第07章半群与群优秀PPT.ppt

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1、第第07章半群与群章半群与群现在学习的是第1页，共83页7.1 半群和独异点的定义及其性质半群和独异点的定义及其性质定定义义7.1.1 给给定定，若若 满满足足结结合合律律，则称则称为半群。为半群。可可见见，半半群群就就是是由由集集合合及及其其上上定定义义的的一一个个可结合的二元运算组成的代数结构。可结合的二元运算组成的代数结构。定定义义7.1.2 定定，若若是是半半群群且且有有幺幺元元或或满满足足结结合合律律且且拥拥有有幺幺元元，则则称称为独异点。为独异点。现在学习的是第2页，共83页可以看出，独异点是含有幺元的半群。因可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有

2、时为此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元了强调幺元e，独异点表为，独异点表为。如如果果半半群群中中的的集集合合S是是有有限限的的，则则称称半半群群为为有有限限半半群群，对对于于有有限限半半群群可可以以给给出出下下面有趣定理。面有趣定理。定定 理理 7.1.1 为为 有有 限限 半半 群群(x)(xSx x=x)本定理告诉我们，有限半群存在等幂元。本定理告诉我们，有限半群存在等幂元。现在学习的是第3页，共83页定定义义7.1.3 给给定定半半群群，若若 是是可可交交换换的的，则则称称是是可可交交换换半半群群。类类似似地地可可定定义义可交换独异点可交换独异点。定定义义7.1.4 给给

3、定定半半群群和和gS，以以及及自然数集合自然数集合N，则，则g为为的的生生成成元元:=(x)(xS(n)(nNx=gn)此此时时也也说说，元元素素g生生成成半半群群，而而且且称称该半群为循环半群。该半群为循环半群。类类似似地地定定义义独独异异点点的的生生成成元元g和和循环独异点，并且规定循环独异点，并且规定g0=e。现在学习的是第4页，共83页定理定理7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。每个循环独异点都是可交换的。可可见见，是是可可交交换换的的，故故是是可可交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。对对于于生生成成元元的的概概念念加加以以推推广广便便得

4、得出出生生成成集集的概念。的概念。现在学习的是第5页，共83页定义定义7.1.5 给定半群给定半群及及G S，则，则G为为的生成集的生成集:=(a)(aSa=(G)|G|这里这里(G)表示用表示用G中的元素经中的元素经 的复合而生的复合而生成的元素。成的元素。类似地定义独异点类似地定义独异点的生成集。的生成集。现在学习的是第6页，共83页定定义义7.1.6 给给定定半半群群及及非非空空集集T S，若，若T对对 封闭，则称封闭，则称为为的子半群。的子半群。类类似似地地定定义义独独异异点点的的子子独独异异点点，应注意的是，应注意的是eP。现在学习的是第7页，共83页定理定理7.1.3 给定半群给定

5、半群及任意及任意aS，则则是循环子半群。是循环子半群。显然，显然，a是是的生成元。的生成元。故故是循环子半群。是循环子半群。现在学习的是第8页，共83页定定理理7.1.4 给给定定可可交交换换独独异异点点，若若P为其等幂元集合，则为其等幂元集合，则为子独异点。为子独异点。定定理理7.1.5 设设为为独独异异点点，则则关关于于的运算表中任两列或任两行均不相同。的运算表中任两列或任两行均不相同。现在学习的是第9页，共83页定理定理7.1.6 给定独异点给定独异点，对任意，对任意a，bM且且a，b均有逆元，则均有逆元，则(1)(a-1)-1=a。(2)a b有逆元，且有逆元，且(a b)-1=b-1

6、 a-1。现在学习的是第10页，共83页7.2 半群和独异点的同态与同构半群和独异点的同态与同构 在在本本节节里里，将将把把代代数数结结构构之之间间的的同同态态与与同同构构的的概概念念应应用用于于半半群群与与独独异异点点。有有些些定定义义与与性性质质，几几乎乎完完全全就就是是平平行行地地搬搬过过来来。主要内容如下：主要内容如下：现在学习的是第11页，共83页定义定义7.2.1 给定两个半群给定两个半群与与，则，则半群半群 半群半群:=(f)(fTS(x)(y)(x，ySf(x y)=f(x)f(y)并称并称f为从为从到到的半群同态映的半群同态映射。射。由定义可以知道，半群同态映射由定义可以知道

