工程力学 弯曲优秀PPT.ppt

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1、工程力学 弯曲你现在浏览的是第一页，共65页 横力弯曲横力弯曲(bending by transverse force)梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。你现在浏览的是第二页，共65页.纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1)几何方面几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：(a)你现在浏览的是第三页，共65页 1.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面

2、的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；你现在浏览的是第四页，共65页 2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。你现在浏览的是第五页，共65页 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。你现在浏览的是第六页，共65页 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线

3、伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴中性轴(neutral axis)。（f)你现在浏览的是第七页，共65页令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为(c)你现在浏览的是第八页，共65页 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中

4、性轴的距离 y 成正比。(c)你现在浏览的是第九页，共65页 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。(2)物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M你现在浏览的是第十页，共65页 (3)静力学方面静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯

5、曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即(d)你现在浏览的是第十一页，共65页 其中 为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为m3。为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。你现在浏览的是第十二页，共65页将 代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而你现在浏览的是第十三页，共65页 由于式(a)，(b)中的 不可能

6、等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；2.横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)你现在浏览的是第十四页，共65页由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：(c)你现在浏览的是第十五页，共65页 中性轴 z 为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面

7、上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c)hbzyo(a)你现在浏览的是第十六页，共65页 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值max为式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面系数，其单位为m3。hbzyodzyo你现在浏览的是第十七页，共65页 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为你现在浏览的是第十八页，共65页最大正应力：最大正应力：当当 时，时，DdDd=aDz Wz 梁的抗弯

8、截面系数。梁的抗弯截面系数。你现在浏览的是第十九页，共65页BHbBhHz z 矩形截面：矩形截面：箱形截面：箱形截面：你现在浏览的是第二十页，共65页A.1 A.1 静矩（面积）矩静矩（面积）矩一、静矩：一、静矩：(与力矩类似，面积与它到轴的距离之积与力矩类似，面积与它到轴的距离之积)dAyzyz常用截面的惯性矩常用截面的惯性矩 平行移轴公式平行移轴公式你现在浏览的是第二十一页，共65页设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)

9、所以所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxdAA.2 惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩你现在浏览的是第二十二页，共65页例例 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y的惯性矩。的惯性矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy同理同理yhCx dyyb(a)你现在浏览的是第二十三页，共65页 若截面是高度为若截面是高度为h的平行四的平行四边形（图边形（图b），则其对形心

10、轴），则其对形心轴x 的的惯性矩惯性矩同样为同样为hxyb(b)C你现在浏览的是第二十四页，共65页例例 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯惯性矩。性矩。xdyyx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，所以所以所以所以你现在浏览的是第二十五页，共65页简单图形的二次矩简单图形的二次矩圆形圆形yzOd矩形矩形bh/2h/2yzO讨论：讨论：惯性矩大于零惯性矩大于零你现在浏览的是第二十六页，共65页A.3 惯性矩的平行移轴公式组合截面的惯性矩1.1.惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的

11、任意形状的截面。C为为其其形形心心，Cxcyc为为形形心心坐坐标标系系。与与该该形形心心坐坐标标轴轴分分别别平平行行的的任任意意坐坐标标系系为为Oxy,形形心心C在在Oxy坐坐标系下的坐标为标系下的坐标为(a,b)任任意意微微面面元元dA在在两两坐坐标标系系下下的坐标关系为：的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx你现在浏览的是第二十七页，共65页同理，有：同理，有：（此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。你现在浏览的是第二十八页，共

12、65页2.2.组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某轴组合截面对于某轴的的惯性矩惯性矩等于其各组成部分对于同一轴的等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩惯性矩之和之和：你现在浏览的是第二十九页，共65页10014020 20C2yzC1CyC例例 求求“T”型截面对形心轴型截面对形心轴zc的静矩，惯性矩的静矩，惯性矩。建立参考坐标系建立参考坐标系oyz解解：组合图形组合图形计算计算形心形心坐标坐标你现在浏览的是第三十页，共65页计算计算静矩静矩Sz()和和SzC()计算惯性矩计算惯性矩IzC，IyC你现在浏览的是第三十一页，共65页

13、92 横力弯曲时梁横截面上的正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 一、一、横力弯曲（梁横截面上既有FS又有M的情况）时，平面假设不成立。但 对于（L/h5）长梁，可用纯弯曲推导的正应力公式计算横力弯曲时的正应力，由此引起的误差能够满足工程上的精度要求。二、二、弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：（1）（2）你现在浏览的是第三十二页，共65页校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：弯曲正应力强度计算的三类问题。弯曲正应力强度计算的三类问题。你现在浏览的是第三十三页，共65页例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）11

14、截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM +M1Mmax12120180zy解：画M图，求截面弯矩30你现在浏览的是第三十四页，共65页q=60kN/mAB1m2m1112120zy（1）求11截面上1、2两点的正应力18030（压应力）（压应力）你现在浏览的是第三十五页，共65页求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11M1MmaxxM +（2）求11截面上的最大正应力（3）求全梁的最大正应力你现在浏览的是第三十六页，共65页例例2 求图示梁外壁和内壁处的最大正应力。解：（解：（1）画弯矩图，画弯矩图，

