与转动惯量有关的因素与转动惯量有关的因素刚体的质量及其分布刚体的质量及其分布;转轴的位置转轴的位置;刚体的形状。刚体的形状。在（在（SI）中，）中，J 的单位：的单位：kgm2 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。3.转动惯量的计算转动惯量的计算质量离散分布的刚体质量离散分布的刚体第8页，本讲稿共50页若质量连续分布若质量连续分布质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量

8、为面分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布体分布体分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。一般刚体则用实验求其转动惯量。第9页，本讲稿共50页例例1 求长为求长为L 质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm=d

9、xA,C 相距相距L/2第10页，本讲稿共50页2.平行轴定理平行轴定理 前例中前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，表示相对质心轴的转动惯量，JA 表示相表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2，有：，有：cd推广推广:若有任一轴与过质心的轴若有任一轴与过质心的轴平行且相距平行且相距d，刚体对其转动惯，刚体对其转动惯量为量为:,称为平行轴定理。称为平行轴定理。第11页，本讲稿共50页例例2 求质量为求质量为m 半径为半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。平面垂直并通过圆心。解解:在环上任取

10、一小线元在环上任取一小线元dlROdm其质量其质量第12页，本讲稿共50页例例3 求质量为求质量为m，半径为半径为R，厚为厚为l 的均匀圆盘的转动惯的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环可见，转动惯量与可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是的转动惯量也是 。第13页，本讲稿共50页 例例4 4 求求质质量量为为m半半径径为为R的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心轴的转动惯量。心轴的转动惯量。解解:在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径第14页

11、，本讲稿共50页 例例5 5 求求质质量量为为m半半径径为为R的的匀匀质质球球体体绕绕过过球球心心轴轴的的转转动惯量。动惯量。解解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 第15页，本讲稿共50页3.(3.(薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量例如求对圆盘的一条直径的转动惯量已知已知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板。薄板。zxy第16页，本讲稿共50页例例4 4 在半径为在半径为R,R,质量为质量为M M的均匀薄圆板上的均匀薄圆板上,挖出一个直径为挖出一个直径为R R的圆孔的圆孔,孔的中孔的

12、中心为心为R/2R/2处处,求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量。惯量。o oZ Z解解 用补偿法用补偿法大圆板对大圆板对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量被挖圆孔对被挖圆孔对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量被挖圆孔质量被挖圆孔质量计算计算用平行轴定理用平行轴定理Z ZZ Z第17页，本讲稿共50页例例5 如图所示，刚体对经过棒端如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？何计算？(棒长为棒长为L,球球半径为半径为R）解：解：第18页，本讲稿共50页四、定轴转动刚体的转动定律的应用四、定轴转动刚体

13、的转动定律的应用解：解：例例6 6 一个质量为一个质量为 半径为半径为R 的定滑轮（当作的定滑轮（当作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固定均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下落由静止下落高度高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。()第19页，本讲稿共50页 0例例7 一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg，半径为，半径为0.25m,正在以每分正在以每分10001000转的转速转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在转动。现在要制

14、动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。已秒内使它均匀减速而最后停下来。已知摩擦系数为知摩擦系数为0.46，求闸瓦对轮子的压力，求闸瓦对轮子的压力N为多大？（为多大？（J=mR2 ）解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr第20页，本讲稿共50页棒下摆为加速过程，外力矩为重棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力对O 的力矩。的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。心所产生的力矩一样。解：解：xOmgx例例8 一根长为一根长为l 质

15、量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。()()重力力矩为：重力力矩为：第21页，本讲稿共50页一、力矩的功一、力矩的功 -力矩的空间积累作用力矩的空间积累作用-力矩的功力矩的功5.3 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理Frds 合外力矩合外力矩二、力矩的功率二、力矩的功率功对时间的变化率功对时间的变化率第22页，本讲稿共50页若力矩是恒

