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1、常用概率分布你现在浏览的是第一页，共126页第一节第一节 事件与概率事件与概率l事事 件件l概率概率l小概率事件实际不可能性原理小概率事件实际不可能性原理 你现在浏览的是第二页，共126页一、事件（一）必然现象与随机现象（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：大体上分为两大类：你现在浏览的是第三页，共126页 一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定的，必然

2、发生（或必然不重复进行观察，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称为发生）。这类现象称为必然现象必然现象或或确定性现象确定性现象。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未必相同。件不变的情况下，重复进行观察，其结果未必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为象，称为随机现象随机现象或或不确定性现象不确定性现象。你现在浏览的是第四页，共126页 随机现象或不确定性现象，有如下特点：随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种

3、可能的结果在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性频率的稳定性，通常称之为随机现象的，通常称之为随机现象的统计规律性。统计规律性。你现在浏览的是第五页，共126页 （二）随机试验与随机事件（二）随机试验与随机事件 1、随机试验、随机试验 通常我们把

4、根据某一研究目通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验统称为试验试验。一个试验如果满足下述三个特性，一个试验如果满足下述三个特性，则称其则称其为一个为一个随机试验随机试验，简称，简称试验试验：你现在浏览的是第六页，共126页 （1）试验可以在相同条件下多次重复进）试验可以在相同条件下多次重复进行；行；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个，并，并且事先知道会有哪些可能的结果；且事先知道会有哪些可能的结果；（3）每次）每次 试验总是恰好出现这些可能结试验总是恰好出现这些可能结果中的一个果中的一个，

5、但在一次试验之前却不能肯，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。定这次试验会出现哪一个结果。你现在浏览的是第七页，共126页 2、随机事件、随机事件 随机试验的每一种可能结果，称为随机试验的每一种可能结果，称为随机随机事件事件，简称事件，通常用，简称事件，通常用 A、B、C 等来表等来表示。示。随机事件随机事件在一定条件下可能发生，也可在一定条件下可能发生，也可能不发生。能不发生。你现在浏览的是第八页，共126页 （1）基本事件）基本事件 我们把不能再分的事件称为我们把不能再分的事件称为基本事件基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件

6、复合事件。（2）必然事件）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称为我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然必然事件事件，用，用表示。表示。你现在浏览的是第九页，共126页 （3）不可能事件）不可能事件 我们把在一定条件下不可能发生的事件我们把在一定条件下不可能发生的事件称为称为不可能事件不可能事件，用，用表示。表示。必然事件与不可能事件实际上是确定性必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，现象，即它们不是随机事件，但但 是是 为了方为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。事件。你现在浏览的是第十页，共126页二二、概

7、概 率率 刻划事件发生可能性大小的数量指标，称为刻划事件发生可能性大小的数量指标，称为概率概率。事件。事件A的概率记为的概率记为P（A）。）。（一）概率的统计定义（一）概率的统计定义你现在浏览的是第十一页，共126页 在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验，如果随机次重复试验，如果随机事件事件A发生的次数为发生的次数为m，那么，那么m/n称为随机事件称为随机事件A的的频率频率；当试验重复数；当试验重复数n逐渐增大时，随机事逐渐增大时，随机事件件A的频率越来越稳定地接近某一数值的频率越来越稳定地接近某一数值 p，那，那么就把么就把 p称为随机事件称为随机事件A的的概率概率。这样定义的概率称

8、为这样定义的概率称为统计概率统计概率。你现在浏览的是第十二页，共126页 例如例如，为了确定为了确定1粒小麦种子发芽这粒小麦种子发芽这个事件的概率，在表个事件的概率，在表31中列出了小麦种中列出了小麦种子发芽试验记录。子发芽试验记录。你现在浏览的是第十三页，共126页 表表3 31 1 小麦种子发芽小麦种子发芽试验记录试验记录试验种子粒数n 100200300400500600700发芽种子粒数m 65155204274349419489频率m/n 0.6500.6750.6800.6850.6980.6983 0.6986你现在浏览的是第十四页，共126页 从从表表3-1可看出，随着实验次数

9、的增多，可看出，随着实验次数的增多，1粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地接近接近0.7，我们就把，我们就把0.7作为这个事件的概率。作为这个事件的概率。在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可是不可能准确得到的。通常以试验次数能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机充分大时随机事件事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。的频率作为该随机事件概率的近似值。即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）你现在浏览的是第十五页，共126页 （二）概率的古典定义（二）概率的古典定义 有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具