7、，半群同态映射f可以不是可以不是唯一的。唯一的。现在学习的是第12页，共83页与前面的定义类似，根据半群同态映射与前面的定义类似，根据半群同态映射f是是单射单射(一对一一对一)、满射、双射，把半群同态映射、满射、双射，把半群同态映射f分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群同构映射。和半群同构映射。如果两个半群，存在一个同构映射，则称如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。一个半群同构于另一个半群。由于代数结构之间的满同态具有保持运算由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。的各种性质，对于半

8、群满同态当然完全适用。现在学习的是第13页，共83页下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。定理定理7.2.1 如果如果f为从为从到到的半的半群同态映射，对任意群同态映射，对任意aS且且a a=a，则，则f(a)f(a)=f(a)。现在学习的是第14页，共83页由于半群同态映射是个函数，因此可对半由于半群同态映射是个函数，因此可对半群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群同态映射。请看如下定理：同态映射。请看如下定理：定理定理7.2.2 如果如果g是从是从到到的的半群同态映射，半群同态映射，h是从是从到到的半群的半群同

9、态映射，则同态映射，则h o g是从是从到到的半群的半群同态映射。同态映射。现在学习的是第15页，共83页定定义义7.2.2 若若g是是从从到到的的半半群群同同态态映映射射，则则称称g为为半半群群自自同同态态映映射射；若若g是是从从到到的的半半群群同同构构映映射射，则则称称g为为半半群自同构映射。群自同构映射。现在学习的是第16页，共83页定理定理7.2.3 给定半群给定半群，如果，如果A=g|g为为到到的半群自同态映射的半群自同态映射 且且o是函数是函数复合运算，则复合运算，则为半群。为半群。由由于于恒恒等等映映射射i是是复复合合运运算算o的的幺幺元元，因因此此可得下面定理：可得下面定理：现

10、在学习的是第17页，共83页定理定理7.2.4 给定半群给定半群，若，若B=h|h为为到到的半群自同构映射的半群自同构映射，o为函数为函数复合运算，则复合运算，则是独异点。是独异点。定理定理7.2.5 给定半群给定半群，又，又是是从从S到到S的所有函数在复合运算的所有函数在复合运算o下构成的函数半下构成的函数半群，则存在从群，则存在从到到的半群同态映射的半群同态映射g，或者说，或者说半群同态于半群同态于。现在学习的是第18页，共83页上上面面介介绍绍半半群群同同态态及及有有关关定定理理。下下面面接接着着来讨论独异点之间的同态及其有关定理。来讨论独异点之间的同态及其有关定理。定定义义7.2.3

11、给给定定独独异异点点和和，则，则:=(g)(gTM(x)(y)(x，yMg(x y)=g(x)g(y)g(eM)=eT并并称称g为为从从到到的的独独异点同态映射。异点同态映射。现在学习的是第19页，共83页注意，独异点同态区别半群同态就在于保注意，独异点同态区别半群同态就在于保持幺元，即持幺元，即g(eM)=eT。因此，半群同态未必是独。因此，半群同态未必是独异点同态，反之都真。异点同态，反之都真。对对于于独独异异点点满满同同态态、独独异异点点单单同同态态、独独异异点点同同构构、以以及及独独异异点点满满同同态态保保持持运运算算性性质质等等，这这里里也也一一并并略略去去了了。下下面面给给出出一一

12、个个有有关关同同构构的的定理以结束本节。定理以结束本节。现在学习的是第20页，共83页 定理定理7.2.6 给定独异点给定独异点，则存在，则存在T MM，使，使。本本定定理理表表明明，一一个个独独异异点点可可与与复复合合运运算算下下的函数独异点同构。的函数独异点同构。现在学习的是第21页，共83页7.3 积半群积半群把把积积代代数数方方法法应应用用于于特特殊殊一一类类代代数数结结构构：半群，便产生积半群。半群，便产生积半群。现在学习的是第22页，共83页定义定义7.3.1 给定两个半群给定两个半群和和。称称为为和和的积半群，其的积半群，其中中ST为集合为集合S与与T的笛卡儿积，运算的笛卡儿积，

13、运算 定义如下：定义如下：=，其中，其中s1，s2S，t1，t2T由于运算由于运算 是经是经 和和定义的，易知，积半定义的，易知，积半群是个半群。群是个半群。现在学习的是第23页，共83页不难证明下列定理：不难证明下列定理：定理定理7.3.1 若半群若半群和和是可交是可交换的，则换的，则也是可交换的。也是可交换的。定理定理7.3.2 给定半群给定半群和和，且，且e1和和e2分别是它们的幺元，则积半群分别是它们的幺元，则积半群含含有幺元有幺元。换言之，若。换言之，若和和是独异点，则是独异点，则ST，是是独异点。独异点。现在学习的是第24页，共83页定理定理7.3.3 给定半群给定半群和和，且，且