16、量若力矩是恒量:比较：比较：三、转动动能三、转动动能 miri 设转动角速度为设转动角速度为，第第i个质元个质元mi 的的速度为速度为:其动能为其动能为:第23页，本讲稿共50页整个刚体的动能为整个刚体的动能为:刚体刚体转动转动动能动能平动动能平动动能转动动能转动动能比较：比较：四、定轴转动的动能定理四、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量的改变量.第24页，本讲稿共50页-刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理-质点的动能定理质点的动能定理比较比较:四、机械能与机械能守恒四、机械能与机械

17、能守恒机械能机械能 =势能势能 +平动动能平动动能 +转动动能转动动能刚体与质点组成的系统，机械能包括：刚体与质点组成的系统，机械能包括：机械能守恒条件：机械能守恒条件：机械能机械能 =势能势能+平动动能平动动能+转动动能转动动能 =恒量恒量刚体与质点组刚体与质点组成系统的机械成系统的机械能守恒定律能守恒定律第25页，本讲稿共50页例例9 9 质量质量m m半径为半径为R R的均匀圆盘的均匀圆盘,可在水平桌面上绕中心轴转可在水平桌面上绕中心轴转动动,盘面与桌面间摩擦系数为盘面与桌面间摩擦系数为,求盘转过一圈时摩擦力矩求盘转过一圈时摩擦力矩的功的功.解：解：第26页，本讲稿共50页例例10 10

18、 如如图图所所示示，滑滑轮轮转转动动惯惯量量为为0.01kgm0.01kgm2 2，半半径径为为7cm7cm，物物体体质质量量为为5kg5kg，由由一一绳绳与与倔倔强强系系数数k=200N/mk=200N/m的的弹弹簧簧相相连连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。（1 1）当当绳绳拉拉直直，弹弹簧簧无无伸伸长长时时，使使物物体体由由静静止止而而下下落落的最大距离；的最大距离；（2 2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。）物体速度达到最大值的位置及最大速率。求：求：第27页，本讲稿共50页第28页，本讲稿共50页5.4 5.4 角动

19、量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一、一、质点质点绕固定轴绕固定轴转动转动的角动量的角动量(动量矩动量矩)质点质点m 以速率以速率v、角速度角速度 绕绕z 轴轴转动转动,z 轴轴垂直于转动平面垂直于转动平面xoy。定义质点定义质点m 绕绕z 轴轴的角动量为的角动量为:方向方向:如图所示如图所示;大小大小:由于由于质点质点绕固定轴绕固定轴转动转动,则有则有:单位：单位：第29页，本讲稿共50页二二、质点质点的角动量定理及角动量守恒定律的角动量定理及角动量守恒定律由由牛顿第二定律牛顿第二定律:力矩力矩:由于由于:则则:质点质点的角动量定理的角动量定理:质点质点的角动量守恒定律的角动量守恒定律:

20、冲量矩冲量矩第30页，本讲稿共50页一质量一质量m的粒子位于的粒子位于 (x,y)处处,速度速度为为并受到一个沿并受到一个沿-x方方向的力向的力f,求它相对于坐标原点求它相对于坐标原点o的角动量和作用在其上的力矩的角动量和作用在其上的力矩.解解:第31页，本讲稿共50页开普勒第二定律开普勒第二定律:在有心力作用下在有心力作用下,从力心到运动质点的矢从力心到运动质点的矢径径在单位时间内扫过的面积是常量在单位时间内扫过的面积是常量证明证明:oab+t内内,质点矢径扫过面积为质点矢径扫过面积为t0tt0因质点只受有心力作用因质点只受有心力作用,则则常量常量常量常量说明说明:的大小不变的大小不变,说明

21、面积速度是恒量说明面积速度是恒量在空间的指向不变在空间的指向不变,说明质点的轨迹在一个平面内说明质点的轨迹在一个平面内两边同除两边同除 t第32页，本讲稿共50页两个重量相等的小孩从同一高度从静止向上爬两个重量相等的小孩从同一高度从静止向上爬,相对于绳子相对于绳子,甲的速率是乙的甲的速率是乙的两倍两倍,谁先到达顶点谁先到达顶点?若两小孩重量不等若两小孩重量不等,又如何又如何?甲甲乙乙选取两人为研究对象选取两人为研究对象C=0方向向里方向向里方向向外方向向外=0甲相对于地的速度甲相对于地的速度乙相对于地的速度乙相对于地的速度因此因此,两人同时到达两人同时到达二二:若若初始两者速度都为零初始两者速