10、有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；本空间中的基本事件只有有限个；2、各、各 个个 试验的可能结果出现的可能性相等，试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。你现在浏览的是第十六页，共126页 具有上述特征的随机试验，称为具有上述特征的随机试验，称为古典概型古典概型。对于古典概型，概率的定义如下：对于古典概型，概率的定义如下：设样本空间由设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构个等可能的基本事

11、件所构成，其中事件成，其中事件 A 包含有包含有 m 个基本事件，则事个基本事件，则事件件 A 的概率为的概率为m/n，即，即 P（A）=m/n 这样定义的概率称为这样定义的概率称为古典概率古典概率。你现在浏览的是第十七页，共126页 【例例31】在在1、2、3、20这这20个数字个数字中随机抽取中随机抽取1个，求下列随机事件的概率。个，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得抽得1个数字个数字4”；（2）B=“抽得抽得1个数字是个数字是2的倍数的倍数”。你现在浏览的是第十八页，共126页 因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由20个等可能的基本个等可能的基本事件构成，即事件构成，即n=20,

12、而事件而事件A所包含的基本事所包含的基本事件有件有4个，既抽得编号为个，既抽得编号为1，2，3，4中的任何中的任何1个，事件个，事件A便发生，即便发生，即mA=4，所以，所以 你现在浏览的是第十九页，共126页 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=10，即抽得数字为，即抽得数字为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何中的任何1个，事件个，事件B便便发生，故发生，故你现在浏览的是第二十页，共126页（三）概率的性质（三）概率的性质 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1；2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1；3、

13、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。你现在浏览的是第二十一页，共126页三、小概率事件实际不可能性原理三、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试验随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于例如小于0.05、0.01、0.001，称之为，称之为小概率事小概率事件。件。你现在浏览的是第二十二页，共126页 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很很

14、大大，以，以 至于实际上可以看成是不可能发生至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学上的。在统计学上，把小概率事件在一次试验中，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。检验（显著性检验）的基本依据。你现在浏览的是第二十三页，共126页第二节第二节 概率分布概率分布 事件的概率表示了一次试验某一个结果发事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可

15、能性大小。生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布。为了深入研究随机试验道随机试验的概率分布。为了深入研究随机试验，我们先引入随机变量的概念。，我们先引入随机变量的概念。你现在浏览的是第二十四页，共126页一、随机变量一、随机变量 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验的取值范围，则试验结果可用变量结

16、果可用变量x来表示。来表示。【例例 32】对对 100 株树苗进行嫁接，观察其成活株树苗进行嫁接，观察其成活株数，其可能结果是株数，其可能结果是“0 株成活株成活”，“1 株成活株成活”，“100 株成活株成活”。用用x表示成活株数，则表示成活株数，则x的取的取值为值为0、1、2、100。你现在浏览的是第二十五页，共126页 【例例33】抛掷一枚硬币，其可能结抛掷一枚硬币，其可能结果是果是“币值一面朝上币值一面朝上”、“币值一面朝下币值一面朝下”。“币值一面朝上币值一面朝上”用用1表示，表示，“币值一币值一面朝下面朝下”用用0表示，用表示，用x表示试验结果，则表示试验结果，则x的取值为的取值为

17、0、1。你现在浏览的是第二十六页，共126页 【例例 34】测定某品种小麦产量测定某品种小麦产量（/667.7），表示测定结果的变量），表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围所取的值为一个特定范围(a,b)，例如，例如200300（/667.7），），x 值可以取这值可以取这个范围内的任何数值。个范围内的任何数值。你现在浏览的是第二十七页，共126页 如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量 x，其可能取，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，些不同的值，则称则称 x 为为离散型随机变量离散型随机变量；如果表示试验结果的变量如果

18、表示试验结果的变量 x，其可能取，其可能取值为某范围内的任何数值值为某范围内的任何数值，且，且 x 在其取值范在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称则称 x 为为 连续型随机变量连续型随机变量。你现在浏览的是第二十八页，共126页二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 要了解离散型随机变量要了解离散型随机变量 x 的统计规律，就的统计规律，就必须知道它的一切可能值必须知道它的一切可能值 xi 及取每种可能值的及取每种可能值的概率概率pi。如果我们将离散型随机变量如果我们将离散型随机变量 x 的一切可能取的一切可能取值值x

