第3章线性规划的灵敏度分析优秀PPT.ppt

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1、第3章线性规划的灵敏度分析现在学习的是第1页，共94页 因为灵敏度分析研究的是系数的变化对最优因为灵敏度分析研究的是系数的变化对最优解的影响，所以在进行灵敏度分析之前首先要计解的影响，所以在进行灵敏度分析之前首先要计算出原线性规划问题的最优解。因此，灵敏度分算出原线性规划问题的最优解。因此，灵敏度分析有时也被称为后优化分析（析有时也被称为后优化分析（postoptimality analysis）。）。我们研究灵敏度分析的方法与第我们研究灵敏度分析的方法与第2章中研究线章中研究线性规划问题的方法相同。首先，我们将介绍如何使性规划问题的方法相同。首先，我们将介绍如何使用图解法进行双变量线性规划问

2、题的灵敏度分析。用图解法进行双变量线性规划问题的灵敏度分析。灵敏度分析及最优方案的解释是运用线性规划问题灵敏度分析及最优方案的解释是运用线性规划问题的重要因素。的重要因素。现在学习的是第2页，共94页3.1灵敏度分析简介 灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻，在真实世界里，周围的环境、条件是在不断变化的。原材料的成本在变，产品的需求在变，公司购买新设备、股票价格波动、员工流动等等这些都在不断发生。如果我们要用线性规划模型去解决实际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。这些系数的变化会对模型的最优解产生什么样的影响呢？运用灵敏度分析，我们只需改变相应的系数就可以得到答案，而不需建立新的模型。

3、现在学习的是第3页，共94页回忆回忆Par公司的问题：公司的问题：现在学习的是第4页，共94页 我们已经知道这个问题的最优解是标准袋我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产生产540个，高级袋生产个，高级袋生产252个，这个最优解的个，这个最优解的前提是每个标准袋的利润是前提是每个标准袋的利润是10美元，每个高级美元，每个高级袋的利润是袋的利润是9美元。假设，我们得知由于价格美元。假设，我们得知由于价格的下降，标准袋的利润由的下降，标准袋的利润由10美元降到美元降到8.5美元。美元。这时我们可以用灵敏度分析来确定标准袋生产这时我们可以用灵敏度分析来确定标准袋生产540个，高级袋生产个，高级袋生

4、产252个是否还是最优解。如个是否还是最优解。如果还是，则不必建立新的模型求解了。果还是，则不必建立新的模型求解了。现在学习的是第5页，共94页 灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为高级袋的个更能左右最优解。比如，管理层认为高级袋的利润利润9美元只是一个估计量。如果通过灵敏度分析美元只是一个估计量。如果通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在得到，当高级袋的利润在6.67美元与美元与14.29美元之美元之间变化时，模型的最优解都是间变化时，模型的最优解都是540个标准袋和个标准袋和252个高级袋，那么管理层就必须思考每个高级

5、袋获个高级袋，那么管理层就必须思考每个高级袋获利利9美元这个估计量的可信程度有多大了。管理层美元这个估计量的可信程度有多大了。管理层希望知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎希望知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎样变化。样变化。现在学习的是第6页，共94页 灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值变化对最优解的影响。还是以的右端值变化对最优解的影响。还是以Par公公司为例，在最优产量的情况下，切割与印染部司为例，在最优产量的情况下，切割与印染部和成型部的工作时间已经被占用了。如果现在和成型部的工作时间已经被占用了。如果现在公司增加了这两个部门的生产能

6、力，那么最优公司增加了这两个部门的生产能力，那么最优解以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵解以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵敏度分析可以帮助确定每一个工时的边际价值，敏度分析可以帮助确定每一个工时的边际价值，以及在利润下降之前部门工时的最大增加量。以及在利润下降之前部门工时的最大增加量。现在学习的是第7页，共94页3.2图解法灵敏度分析图解法灵敏度分析 对于双变量的线性规划问题，当目标函数对于双变量的线性规划问题，当目标函数的系数或约束条件的右端值变化时，用图解法可的系数或约束条件的右端值变化时，用图解法可以对其进行灵敏度分析。以对其进行灵敏度分析。3.2.1 目标函数系数目标函数系数