22、度都为零,(1)乙先到达顶点乙先到达顶点(2)甲先到达顶点甲先到达顶点取向里为正取向里为正0第33页，本讲稿共50页 刚体刚体以角速度以角速度 绕绕z 轴轴转动。转动。刚体上刚体上任任一一质元绕质元绕z 轴轴作作圆周运动圆周运动的的角动量为角动量为：三、刚体三、刚体定轴定轴转动的角动量转动的角动量 由于每个由于每个质元质元对对z 轴轴的角动量的角动量方向相同方向相同,刚体对刚体对z 轴轴的角动量为的角动量为:角动量是角动量是描述刚体转动状态的物理量描述刚体转动状态的物理量四四、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理由转动定律由转动定律:第34页，本讲稿共50页 冲量矩冲量矩 表示合外力矩在表示合外

23、力矩在t0 t 时间内的累积作时间内的累积作用。用。单位：牛顿单位：牛顿米米秒秒角动量定理角动量定理:作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。五五、刚体的角动量守恒定律、刚体的角动量守恒定律刚体刚体角动量守恒定律角动量守恒定律:当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量物体的角动量保持不变。保持不变。定轴定轴说明：说明：1.若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对同一转轴的角动量；同一转轴的角动量；2.对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定对微观粒子和高速运动也适用，

24、是物理学中的基本定律之一。律之一。第35页，本讲稿共50页角动量守恒定律的两种应用：角动量守恒定律的两种应用：1.转动惯量保持不变的单个刚体。转动惯量保持不变的单个刚体。2.转转动惯量可变的物体。动惯量可变的物体。花样滑冰运动员通过改变身花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转体姿态即改变转动惯量来改变转速速.第36页，本讲稿共50页例例11 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹和杆子发生完全非弹性碰

25、撞并且和杆子粘在一起。试求性碰撞并且和杆子粘在一起。试求:1.碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度；2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。碰撞后杆子能上摆的最大角度。）LmM解：碰撞过程角动量守恒解：碰撞过程角动量守恒上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：注意：橡皮泥注意：橡皮泥和杆子的零势和杆子的零势点取得不同。点取得不同。第37页，本讲稿共50页例例12 如图所示如图所示,质量为质量为m 的粘土块从距的粘土块从距匀质圆盘匀质圆盘h 处落下处落下,盘的质量盘的质量 M=2m,=60,盘心为光滑轴。盘心为光滑轴。求碰撞后瞬间盘的求碰撞后瞬间盘的 0 ；P 转到转到x 轴时轴时盘的盘的，。

26、解：解：m下落到下落到P 点前一瞬间有点前一瞬间有 碰撞时间极短，对碰撞时间极短，对m+盘系统，冲力远大于重力，盘系统，冲力远大于重力，故重力对故重力对o o 的力矩可忽略，角动量守恒：的力矩可忽略，角动量守恒：对对m+盘盘+地球系统，只有重力做功，机械能守恒。令地球系统，只有重力做功，机械能守恒。令x 轴为零势面轴为零势面,则：则：第38页，本讲稿共50页解：由角动量守恒解：由角动量守恒摩擦力矩作负功，摩擦力矩作负功，有机械能损失。有机械能损失。例例13 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为 1、2 ，求：求：1)对接后共同的角速度对接后共同的角速

27、度 ;2)对接过程中的机械能损失。对接过程中的机械能损失。J2J112第39页，本讲稿共50页例例14 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为J0,哑铃的质量为哑铃的质量为m,初始转速为初始转速为1。求：求：双臂收缩由双臂收缩由r1变为变为r2时的角速度及机械能增量。时的角速度及机械能增量。r2r1mmJ01 1解：由角动量守恒解：由角动量守恒非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加。，机械能增加。第40页，本讲稿共50页例例15 一转台绕其中心的竖直轴以角速度一转台绕其中心的竖直轴以角速度0=s-1 转动，转台对转轴的转转动，转台对转轴的转动惯量为动惯量为J0=4.010-3 kgm