19、i (i=1,2,)，及其对应的概率，及其对应的概率pi，记作，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,(33)则称则称（33）式为）式为离散型随机变量离散型随机变量 x 的概率的概率分布或分布分布或分布。你现在浏览的是第二十九页，共126页 常用常用列表法列表法表示离散型随机变量表示离散型随机变量的概率分布的概率分布：x x1 x2 xn p p1 p2 pn 显然离散型随机变量的概率分布具有显然离散型随机变量的概率分布具有pi0和和pi=1这两个基本性质。这两个基本性质。你现在浏览的是第三十页，共126页三、连续型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布不能

20、用分布列连续型随机变量的概率分布不能用分布列来表示，来表示，因为其可能取的值是不可数的。因为其可能取的值是不可数的。对于连续型随机变量对于连续型随机变量x，要了解的是它在某，要了解的是它在某个区间个区间a，b）上取值的概率，即（）上取值的概率，即（axb）？下面通过频率分布密度曲线予以说明下面通过频率分布密度曲线予以说明。你现在浏览的是第三十一页，共126页 由表由表2-6 作作140行水稻产量资料的频率分布直方图，行水稻产量资料的频率分布直方图，见见图图3-1，图中纵座标取频率与组距的比值，图中纵座标取频率与组距的比值。可以设想，如果样本取得越来越大可以设想，如果样本取得越来越大(n+)，组

21、分得，组分得越来越细越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值值 概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的联线点的联线 频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当换句话说，当n+、i0时，时，频率分布折线的极限是频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线一条稳定的函数曲线。你现在浏览的是第三十二页，共126页 对于样本是取自连续型随机变量的情对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反

22、映了基排除了抽样和测量的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。这条曲线叫础母羊体重的变动规律。这条曲线叫概率概率分布密度曲线分布密度曲线，相应的函数叫，相应的函数叫概率分布密概率分布密度函数度函数。你现在浏览的是第三十三页，共126页 (34)式式 为为 连连 续续 型型 随机变量随机变量 x 在在 区间区间a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。率由概率分布密度函数确定。若记体重概率分布密度函数为若记体重概率分布密度函数为 f(x)，则，则 x 取值取值于区间于区间a,b）的概率为图中阴影部分的面积，即）的概

23、率为图中阴影部分的面积，即 (3-4)你现在浏览的是第三十四页，共126页 连续型随机变量概率分布的性质：连续型随机变量概率分布的性质：1、f(x)0；2、(c为任意实数为任意实数)3、你现在浏览的是第三十五页，共126页第三节第三节 二项分布二项分布 一、贝努利试验及其概率公式一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n 次，若各次试验结次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的次试验是独立的。你现在浏览的是第三十六页，共126页 对

24、于对于n次独立的试验，如果每次试验结果出次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件现且只出现对立事件A与与 之一之一，在每次试验中，在每次试验中出现出现A的概率是常数的概率是常数p(0p1)，因而出现对立，因而出现对立事件事件 的概率是的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立，则称这一串重复的独立试验为试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验。重贝努利试验，简称贝努利试验。你现在浏览的是第三十七页，共126页 在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A恰好发生恰好发生k(0kn)次的概率为次的概率为 k=0,1,2，n (3-6)你现在浏览的是第三十八页，共126页 若把若把(3-6

25、)式与二项展开式式与二项展开式相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A发发生生k次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展开式中的第展开式中的第k+1项，所以也项，所以也把把(3-6)式称作式称作二项概率公式二项概率公式。你现在浏览的是第三十九页，共126页二、二项分布的意义及性质二、二项分布的意义及性质 二项分布定义：二项分布定义：设随机变量设随机变量x所有可能的取值为零和正整数：所有可能的取值为零和正整数：0，1，2，n，且有，且有 (k=0，1，2，n)其中其中p0，q0，p+q=1，则称则称随机变量随机变量x服服从参数为从参数为n和和p的二项分布的

26、二项分布，记为，记为 xB(n，p)。你现在浏览的是第四十页，共126页 二二 项项 分布是一种离散型随机变量的概率分分布是一种离散型随机变量的概率分布。布。容易验证，二项分布具有概率分布的一切性容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：质，即：1、P(x=k)=Pn(k)(k=0,1,，n)2、二项分布的概率之和等于、二项分布的概率之和等于1，即，即你现在浏览的是第四十一页，共126页 3、4、5、（m130时，时，t分布与标准正态分布的分布与标准正态分布的区别很小；区别很小；n 100 时，时，t分布基本与标准正态分布基本与标准正态分布相同；分布相同；n时，时，t 分布与标准正态分布完