7、 让我们思考一下目标函数的系数变化会对让我们思考一下目标函数的系数变化会对Par公司的最优产量产生什么样的影响。选择每个公司的最优产量产生什么样的影响。选择每个标准袋的利润是标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是美元，每个高级袋的利润是9美美元。很明显，如果其中一种袋子的利润下降，公元。很明显，如果其中一种袋子的利润下降，公司就会削减其产量；如果利润上升，公司就会增司就会削减其产量；如果利润上升，公司就会增加其产量。但问题是，究竟利润变化多少时，管加其产量。但问题是，究竟利润变化多少时，管理者才应该改变产量呢？理者才应该改变产量呢？现在学习的是第8页，共94页 现在，模型的最优解是现在，模

8、型的最优解是540个标准袋和个标准袋和252个高级袋。每个目标函数系数都有一个最优范个高级袋。每个目标函数系数都有一个最优范围，即目标函数系数在什么范围内变化时，模围，即目标函数系数在什么范围内变化时，模型的最优解保持不变。我们应该注意那些系数型的最优解保持不变。我们应该注意那些系数的最优范围比较小，或者系数刚好靠近最优范的最优范围比较小，或者系数刚好靠近最优范围边界的情况。在这种情况下，这些系数的微围边界的情况。在这种情况下，这些系数的微小变动就有可能使最优解发生改变。下面，我小变动就有可能使最优解发生改变。下面，我们用图解法来求解们用图解法来求解Par公司的最有范围。公司的最有范围。现在学

9、习的是第9页，共94页200400600800200400600oSD可行域可行域10S+9D=7668图3-1直线直线A(7/10)S+D=630直线直线BS+(2/3)D=708 现在学习的是第10页，共94页在图在图3-1中，我们可以看到只要中，我们可以看到只要 直线直线B的斜率的斜率目标函数直线的斜率目标函数直线的斜率直线直线A的斜率的斜率 则最优解不变则最优解不变.容易计算直线容易计算直线A和直线和直线B的斜率，我们的斜率，我们来看一看若想保持极点来看一看若想保持极点仍然为最优解点，应满仍然为最优解点，应满足的条件：足的条件：（3-1）现在学习的是第11页，共94页因此，我们得到目标

10、函数的斜率为因此，我们得到目标函数的斜率为CSCD。把。把CSCD代入式（代入式（3-1），我们看到只要满足下列），我们看到只要满足下列条件，极点条件，极点就仍然是最优解点：就仍然是最优解点：现在让我们考虑目标函数直线斜率的一般现在让我们考虑目标函数直线斜率的一般形式。用形式。用CS表示标准袋的利润，表示标准袋的利润，CD表示高级袋的表示高级袋的利润，利润，P表示目标函数值。使用这些标识，目标函表示目标函数值。使用这些标识，目标函数直线可以写成：数直线可以写成：PCSSCDD把上面方程写成斜截式，得到：把上面方程写成斜截式，得到：CDD CSSP以及以及现在学习的是第12页，共94页从左边的不

11、等式，我们得到从左边的不等式，我们得到（3-2）为了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高为了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高级袋的利润级袋的利润CD9，代入式（，代入式（3-2），我们得到：），我们得到：因此因此现在学习的是第13页，共94页综合标准袋利润综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优范围的极限，标准袋利润最优范围为：为：6.3CS13.5从右边的不等式，我们得到从右边的不等式，我们得到因此，因此，现在学习的是第14页，共94页 在最初在最初Par公司的问题中，标准袋的利润是公司的问题中，标准袋的利润是10美美元。最优解是元。最优解是540个标准袋和个标准袋和252个高级袋。标准

12、袋个高级袋。标准袋利润利润CS的最优范围告诉的最优范围告诉Par公司的管理者：在其他公司的管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准袋的利润在系数不变的情况下，只要标准袋的利润在6.3美元与美元与13.5美元之间，美元之间，540个标准袋和个标准袋和252个高级袋总是最优个高级袋总是最优产量。然而值得注意的是，即使产量不变，总的利产量。然而值得注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由于每一个标准袋利润的变化而变化。润也可能由于每一个标准袋利润的变化而变化。这些计算可以重复进行，假设标准袋的利这些计算可以重复进行，假设标准袋的利润为常数润为常数CS10。如此一来，高级袋利润的最。如此一来，高级袋利