28、2 。今有沙粒以。今有沙粒以Q=2t gs-1的流量竖直落至转的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r=0.10m，求沙粒下落，求沙粒下落t=10 s 时，转台的角速度。时，转台的角速度。解：在解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：内落至台面的沙粒质量为：沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则任意时刻则任意时刻系统角动量守恒：系统角动量守恒：t=10 s 时转台的角速度：时转台的角速度：第41页，本讲稿共50页例例16 如图，一空心圆环可绕竖直轴如图，一空心圆环可绕竖直轴OO自

29、由转动，转动惯量为自由转动，转动惯量为J0 ，环的半径为，环的半径为R，初始角速度为，初始角速度为0，今有一质量为，今有一质量为m的小球静止在环的小球静止在环内内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（设环内壁光滑）。速度与小球相对于环的速度各为多少？（设环内壁光滑）。解：小球在解：小球在 A、C 点对点对OO轴的转动惯量为轴的转动惯量为0 0，在，在B 点处的转动惯量为点处的转动惯量为mR2 ,对对 环环+小球小球系统系统,外力为重力外力为重力,不产生力矩不产生力矩,角动量守恒：角

30、动量守恒：对环对环+小球小球+地球系统地球系统,机械能守恒，取环心为机械能守恒，取环心为零势点，有：零势点，有：得得：第42页，本讲稿共50页由这几式得由这几式得：例例17 如图，在光滑的水平面上有一轻弹簧（倔强系数为如图，在光滑的水平面上有一轻弹簧（倔强系数为k ）它的一端）它的一端固定，另一端系一质量为固定，另一端系一质量为m 的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度然长度l0，今有一质量为，今有一质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度线射向滑块且留在其中

31、，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，时，求滑块速度的大小和方向。求滑块速度的大小和方向。解：沿水平方向动量守恒解：沿水平方向动量守恒:对子弹对子弹+滑块滑块+弹簧系统弹簧系统,合外力做功为零，合外力做功为零，机械能守恒；合外力矩为零，角动量守恒：机械能守恒；合外力矩为零，角动量守恒：第43页，本讲稿共50页本本 章章 小小 结结一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式1.物理量物理量角速度角速度角加速度角加速度2.线量和角量的关系线量和角量的关系3.匀角加速转动公式匀角加速转动公式二、转动定律二、转动定律注意注意:J和和M必须是一个刚体对同一转

32、轴的转动惯量和力矩。若必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩。若同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出 。三、转动惯量三、转动惯量刚体的转动惯量与刚体的质刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、质量的分布以及量、形状、质量的分布以及转轴的位置有关。转轴的位置有关。第44页，本讲稿共50页计算转动惯量的方法：计算转动惯量的方法：(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量：已知质量分布，由定义式求转动惯量：(2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解：已知两轴间距离，用平行轴定理求解：(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加法求解：已知刚体系中各个刚体对同

33、一转轴的转动惯量，由叠加法求解：四、刚体力学中的功和能四、刚体力学中的功和能(1)力矩的功：力矩的功：(2)刚体转动动能定理：刚体转动动能定理：(3)机械能守恒定律：只有保守机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势能之内力作功时，系统动能与势能之和为常量。和为常量。五、刚体角动量和角动量守恒定律五、刚体角动量和角动量守恒定律(1)角动量角动量:(2)角动量定理角动量定理:(3)角动量守恒定律角动量守恒定律:当刚体当刚体(系统系统)所受外力矩为所受外力矩为零时，则刚体零时，则刚体(系统系统)对此轴对此轴的总角动量为恒量。的总角动量为恒量。第45页，本讲稿共50页半径为半径为R,转动惯量为