27、分布与标准正态分布完全一致。全一致。你现在浏览的是第一百一十四页，共126页 用用 表示表示t分布的概率密度函数，则分布的概率密度函数，则 t分布的概率分布函数为：分布的概率分布函数为：因而因而t在区间（在区间（t1，+）取值的概率）取值的概率右右尾概率为尾概率为1-F t(df)。由于由于t分布左右对称，分布左右对称，t在区间（在区间（-，-t1）取）取值的概率也为值的概率也为1-F t(df)。你现在浏览的是第一百一十五页，共126页 于是于是 t 分布曲线分布曲线 下由下由-到到-t1和由和由t1到到+两两个相等的个相等的 概概 率率 之和之和两尾概率为两尾概率为2(1-F t(df)。

28、对于不同自由度下对于不同自由度下t分布的两尾概率及其对分布的两尾概率及其对应的临界应的临界t值已编制成附表值已编制成附表3，即，即t分布表。分布表。你现在浏览的是第一百一十六页，共126页 例如，当例如，当df=15时，查附表时，查附表3得两尾概率等得两尾概率等于于0.05的临界的临界t值为值为 t0.05(15)=2.131，其意义是：，其意义是：P(-t-2.131)=P(2.131t+)=0.025；P(-t-2.131)+(2.131t+)=0.05。你现在浏览的是第一百一十七页，共126页二、二、2分布分布 设有一平均数为设有一平均数为、方差为、方差为 的正态总体。的正态总体。现从此

29、总体中独立随机抽取现从此总体中独立随机抽取n个随机变量：个随机变量：x1、x2、xn，并求出其标准正态离差：，并求出其标准正态离差：你现在浏览的是第一百一十八页，共126页 记这记这n个相互独立的标准正态离差的平方和个相互独立的标准正态离差的平方和为为 2：它服从自由度为它服从自由度为n的的 2分布，记为分布，记为 你现在浏览的是第一百一十九页，共126页 若用样本平均数若用样本平均数 代替总体平均数代替总体平均数，则，则随机变量随机变量 服从自由度为服从自由度为n-1的的 2分布，记为分布，记为 你现在浏览的是第一百二十页，共126页 2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。分布密度曲

30、线是随自由度不同而改变的一组曲线。随自由度的增大，随自由度的增大，曲线由偏斜渐趋于对称；曲线由偏斜渐趋于对称；df30时，时，接接 近近 平均数为平均数为 的正态分布。的正态分布。图图3-14给出了给出了几个不同自由度的几个不同自由度的 2概率分布密度曲线。概率分布密度曲线。因此，因此，2分布是由正态总体随机抽样得来的一种连续分布是由正态总体随机抽样得来的一种连续型随机变量的分布。型随机变量的分布。显然，显然，20，即即 2 的取值范围是的取值范围是0,+；你现在浏览的是第一百二十一页，共126页三、三、F分布分布 设在一正态总体设在一正态总体N（，2）中随机抽取样）中随机抽取样本容量为本容量

31、为n1和和n2的两个样本，得到两个样本方的两个样本，得到两个样本方差（均方）差（均方）、，构成一新的随机变构成一新的随机变量，记为量，记为F，即即 你现在浏览的是第一百二十二页，共126页 服从 ，的F 分布分布。F 分布密度曲线是随自由度分布密度曲线是随自由度df1、df2的的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如的增大逐渐趋于对称，如图图3-15所示。所示。你现在浏览的是第一百二十三页，共126页因而因而F分布右尾从分布右尾从 到到+的概率为：的概率为：F分布的取值范围是（分布的取值范围是（0，+）用用 表示表示F分布的

32、概率密度函数，则其分布的概率密度函数，则其分布函数分布函数 为：为：你现在浏览的是第一百二十四页，共126页 附表附表4列出的是不同列出的是不同 df1 和和 df2 下下P（FF）=0.05和和P（F F）=0.01时的时的F值，即右尾概率值，即右尾概率=0.05和和=0.01时的临界时的临界F值，一般记作：值，一般记作：你现在浏览的是第一百二十五页，共126页 例如例如，查附表查附表4，当，当df1=3，df2=18时，时，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09表示如以表示如以n1=4，n2=19，在同一正态总体中连续，在同一正态总体中连续抽样抽样，所得，所得 F 值大于值大于 3.16 的仅为的仅为5%，大于，大于5.09的仅为的仅为1%。你现在浏览的是第一百二十六页，共126页