13、润的最优范围就能够被确定出来。验证可得，这个范优范围就能够被确定出来。验证可得，这个范围为围为6.67CD14.29。现在学习的是第15页，共94页 多系数同时改变多系数同时改变 目标函数系数的最优范围只能够应目标函数系数的最优范围只能够应用于一次只有一个系数发生改变的情况，其他系数用于一次只有一个系数发生改变的情况，其他系数都假定保持初值而不发生变化。如果两个或两个以都假定保持初值而不发生变化。如果两个或两个以上目标函数的系数被同时改变，就有必要进一步判上目标函数的系数被同时改变，就有必要进一步判断最优解会不会也发生变化。然而对于解决只有两断最优解会不会也发生变化。然而对于解决只有两个变量的

14、问题时，式（个变量的问题时，式（3-2）给出了一个简单的方法，）给出了一个简单的方法，以判断两个目标函数系数同时发生改变时，最优解以判断两个目标函数系数同时发生改变时，最优解是否也发生改变。简单地计算出在新的系数值下目是否也发生改变。简单地计算出在新的系数值下目标函数的斜率（标函数的斜率（-CS/CD）,如果这个比值大于等于目如果这个比值大于等于目标函数斜率的下限，同时小于等于目标函数斜率的上标函数斜率的下限，同时小于等于目标函数斜率的上限，那么系数值的变化就不会使最优解发生变化。限，那么系数值的变化就不会使最优解发生变化。现在学习的是第16页，共94页 在式（在式（3-23-2）中，我们计算

15、出只要满足下）中，我们计算出只要满足下列条件，极点列条件，极点仍然是最优点仍然是最优点 如果如果C CS S升高到升高到1313美元，同时使美元，同时使CD降低到降低到8 8美元，美元，新的目标函数斜率将变成新的目标函数斜率将变成由于这个值要小于下限，因此当前的解S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD=8代入，可得出极点是新的最优解。现在学习的是第17页，共94页 观察最优范围，我们得出结论，无论是观察最优范围，我们得出结论，无论是CS升升高到高到13美元还是使美元还是使CD降低到降低到8美元（当不是同时变美元（当不是同时变化），都不会带来最优解的变化。但当化），都不会带来最优

16、解的变化。但当CS与与CD同时同时改变时，目标函数斜率的变化导致了最优解的变改变时，目标函数斜率的变化导致了最优解的变化。这个结论强调了这样一个事实：仅仅是通过化。这个结论强调了这样一个事实：仅仅是通过最优范围，只能用于判断在一次改变一个目标函最优范围，只能用于判断在一次改变一个目标函数系数的情况下最优解的变化。数系数的情况下最优解的变化。现在学习的是第18页，共94页3.2.2 约束条件右端值的变化约束条件右端值的变化 现在让我们来考虑约束条件右端值的变化对可现在让我们来考虑约束条件右端值的变化对可行域带来的影响，及可能对最优解带来的变化。为行域带来的影响，及可能对最优解带来的变化。为了阐明

17、敏感度分析的这方面内容，我们假设了阐明敏感度分析的这方面内容，我们假设Par公公司的切割与印染部门增加了司的切割与印染部门增加了10小时的生产时间，然小时的生产时间，然后来考虑将会有什么发生。切割与印染约束条件的后来考虑将会有什么发生。切割与印染约束条件的右端值由右端值由630变为变为640，约束条件可写作，约束条件可写作现在学习的是第19页，共94页 又获得了又获得了1010个小时的切割与印染时间，我个小时的切割与印染时间，我们们可以扩展问题的可行域，如图可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可行所示。可行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使目域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使目标函数

18、值更大。运用图解法可以看出，极点标函数值更大。运用图解法可以看出，极点S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数值是最优解点。新的目标函数值为为10527.5+9270.5=7711.75美元，比原来利美元，比原来利润增加了润增加了7711.75 7688.00=43.75美元。因此，美元。因此，利润的增加率为利润的增加率为43.75/10=4.375美元美元/小时。小时。现在学习的是第20页，共94页200400600800200400600oSD可行域可行域10S+9D=7711.75图3-3直线直线A(7/10)S+D=640S=527.50D=270.75 现在学习的是第2