14、1和和2分别为它们的零元，则积半群分别为它们的零元，则积半群含有零元含有零元。定理定理7.3.4 给定半群给定半群和和，且，且s的逆元的逆元s-1，tT的逆元的逆元t-1，则积半群，则积半群中中的逆元是的逆元是。现在学习的是第25页，共83页7.4 群的基本定义与性质群的基本定义与性质定定义义7.4.1 给给定定，若若是是独独异异点点且且每每个个元元素素存存在在逆逆元元，或或者者是是可可结结合合的的，关关于于 存存在在幺幺元元，G中中每每个个元元素素关关于于 是是可可逆逆的，则称的，则称是群。是群。可可见见，群群是是独独异异点点的的特特例例，或或者者说说，群群比比独异点有更强的条件。独异点有更

15、强的条件。现在学习的是第26页，共83页定定义义7.4.2 给给定定群群，若若G是是有有限限集集，则则称称是是有有限限群群。并并且且把把G的的基基数数称称为为该该有有限限群群的的阶阶数数，若若集集合合G是是无无穷穷的的，则则称称为无穷群。为无穷群。现在学习的是第27页，共83页由群的定义可知，群具有半群和独异点的由群的定义可知，群具有半群和独异点的性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己独特的性质，仅此讨论如下：独特的性质，仅此讨论如下：定理定理7.4.1 是群是群|G|1无零元。无零元。定定理理7.4.2 是是群群中中的的唯唯一一等幂元是幺元。等幂元是

16、幺元。现在学习的是第28页，共83页定理定理7.4.3 给定群给定群，则有，则有(a)(b)(c)(a，b，cG(a b=a cb a=c a)b=c)即群满足可约律。即群满足可约律。现在学习的是第29页，共83页定理定理7.4.4 给定群给定群，则，则(a)(b)(a，bG(!x)(xGa x=b)(!y)(yGy a=b)或或(a)(b)(a，bG(!x)(!y)(x，yG(a x=by a=b)即群中方程解是唯一的。即群中方程解是唯一的。现在学习的是第30页，共83页定定 理理 7.4.5 是是 群群(a)(b)(a，bG(a b)-1=b-1 a-1)定定义义7.4.3 给给定定群群，

17、若若 是是可可交交换换的的，则称则称是可交换群或是可交换群或是是Abel群。群。定理定理7.4.6 给定群给定群，则，则为为Abel群群(a)(b)(a，bG(a b)2=a2 b2现在学习的是第31页，共83页 定定义义7.4.4 给给定定群群，且且aG，幺幺元元e，则则a的的阶阶或或周周期期为为n:=(k)(kI+ak=e=n)，并并称称a的的阶阶是是有有限限的的；否否则则，a的的阶是无穷的。阶是无穷的。现在学习的是第32页，共83页定定理理7.4.7 给给定定群群，且且aG的的阶阶n是有限的，则是有限的，则(m)(mI+k=mn)ak=e推推论论：若若an=e且且没没有有n的的因因子子d

18、(1dn)使使ad=e，则，则n为为a的阶。的阶。定定理理7.4.8 给给定定群群及及aG，则则a与与a-1具有相同的阶。具有相同的阶。现在学习的是第33页，共83页7.5 置换群和循环群置换群和循环群 本本节节里里，将将讨讨论论群群论论中中两两种种常常见见而而又又重重要要的的群群：置置换换群群和和循循环环群群，特特别别在在研研究究群群的的同同构群时，置换群扮演着极重要的角色。构群时，置换群扮演着极重要的角色。在在正正式式讨讨论论置置换换群群以以前前，需需要要先先作作些些必要的准备。必要的准备。现在学习的是第34页，共83页定定义义7.5.1 令令X是是非非空空有有穷穷集集合合，从从X到到X的

19、的双射，称为集合双射，称为集合X中的置换，并称中的置换，并称|X|为置换的阶。为置换的阶。若若X=x1，x2，xn，则，则n阶置换表为阶置换表为现在学习的是第35页，共83页并称并称 为置换中的反置换，记为为置换中的反置换，记为p-1。特别把置换。特别把置换 称称为为X中中的的幺幺置置换换或或恒等置换，记为恒等置换，记为pe。现在学习的是第36页，共83页此外，用此外，用PX表示集合表示集合X中的所有置换的集中的所有置换的集合。合。为了说明为了说明n个元素的集合可以有多少不同的个元素的集合可以有多少不同的置换，特给出如下定理：置换，特给出如下定理：定定 理理 7.5.1 若若 X=x1，x2，

