教师等差数列.doc

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1、东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案035 等差数列 编写教师：辛颖 审稿教师：宫海静一、 知识梳理（阅读教材必修5-第36页至45页）1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.注：知道其中任意3个元素便可求出其余2个元素；数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法，是关于n的一次函数，即（n，an）是函数图象上的一串间断点，这些点分布在斜率为d的直线上；Sn是关于n的二次函数，是其二次项系数，时，Sn

2、必有最大值.3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；等差中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质：已知：、d为数列公差，m、n、p、q*（1）a、b、c成等差数列2b=a+c；（2）kan，an+b，an+bn，kan+b（k、b为常数），仍成等差数列；（3）；（4）2an=an-m+an+m；（5）若，则；（6）等差数列中，等距离抽出的子数列依然等差，即为等差数列，公差为；（7）如果Sn为an的前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列，公差为； （8）记奇数项之和为，偶数项之和

3、为：若共有2n项，则nd，；若共有2n1项，则，.（9）三个数成等差时，一般设为（d为公差）；四个数成等差时，一般设为（2d为公差）.二、题型探究探究一：已知等差数列的某些项，求某项.【例1】已知为等差数列，则 【解析】方法1： 方法2：， 方法3：令，则 方法4：为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.方法5：为等差数列，三点共线探究二：已知前项和及其某项，求项数.【例2】（1）已知为等差数列的前项和，求；（2）若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； （2）利用

4、等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.（3）设为等差数列的前项和，若，公差，则_5【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则（2）【讲评】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：(1)基本量法；(2)利用等差数列的性质.探究三：求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列的前项和，.求； 求；求.【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】，当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.； ；当时， 当时， 【讲评】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.探究四：等差数列的性质应用【例4】(1)已知为等差数列的前项和，则 ； (2)已知为等差数列的前项

5、和，则 .【解析】；方法1：令，则.，；方法2：不妨设 .，；方法3：是等差数列，为等差数列三点共线. .【讲评】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.【例5】设等差数列的前n项和为，已知，0，（1）求公差d的取值范围，（2）指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由.【解析】（1）由知又 知即将、组成混合组得.（2）解法一：时，时，解法二：，且，即，因此可知S6最大.1213xyO【点评】等差数列中，若，则必取最大值，本题就是利用这一思想找到正负项的分界项而获解的.探究五：等差数列与其它知识的综合【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的

6、前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解题思路】利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.【讲评】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.三、反思感悟 四、课时作业（一）选择题（1）设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则 ( C )（A） （B） （C） （D）（2）设是等差数列，若，则数列前8项和为 （C）（A）128 （B）80 （C）64 （D）56 （3）等差数列的前n项和

7、为，且= 6，= 4， 则公差d等于 （C）（A）1 （B） （C） （D）3（4）已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（C） （A）30 （B）45 （C）90 （D）186（5）数列的首项为3，为等差数列且若则，则（ B ）（A）0 （B）3 （C）8 （D）11【解析】由已知知由叠加法（6）含项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 （ B ）（A） （B） （C） （D）【解析】，.选B.（7）设、分别是等差数列、的前项和，则（ C ） （A） （B）4 （C） （D） 【解析】 （8）已知,且和都是等差数列，则( B )（A）1 （B） （C） （D）【解析】设等差数列和的公差

8、分别是 则，同理，得， .（二）填空题（9）数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 【解析】 由知是等差数列， （10）已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 【解析】 已知两式相减，得 （11）设数列中，则通项 . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳猜想证明的方法.（12）已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_.【答案】（三）解答题（13）已知等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，设，且，求的值.【解析】（）设数列的公差为，则（），令，得当时，（14）已知为等差数列的前项和，（）当为何值时，取得最大值；（）求的值

9、；（）求数列的前项和【解析】（）等差数列中，公差，令 当时，；当时，.当时，取得最大值；（）数列是等差数列；（）由（）得，当时，；当时，. （15）已知为数列的前项和，.（）求数列的通项公式；（）数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.【解析】（）当时，且，是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，；（）当时，当时，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数（16）已知数列中， ，数列，满足 （）求证数列是等差数列； （）求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（）求，【解析】（）当时，而， 是首项为，公差为1的等差数列（）依题意有，而， 当时，；当时，故中的最小值为-1，最大值为（），