《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案.doc

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1、 数学分析续论 模拟试题及答案 一、 单项选择题（） （）设 为单调数列，若存在一收敛子列，这时有 ；不一定收敛；不一定有界； 当且仅当预先假设了为有界数列时，才有成立 （）设在R上为一连续函数，则有 当为开区间时必为开区间；当为闭区间时必为闭区间；当为开区间时必为开区间；以上、都不一定成立 （）设在某去心邻域内可导这时有 若存在，则；若在连续，则A成立；若存在，则；以上、都不一定成立 （）设在上可积，则有 . 在上必定连续；在上至多只有有限个间断点；的间断点不能处处稠密； 在上的连续点必定处处稠密 （）设 为一正项级数这时有 若,则 收敛；若 收敛，则；C若 收敛，则； 以上、都不一定成立二

2、、计算题（） （）试求下列极限：；（）设试求（）试求由曲线 ，直线，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 （）用条件极值方法（Lagrange乘数法）导出从固定点到直线的距离计算公式三、证明题（）（）设在上都连续试证：若，则必存在，满足（）证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：,其中 均为正数( 提示：利用詹森不等式)（） 证明：解 答一、答（）；（）；（）；（）；（）二、解（） ； （）1 2 （）所围曲边梯形如右图所示其面积为（）由题意，所求距离的平方（）为的最小值，其中需满足，故此为一条件极小值问题依据 Lagrange 乘数法，设，并令（）由方程组（）可依次解出：最后结果就是所求距离的计算公式注上面的求解过程是由（）求出后直接得到，而不再去算出的值，这是一种目标明确而又简捷的解法三、证（）只需引入辅助函数：易知在上连续，满足，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在，满足，即（）的定义域为，在其上满足：，所以为一严格凸函数根据詹森不等式，对任何正数，恒有最后借助函数的严格递增性，便证得不等式（）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和此时可以考虑把该级数的和看作幂级数在处的值，于是问题转为计算 不难知道上述幂级数的收敛域为，经逐项求导得到；这已是一个几何级数，其和为再通过两边求积分，还原得由于这里的，于是求得