20、xn，则则|PX|=n!现在学习的是第37页，共83页定定义义7.5.2 给给定定集集合合X且且pi，pjPX，由由X的的元元素素先先进进行行置置换换pi后后继继之之作作置置换换pj所所得得到到的的置置换换，表表为为pipj，称称pipj是是置置换换pi和和pj的的复复合合，是是复合置换运算。复合置换运算。可可以以看看出出，若若把把置置换换看看成成一一种种特特殊殊关关系系时时，复复合合置置换换pipj就就是是复复合合关关系系piopj，常常称称之之右右复复合合；又又若若把把置置换换看看成成函函数数时时，那那么么复复合合置置换换又又可表成如下的复合函数即所谓左复合：可表成如下的复合函数即所谓左复

21、合：pipj=pj o pi，其中其中o表示函数的复合表示函数的复合于是，对于于是，对于xX有：有：(pipj)(x)=(pj o pi)(x)=pj(pi(x)现在学习的是第38页，共83页由定义由定义7.5.1可知，置换即是双射，亦即可知，置换即是双射，亦即1-1函数，故函数，故PX中的元素满足下列四个性质：中的元素满足下列四个性质：(1)(p1)(p2)(p1,p2 PXp1p2 PX p2p1 PX)(2)(p1)(p2)(p3)(p1,p2,p3 PX(p1p2)p3=p1(p2p3)现在学习的是第39页，共83页(3)(pe)(pe PX(p)(p PXpep=ppe=p)(4)(

22、p)(p PX(p-1)(p-1 PX pp-1=p-1p=pe)(1)表明表明PX对于对于是封闭的；是封闭的；(2)表明表明PX对于对于是可结合的；是可结合的；(3)表明表明PX中有幺置换；中有幺置换；(4)表明表明PX中每个置换都有反置换。因此，可知中每个置换都有反置换。因此，可知是一个群，并称它为对称群，习惯上记为是一个群，并称它为对称群，习惯上记为。若。若Q PX=S|X|，则称由，则称由Q和和构成的构成的群群为置换群。为置换群。现在学习的是第40页，共83页对对称称群群独独立立于于集集合合X中中各各个个元元素素，但但却却依依赖赖于于集集合合X中中的的元元素素个个数数。这这就就是是说说

23、，任任何何三三个个其其它它元元素素的的集集合合都都会会生生成成“同同样样”的的置置换换，这这 就就 是是 为为 什什 么么 将将 对对 称称 群群 写写 成成，即即的的理理由由。此此外外，把把集集合合X的的基基数数称称为为对对称称群群的的次次数数。因因此此，是三次六阶群，因为是三次六阶群，因为|S3|=3!=6。现在学习的是第41页，共83页一般地说来，由一般地说来，由n个元素的集合而构成的所个元素的集合而构成的所有有n!个个n阶置换的集合阶置换的集合Sn与复合置换运算与复合置换运算构成构成群群，它便，它便n次次n!阶对称群。阶对称群。应该注意，置换群一般都不是对称群，因应该注意，置换群一般都

24、不是对称群，因为它并不要求一定要包括全部给定阶的置换。为它并不要求一定要包括全部给定阶的置换。例如，三次置换群例如，三次置换群和和都不是对称群，其中都不是对称群，其中p1,p2,p5,p6 S3。现在学习的是第42页，共83页若说置换是个关系即有序对集合，那么由若说置换是个关系即有序对集合，那么由置换和置换和构成置换群，它会确立怎样的二元关构成置换群，它会确立怎样的二元关系呢？下面就来回答这个问题。系呢？下面就来回答这个问题。定义定义7.5.3 令令是一置换群且是一置换群且Q S|X|。称称R=a，b|a，bXpQp(a)=b 为由为由所诱导的所诱导的X上的二元关系。上的二元关系。现在学习的是