15、求最大弯矩求最大弯矩 （2）计算应力计算应力 梁内、外壁处的最大正应力分别为：梁内、外壁处的最大正应力分别为：60 30 120 80 z ()你现在浏览的是第三十七页，共65页例例3 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及G点的正应力，梁由10号槽钢制成。解：（1）画M图，求 （2）查型钢表，求截面有 关几何量 ()（压应力）（压应力）你现在浏览的是第三十八页，共65页解：画弯矩图1m1m1mABCDx3.5kNm4kNmM（+）（）（）例例4 倒形截面铸铁梁，已知 ，试校核该梁的强度。截面：B截面：你现在浏览的是第三十九页，共65页讨论：讨论：采取什么措施，使梁满足强度要求？将梁

16、截面倒置x3.5kNm4kNmMy1y2（）（）（）（）截面：B截面：你现在浏览的是第四十页，共65页993 3 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、两个假设：切应力与剪力平行；距中性轴等距离的各点切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如(图b)；dxxFS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxxyzt tb(图图a)（图（图b）（图（图c）y在微段上取一块如图c，平衡 你现在浏览的是第四十一页，共65页由切应力互等由切应力互等FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x

17、)dxxyzt tb（图（图b）(图图c)y 你现在浏览的是第四十二页，共65页FSt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力在中性轴上，为平均切应力的1.5倍。二、其它形状截面梁二、其它形状截面梁横截面上的切应力横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中FS为截面剪力；Sz 为y点横线以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。你现在浏览的是第四十三页，共65页2、几种常见截面的最大弯曲切应力 工字钢截面：工字钢截面：结论：结论：翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的m

18、ax。铅垂切应力主要由腹板承受（9597%），且max min ，故工字钢最大切应力Af 腹板的面积。;maxA FSt tf你现在浏览的是第四十四页，共65页圆截面：圆截面：你现在浏览的是第四十五页，共65页一般来说，最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。t ts sMt t三、梁的切应力强度条件三、梁的切应力强度条件 中性轴以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩。（绝对值）你现在浏览的是第四十六页，共65页四、需要校核切应力的几种特殊情况：四、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的工字形截面梁，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而F

19、S较大时，要校核切应力。焊接、铆接或胶合的组合梁，对焊缝、铆钉或胶合面，一般要进行剪切计算。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。你现在浏览的是第四十七页，共65页解：画内力图求危险截面内力例例5 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=1M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxMABL=3m+x（+）你现在浏览的是第四十八页，共65页求最大应力并校核强度应力之比你现在浏览的是第四十九页，共65页若将上述梁改为若将上述梁改为10号工字钢，试计算其最大切应力号工字钢，试计算其最大切应力。表中：表中：表中：表中：d=4.5m

20、m 你现在浏览的是第五十页，共65页 94 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施一、合理安排梁的受力情况一、合理安排梁的受力情况 合理布置载荷合理布置载荷 降低（）（）（）（）你现在浏览的是第五十一页，共65页（）（）qP/l（）（）（）（）你现在浏览的是第五十二页，共65页合理布置支座位置合理布置支座位置（）（）qq（+）（-）（-）你现在浏览的是第五十三页，共65页二、梁的合理截面二、梁的合理截面合理截面：合理截面：矩形截面bhz hz 你现在浏览的是第五十四页，共65页空心圆截面比实心圆截面合理空心圆截面比实心圆截面合理Dz DdDd=a你现在浏览的是第五十五页，共65页 工字形截面

21、是由矩形演变而成工字形截面是由矩形演变而成 的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。zz你现在浏览的是第五十六页，共65页.合理选取截面形状 (1)尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：你现在浏览的是第五十七页，共65页图a所示截面图b所示截面图c所示截面图d所示截面你现在浏览的是第五十八页，共65页 (2)对于由拉伸

22、和压缩许用应力值相等的材料(例如建筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。你现在浏览的是第五十九页，共65页例 4-18 图为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因即你现在浏览的是第六十页，共65页三、合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。你现在浏览的是第六十一页，共65页等强度梁2022/12/362你现在浏览的是第六十二页，共65页弯曲应力小结弯曲应力小结习题讨论习题讨论 本章主要讨论了直梁弯曲时横截面上的正应力和切应力，本章主要讨论了直梁弯曲时横截面上的正应力和切应力，以及相应的强度条件。以及相应的强度条件。（1）弯曲正应力及其强度条件：）弯曲正应力及其强度条件：（2）弯曲切应力及其强度条件）弯曲切应力及其强度条件你现在浏览的是第六十三页，共65页你现在浏览的是第六十四页，共65页作业9-1 9-7 9-13你现在浏览的是第六十五页，共65页