第五章留数及其应用优秀PPT.ppt

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1、第五章留数及第五章留数及其其应用用第一页，本课件共有70页参考用书参考用书复变函数与积分变换复变函数与积分变换,华中科技大学数学系华中科技大学数学系,高等教育出版社高等教育出版社,2003.6,2003.6 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大华中科大,高等教育出版社高等教育出版社 复变函数复变函数,西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社高等教育出版社,1996.5,1996.5 第二页，本课件共有70页 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章 复变函数的积分第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示第

2、五章 留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第三页，本课件共有70页 第五章 留数及其应用留数及其应用 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类 第四页，本课件共有70页第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 孤立奇点5.2 留数5.3 留数在定积分计算中的应用本章小结v 思考题第五页，本课件共有70页第一节 孤立奇点一、奇点的分类一、奇点的分类 定

3、义：第六页，本课件共有70页孤立奇点分类：(1)主部消失(2)主部仅含有限项(3)主部含有无限多项，解析部分主要部分第七页，本课件共有70页例1解：第八页，本课件共有70页二、可去奇点二、可去奇点 第九页，本课件共有70页?第十页，本课件共有70页三、极点三、极点 第十一页，本课件共有70页第十二页，本课件共有70页第十三页，本课件共有70页例2解：第十四页，本课件共有70页四、本性奇点四、本性奇点 第十五页，本课件共有70页例3解：第十六页，本课件共有70页第十七页，本课件共有70页例4解：第十八页，本课件共有70页例5解：第十九页，本课件共有70页五、函数的零点与极点的关系五、函数的零点与

4、极点的关系 定理1第二十页，本课件共有70页证明：第二十一页，本课件共有70页例6解：定理2证明：第二十二页，本课件共有70页第二十三页，本课件共有70页例7（通过零点阶数判断极点阶数）解：第二十四页，本课件共有70页例8解：法二：第二十五页，本课件共有70页六、函数在无穷远点的性态六、函数在无穷远点的性态 分析：第二十六页，本课件共有70页第二十七页，本课件共有70页 这样，对无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点一样，不过只是把正幂项与负幂项的作用互相对调正幂项与负幂项的作用互相对调就是 第二十八页，本课件共有70页第二十九页，本课件共有70页第三十页，本课件共有70页例

5、9说明：解：第三十一页，本课件共有70页例10例11解：解：第三十二页，本课件共有70页例12解：例13解：第三十三页，本课件共有70页例14解：第三十四页，本课件共有70页例15解：第三十五页，本课件共有70页例16解：第三十六页，本课件共有70页第三十七页，本课件共有70页第二节 留数留数一、留数的概念及留数定理一、留数的概念及留数定理 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系 1留数概念 第三十八页，本课件共有70页第三十九页，本课件共有70页留数定义：说明：例1解：第四十页，本课件共有70页例2解：例3解：第四十一页，本课

6、件共有70页定理1证明：第四十二页，本课件共有70页二、函数在极点的留数二、函数在极点的留数 法则1：证明：结论：先知道奇点的类型，对求留数有时更为有利.第四十三页，本课件共有70页例4解：第四十四页，本课件共有70页法则2：证明：由法则1：第四十五页，本课件共有70页例5解：例6解：第四十六页，本课件共有70页法则3：证明：第四十七页，本课件共有70页例7解：例8解：第四十八页，本课件共有70页例9解：第四十九页，本课件共有70页例10解：再往下计算比较繁琐！第五十页，本课件共有70页第五十一页，本课件共有70页三、函数在无穷远点的留数三、函数在无穷远点的留数 第五十二页，本课件共有70页定

7、理2证明：第五十三页，本课件共有70页法则4：证明：第五十四页，本课件共有70页例11解：第五十五页，本课件共有70页例12解：例13解：第五十六页，本课件共有70页第三节 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法应用留数定理计算实变函数的定积分的方法称为围道积分法围道积分法就是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分，然后利用留数定理，使沿着围线的积分计算，归结为留数计算要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分其实质就是用复积分来计算实积分，这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用现在就几个特殊类型举例说明 第五十七页，本课件共有70页一、一、第五十八页，本课件共有70页例1解：第五十九页，本课件共有70页第六十页，本课件共有70页二、二、第六十一页，本课件共有70页第六十二页，本课件共有70页例2解：第六十三页，本课件共有70页三、三、第六十四页，本课件共有70页第六十五页，本课件共有70页例3解：第六十六页，本课件共有70页例4解：第六十七页，本课件共有70页四、函数在实轴上有奇点的积分四、函数在实轴上有奇点的积分 例5解：第六十八页，本课件共有70页例6证明：第六十九页，本课件共有70页第七十页，本课件共有70页