25、第43页，共83页定定理理7.5.2 由由置置换换群群诱诱导导的的X上上的的二元关系是一等价关系。二元关系是一等价关系。定定理理7.5.3 在在有有限限群群中中，每每行行或或每每列都是列都是G中元素的置换。中元素的置换。现在学习的是第44页，共83页一阶群仅有幺元，即一阶群仅有幺元，即。二二阶阶群群除除幺幺元元e外外，还还有有一一个个元元素素，比比如如a，则则有有，其其运运算算表表如如表表7.5.2。由由定定理理7.5.3可可知知，不不可可能能再再有有其其它它运运算算表表。在在此此预预先先指指出出，所所有有的的二二阶阶群群都都与与该该群群同同构。构。现在学习的是第45页，共83页三阶群，可令三

26、阶群，可令，其运算表，其运算表如表如表7.5.3。由定理。由定理7.5.3知，不可能再有别的运知，不可能再有别的运算表。同样，任何三阶群都与它同构。算表。同样，任何三阶群都与它同构。从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群都是都是Abel群。事实上，四、五阶群也是群。事实上，四、五阶群也是Abel群，群，但六阶群未必都是但六阶群未必都是Abel群。群。现在学习的是第46页，共83页现在学习的是第47页，共83页上上面面讲讲了了由由有有限限集集合合X到到X的的双双射射即即置置换换，以以及及置置换换群群；下下面面不不再再限限于于X是是有有限限集集，换换言言之之，它它

27、可可以以是是个个无无穷穷集集。这这时时从从集集合合X到到X的的双双射射，称称之之为为一一一一变变换换或或变变换换。如如果果令令TX表表示示所所有有从从集集合合X到到X的的变变换换的的集集合合，则则显显然然有有TX XX，并并且且TX类似类似PX所具有的四条性质，具体如下：所具有的四条性质，具体如下：(1)(f)(g)(f,g TXfog,gof TX)(2)(f)(g)(h)(f,g,h TX(fog)oh=fo(goh)(3)(i)(i TX(f)(f TXiof=foi=f(4)(f)(f TX(f-1)(f-1 TX fof-1=f-1of=i)现在学习的是第48页，共83页因而，可证因

28、而，可证构成群，在代数中称为构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。变换群，显然，置换群是变换群的特例。请注意，由请注意，由TX中的一些变换与运算中的一些变换与运算o构成的构成的群，都称为变换群，而群，都称为变换群，而只不过是个特殊只不过是个特殊情形而已。情形而已。现在学习的是第49页，共83页最后，介绍循环群。最后，介绍循环群。定义定义7.5.4 给定群给定群及及I为整数集合，为整数集合，若若(g)(gG(a)(aG)(n)(nIa=gn)，则称，则称是循环群。同时也可说循环群是循环群。同时也可说循环群是由是由g生成的，生成的，g是循环群是循环群的生成的生成元。元。现在学习的

29、是第50页，共83页定定义义7.5.5 设设g生生成成循循环环群群且且I+是是正正整整 数数 集集 合合，则则 g的的 周周 期期 或或 阶阶 为为 n:=(k)(kI+gk=e=n)，如如果果这这样样n不不存存在在，则则称称g的的周周期为无穷。期为无穷。现在学习的是第51页，共83页定理定理7.5.4 每个循环群都是每个循环群都是Abel群。群。定定理理7.5.5 设设是是g生生成成的的有有限限循循环环群群，如果如果|G|=n，则，则gn=e，G=g，g2，gn=e 及及 gk=e=n，并且把，并且把n称为循环群称为循环群的周期。的周期。现在学习的是第52页，共83页7.6 子群与陪集子群与

30、陪集子群概念，类似于子群和子独异点。子群概念，类似于子群和子独异点。定定义义7.6.1 给给定定群群及及非非空空集集合合H G，若若是是群群，则则称称为为群群的的子子群群。显显然然，和和都都是是的的子子群群，并并且且分分别别是是的的“最最小小”和和“最最大大”的的子子群群，这这对对任任何何群群来来说说，都都有有这这样样的的子子群群，因此称为平凡子群，而其余子群称为真子群。因此称为平凡子群，而其余子群称为真子群。现在学习的是第53页，共83页群与其子群有如下的明显性质：群与其子群有如下的明显性质：定定理理7.6.1 是是群群的的子子群群eH=eG，其其中中eH和和eG分分别别是是和和的幺元，即群

31、与其子群具有相同幺元的幺元，即群与其子群具有相同幺元。现在学习的是第54页，共83页下面给出关于子群充要条件的定理。下面给出关于子群充要条件的定理。定理定理7.6.2 给定群给定群及非空及非空H G，则，则是是的的子子群群(a)(b)(a，bHa bH)(a)(aHa-1H)本本定定理理表表明明为为的的子子群群的的充充要条件是要条件是H对于对于 封闭及封闭及H中每个元素存在逆元。中每个元素存在逆元。现在学习的是第55页，共83页定理定理7.6.3 给定群给定群及非空及非空H G，则，则是是的的子子群群(a)(b)(a，bHa b-1H)定定理理7.6.4 给给定定群群及及非非空空有有限限集集H