34、转动惯量为I的圆柱体可绕中心轴无摩擦地转动的圆柱体可绕中心轴无摩擦地转动,起初它静止起初它静止,今今有一木块有一木块M以以由光滑平面的左方向右滑动由光滑平面的左方向右滑动,并切擦圆柱体上表面滑向并切擦圆柱体上表面滑向等高的另一平面等高的另一平面,设木块和圆柱体间无滑动设木块和圆柱体间无滑动,求木块滑过圆柱体后的速求木块滑过圆柱体后的速度度oRMI解解 分析木块滑过圆柱体的一瞬间分析木块滑过圆柱体的一瞬间,把木块与圆柱体看作一系统把木块与圆柱体看作一系统,摩擦力是系统的摩擦力是系统的内力内力,合外力为零合外力为零F =0外外因此因此,系统的角动量守恒系统的角动量守恒初始初始末时末时因因第46页，

35、本讲稿共50页质量质量.长长的均匀细棒的均匀细棒,静放在滑动摩擦系数为静放在滑动摩擦系数为的水平桌面上的水平桌面上,棒可绕通过其端点棒可绕通过其端点o且与桌面垂直的轴无摩擦地转动且与桌面垂直的轴无摩擦地转动,另有一质量为另有一质量为的小滑块在桌面作水平运动的小滑块在桌面作水平运动,从侧面与垂直于棒的另一端从侧面与垂直于棒的另一端A相撞相撞,设碰撞时间极短设碰撞时间极短,木块碰撞前后的速度为木块碰撞前后的速度为和和求碰撞后细棒从相碰到停转过程经历的时间求碰撞后细棒从相碰到停转过程经历的时间oA解解 分为两个阶段分为两个阶段(1)碰撞过程碰撞过程:角动量守恒角动量守恒(2)细棒减速运动过程细棒减速

36、运动过程计算细棒受的阻力矩计算细棒受的阻力矩:odrdf因此因此第47页，本讲稿共50页长为长为L,质量为质量为M的均质杆的均质杆,可绕可绕o点转动点转动,今杆自水平位置无初速地落下今杆自水平位置无初速地落下,在铅直在铅直位置与物体位置与物体m作完全非弹性碰撞作完全非弹性碰撞.求物体沿水平面滑动的距离，设水平面的摩擦求物体沿水平面滑动的距离，设水平面的摩擦系数为系数为LMm解解 分为三个阶段分为三个阶段(1)杆下落阶段杆下落阶段:(2)杆与物体碰撞过程杆与物体碰撞过程:因碰撞时间极短因碰撞时间极短,物体未移动物体未移动,外力矩为零外力矩为零,角动量守恒角动量守恒设碰后杆的角速度为设碰后杆的角速

37、度为,因是完全非弹性碰撞因是完全非弹性碰撞,物体获得的速度物体获得的速度为为(3)物体滑动阶段物体滑动阶段:第48页，本讲稿共50页解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为 v vr r ，转盘相对于固定铅直轴的角速度为，转盘相对于固定铅直轴的角速度为。当人走动时，系统所受外力对。当人走动时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴铅直轴之矩为零，故对轴动量矩守恒动量矩守恒：例例题题 质质量量为为M M、半半径径为为R R的的转转盘盘，可可绕绕铅铅直直轴轴无无摩摩擦擦地地转转动动。转转盘盘的的初初角角速速度度为为零零。一一个个质质量量为为m m的的人人，在在转转盘盘上上从从静静止止开开始始沿沿半半径径为为r r的的圆圆周周相相对对转转盘盘匀匀速速走走动动，如如图图。求求当当人人在在转转盘盘上上走走一一周周回回到到盘盘上上的的原原位位置置时时，转转盘盘相相对对于于地地面转过了多少角度。面转过了多少角度。第49页，本讲稿共50页所以所以设在设在 t t内，盘相对于地面转过的角度为内，盘相对于地面转过的角度为其中其中 为人相对于盘转过的角度，人走一周期大为人相对于盘转过的角度，人走一周期大小为小为2 2 则因此盘相对于地面转过的角度为：则因此盘相对于地面转过的角度为：第50页，本讲稿共50页