32、 G，则，则是是的的子子群群(a)(b)(a，bHa bH)现在学习的是第56页，共83页定义定义7.6.2 群群的中心为一集合，记的中心为一集合，记作作cent G，cent G:=a|aG(x)(xGa x=x a)。可见，可见，cent G包含了所有与包含了所有与G中的每个元素中的每个元素皆可交换的元素。并且显然若皆可交换的元素。并且显然若为群，则为群，则是是Abel群，当且仅当群，当且仅当cent G=G。定理定理7.6.5 是群是群的子群的子群现在学习的是第57页，共83页定定理理7.6.6 若若和和都都是是群群的的子子群群，则则也也是是群群的的子群。子群。确确定定已已知知群群的的全

33、全部部子子群群，一一般般来来说说是是很很困困难难的的，但但对对于于循循环环群群而而言言，却却是是容容易易办办到到的的，这可由下面定理得出：这可由下面定理得出：定定理理7.6.7 循循环环群群的的任任何何子子群群都都是是循环群。循环群。现在学习的是第58页，共83页定定义义7.6.3 令令是是群群的的子子群群且且aG，则把下面集合：，则把下面集合：a H=a h|hH 称称为为由由元元素素a所所确确定定的的群群中中的的H的的左左陪陪集集，或或简简称称为为左左陪陪集集并并简简记记aH。此此外外，称称a是是左陪集左陪集aH的代表元素。的代表元素。现在学习的是第59页，共83页类似地可定义由类似地可定

34、义由a所确定群所确定群中的中的H的的右陪集右陪集Ha。显然，若显然，若是是Abel群，并且群，并且是其子群，则是其子群，则aH=Ha，即任意元素的左陪集等，即任意元素的左陪集等于其右陪集。于其右陪集。定义定义7.6.4 给定群给定群，子群，子群的的左陪集关系，记作，其定义为：左陪集关系，记作，其定义为：:=a，b|a，bGb-1 aH。现在学习的是第60页，共83页根据左陪集的定义，可得到下列结论：根据左陪集的定义，可得到下列结论：(1)若若为为群群的的子子群群，则则H为为中的左陪集。中的左陪集。因因 为为 若若 e是是 的的 幺幺 元元，则则e H=e h|h H|=H。(2)若若是群是群的

35、子群，对任意的子群，对任意aG，则，则aaH。因为因为e H，故，故a=a e aH。现在学习的是第61页，共83页(3)若若是群是群的子群，则的子群，则H的的每个左陪集与每个左陪集与H势等。势等。令令f(aH)H如下：如下：f(h)=a h,其中其中h H则则f是双射。是双射。满射是显然的，下面再证它是单射。满射是显然的，下面再证它是单射。若若a h1=a h2，h1,h2 H，则根据群的可约，则根据群的可约律知律知h1=h2，即，即f(h1)=f(h2)导出导出h1=h2。现在学习的是第62页，共83页对对于于右右陪陪集集有有同同样样结结论论，不不重重复复了了。下面介绍有关左陪集的定理。下

36、面介绍有关左陪集的定理。定定理理7.6.8 若若是是群群的的子子群群，则则aH=HaH。定定理理7.6.9 若若是是群群的的子子群群，则则aH=bHb-1 aH现在学习的是第63页，共83页推推论论 左左陪陪集集aH中中的的任任何何元元素素a1均均可可决决定定该该陪陪集集，或或者者说说，陪陪集集中中的的每每个个元元素素都都可可作作为为陪陪集的代表。集的代表。因因为为若若a1 aH，则则存存在在h1 H，使使得得a1=a h1，于是，于是a-1 a1=h1 H。再根据定理再根据定理7.6.9知，知，a1H=aH。定定理理7.6.10 若若是是群群的的子子群群，则或者则或者aHbH=或者或者aH=

37、bH。现在学习的是第64页，共83页由由于于G中中每每个个元元素素a必必在在H的的左左陪陪集集aH中中，从从定定理理7.6.10又又知知道道，G中中每每个个元元素素恰恰好好能能属属于于H的的某某个个左左陪陪集集中中。因因此此H的的左左陪陪集集簇簇构构成成G的的划划分分，而而且且划划分分中中每每个个块块与与H具具有有相相同同的的元元素素个个数。因此可得下面定理：数。因此可得下面定理：定定理理7.6.11 若若是是群群的的子子群群，则则中中的的H的的左左陪陪集集簇簇构构成成G的的一一种种划划分分。并且称它为并且称它为G的对于的对于H的左陪集划分。的左陪集划分。现在学习的是第65页，共83页假假若若

38、群群为为有有限限群群，其其子子群群是是，且且|G|=n，|H|=m，则则G的的对对于于H的的左左陪陪集集划划分分可可表表为为G=a1Ha2HakH，其其中中k为为不不同同的的左左陪陪集集个个数数，称称为为H在在G中中的的指指标标，由由于于每每个个左左陪陪集集皆皆有有m个个元元素素，故故G具具有有km个个元元素素，即即n=mk，这这便便得得到到著著名名拉拉格格朗朗日日(J.L.Lagrange)定定理：理：现在学习的是第66页，共83页定理定理7.6.12 若若是有限群是有限群的子群，且的子群，且|G|=n，|H|=m，则，则n=mk，其中，其中kI+，I+是正整数集合。是正整数集合。本定理表明

39、，任何有限群的阶均可被其子本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。群的阶所整除。现在学习的是第67页，共83页推论推论 任何其阶为素数的有限群必无真任何其阶为素数的有限群必无真子群。子群。最后应用陪集概念来定义一个子群，它最后应用陪集概念来定义一个子群，它是非常重要的子群是非常重要的子群正规子群或不变子群。正规子群或不变子群。现在学习的是第68页，共83页定义定义7.6.5 设设是群是群的子群，的子群，若对于若对于G中任意元中任意元a，有，有aH=Ha，则称，则称是是群群的正规子群。的正规子群。由本定义可知，每个由本定义可知，每个Abel群的子群均为正群的子群均为正规子群。规子群。请

40、注意，正规子群请注意，正规子群导出可交换性是导出可交换性是比较弱的。这是因为，若比较弱的。这是因为，若hH，并非总有，并非总有a h=h a，而仅仅知道必存在，而仅仅知道必存在h1，h2H，使得，使得a h1=h2 a。现在学习的是第69页，共83页下下面面定定理理提提供供了了简简便便的的手手段段判判定定一一已已知知子子群是否为正规子群，它很有用途。群是否为正规子群，它很有用途。定定理理7.6.13 给给定定群群的的子子群群，它它是是群群的的正正规规子子群群(a)(aGaHa-1 H)。现在学习的是第70页，共83页本本节节一一开开始始已已讨讨论论了了，一一个个群群的的子子群群所所确确定定的的

41、左左陪陪集集关关系系是是等等价价关关系系。一一般般地地说说，它它未未必必是是同同余余关关系系，那那么么自自然然会会问问，满满足足怎怎样样的的条条件件才才能能是是同同余余关关系系呢呢？下下面面定定理理回回答答了了这这个个问问题。题。定定理理7.6.14 群群的的正正规规子子群群所确定的左所确定的左(或右或右)陪集关系陪集关系 (或或 )是是同同余余关系。关系。现在学习的是第71页，共83页7.7 群的同态与同构群的同态与同构本本节节中中，将将同同态态与与同同构构概概念念作作用用于于群群，便便导出群的同态和同构。导出群的同态和同构。定定义义7.7.1 给给定定群群和和群群，则则群群 群群:=(g)

42、(gHG(a)(b)(a，bGg(a b)=g(a)g(b)，并并称称g为为从从群群到群到群的群同态映射。的群同态映射。现在学习的是第72页，共83页群同态有很好的性质，它保持幺元、逆元群同态有很好的性质，它保持幺元、逆元和子群，请看下面定理：和子群，请看下面定理：定理定理7.7.1 设设g为从群为从群到群到群的群同态映射，则的群同态映射，则(1)若若eG和和eH分别为两群的幺元，那么，分别为两群的幺元，那么，g(eG)=eH。(2)若若aG，那么，那么，g(a-1)=(g(a)-1。(3)若若是群是群的子群且的子群且g(S)=g(a)|aS，那么，那么，为群为群的子群。的子群。现在学习的是第

43、73页，共83页定定理理7.7.2 给给定定群群和和代代数数系系统统，若若g是是从从群群到到的的满满同同态态映射，则映射，则为群。为群。同同半半群群、独独异异点点类类似似，可可根根据据g是是单单射射、满满射射和和双双射射，群群同同态态分分别别称称为为群群单单一一同同态态映映射射、群满同态映射和群同构映射。群满同态映射和群同构映射。群群自自同同态态和和群群自自同同构构也也类类似似于于半半群群自自同同态态和半群自同构进行定义。和半群自同构进行定义。现在学习的是第74页，共83页定定义义7.7.2 设设f是是从从群群到到群群的的 群群 同同 态态 映映 射射，eH为为 的的 幺幺 元元，记记Kf=k

44、|f(k)=eHkG，称，称Kf为群同态映射为群同态映射f的核。的核。显然，显然，Kf，因为，因为eGKf。定定理理7.7.3 若若f是是从从到到的的群群同态映射，则同态映射，则是群是群的正规子群。的正规子群。现在学习的是第75页，共83页显显然然，同同态态映映射射未未必必是是一一对对一一的的，但但发发现现一对一的群同态映射的核有一简单特性。一对一的群同态映射的核有一简单特性。定定理理7.7.4 设设f是是从从到到的的群群同态映射，则同态映射，则f是一对一的是一对一的Kf=eG。现在学习的是第76页，共83页定定理理7.7.5 设设f是是从从到到的的群群同态映射，同态映射，为为由由同同态态f的

45、的核核Kf所所确确定定的的陪陪集关系，则集关系，则a bf(a)=f(b)，其中，其中a，bG。本本定定理理表表明明，群群同同态态f的的核核Kf所所确确定定的的陪陪集集关关系系与与以以前前所所述述的的同同态态f所所诱诱导导同同余余关关系系Ef是是一一致的。致的。现在学习的是第77页，共83页定定理理7.7.6 若若是是群群的的正正规规子子群群且且g(G/CH)G:g(a)=，则则g为为从从到到的的群群同同态态映映射射，通通常常称称它它为为群自然同态映射。与此同时群自然同态映射。与此同时Kg=。现在学习的是第78页，共83页定理定理7.7.7 设设f为从群为从群到群到群的群满同态映射，的群满同态

46、映射，为同态映射为同态映射f的核的核Kf所所确定的陪集关系，且确定的陪集关系，且 为从为从到到的群自然同态，则的群自然同态，则。值值得得注注意意的的是是，对对于于定定理理10.7.6和和定定理理10.7.7可可以以通通过过另另一一途途径径给给出出与与其其等等价价形形式式。现在学习的是第79页，共83页若若是群是群的正规子群，则在的正规子群，则在中利用中利用H的不同陪集构造新集合记作的不同陪集构造新集合记作G/H:G/H=aH|aG，再在，再在G/H中定义运算中定义运算：aH bH=(a b)H。可证该定义运算可证该定义运算 仅依赖陪集而与从中选仅依赖陪集而与从中选出元素无关。进而证明出元素无关

47、。进而证明是群。于是能是群。于是能够得到下面两定理。够得到下面两定理。现在学习的是第80页，共83页定理定理7.7.6*若若是群是群的正的正规子群，定义规子群，定义g(G/H)G:g(a)=aH，则，则g是从是从到到的群同态映射且的群同态映射且Kg=H。定理定理7.7.7*若若f为从群为从群到群到群的满同态映射，的满同态映射，Kf为同态映射为同态映射f的核，则的核，则。现在学习的是第81页，共83页最后再介绍两个定理，实则是一个定理来最后再介绍两个定理，实则是一个定理来结束本节。结束本节。对于任何一个群对于任何一个群，由恒等映射，由恒等映射f(x)=x，xG，显然，显然。自然会。自然会想到，群

48、想到，群是否还与除自身外的其它群同是否还与除自身外的其它群同构呢构呢?1854年，年，A.Cayley回答了这个问题，即所回答了这个问题，即所谓群的表示定理。谓群的表示定理。定理定理7.7.8 任何群均与一个变换群同构。任何群均与一个变换群同构。现在学习的是第82页，共83页对于有限群，也能类似地证明下面结果：对于有限群，也能类似地证明下面结果：定定理理7.7.9 每每个个n阶阶有有限限群群均均与与一一个个n阶阶置置换换群同构。群同构。把把积积代代数数概概念念应应用用群群上上，便便产产生生积积群群。由由此此可可知知，两两个个或或更更多多个个群群能能产产生生更更高高阶阶的的积积群群，这部分几乎与积半群完全相同。这部分几乎与积半群完全相同。现在学习的是第83页，共83页