19、1页，共94页 约束条件右端值每增加一个单位引起的最优值约束条件右端值每增加一个单位引起的最优值的改进量称为的改进量称为对偶价格对偶价格。在这个例子里，切割与印。在这个例子里，切割与印约束条件的对偶价格为约束条件的对偶价格为4.375美元美元换言之，如果换言之，如果我们使得右边切割与印染约束条件增加我们使得右边切割与印染约束条件增加1小时，目标小时，目标函数的值会相应函数的值会相应的增加的增加4.375美元。相反，如果我们使得右边切割美元。相反，如果我们使得右边切割与印染约束条件减少与印染约束条件减少1小时，目标函数的值会相应小时，目标函数的值会相应的减少的减少4.375美元。对偶价格可以用来

20、求出当某个美元。对偶价格可以用来求出当某个约束条件右端值改变约束条件右端值改变1个单位，目标函数值将会有个单位，目标函数值将会有什么变化。什么变化。现在学习的是第22页，共94页 在这里，我们要注意的是，对偶价格可能在这里，我们要注意的是，对偶价格可能只适用于在右端值仅发生了很小的变动时的情只适用于在右端值仅发生了很小的变动时的情况。随着所获得的资源越来越多，从而右端值况。随着所获得的资源越来越多，从而右端值越来越大，其他的约束条件也可能会约束和限越来越大，其他的约束条件也可能会约束和限制目标函数值的变化。拿制目标函数值的变化。拿Par公司的例子来说，公司的例子来说，我们最终会找到某一点，从那

21、一点之后，再增我们最终会找到某一点，从那一点之后，再增加切割与印染的时间也不会使利润增加加切割与印染的时间也不会使利润增加在在切割与印染约束条件不再是束缚性约束条件是，切割与印染约束条件不再是束缚性约束条件是，这就有可能发生。在这一点，对偶价格等于这就有可能发生。在这一点，对偶价格等于0。现在学习的是第23页，共94页 下一节中，我们会讨论如何确定右端值变下一节中，我们会讨论如何确定右端值变动的有效范围，在这个范围内，通过对偶价格动的有效范围，在这个范围内，通过对偶价格可以精确地预测出目标函数值的变动。最后要可以精确地预测出目标函数值的变动。最后要指出的是，任何非束缚性约束条件的对偶价格指出的

22、是，任何非束缚性约束条件的对偶价格都是都是0，因为增加这样的约束条件的右端值，因为增加这样的约束条件的右端值，只会得到约束条件的剩余或松弛变量。只会得到约束条件的剩余或松弛变量。现在学习的是第24页，共94页 为了在解决最小化问题中正确解释对偶为了在解决最小化问题中正确解释对偶价格，假设我们刚刚解出了一个关于总成本价格，假设我们刚刚解出了一个关于总成本最小化的问题，最优解的值为最小化的问题，最优解的值为100美元。此美元。此外，假设某个约束条件的对偶价格是外，假设某个约束条件的对偶价格是-10美美元。负的对偶价格告诉我们，如果使右端值元。负的对偶价格告诉我们，如果使右端值增加增加1，目标函数值

23、不会增加，反而会减少，目标函数值不会增加，反而会减少10美元。在最小化问题中，目标函数结果变美元。在最小化问题中，目标函数结果变得更坏意味着总成本的增加。那样的话，如得更坏意味着总成本的增加。那样的话，如果右端值增加果右端值增加1个单位，目标函数变成个单位，目标函数变成110美美元。反过来，右端值减少了元。反过来，右端值减少了=1单位，总成本单位，总成本减少减少10美元。美元。现在学习的是第25页，共94页3.3 灵敏度分析：计算机求解灵敏度分析：计算机求解 在第在第2.4节，我们说明了如何使用管理科学节，我们说明了如何使用管理科学家软件来解决家软件来解决Par公司的线性规划问题。回忆一公司的

24、线性规划问题。回忆一下，为了使用管理科学家软件，我们必须使用小下，为了使用管理科学家软件，我们必须使用小数来代替分数。数来代替分数。Par公司的问题小数形式的系数公司的问题小数形式的系数表示如下：表示如下：Max 10S+9D S.t.0.7S+1D630 切割与印染切割与印染 0.5S+0.833 33D600 缝合缝合 1.0S+0.666 67D708 成型成型 0.1S+0.25D135 检查与包装检查与包装 S,D0现在学习的是第26页，共94页我们现在示范如何利用管理科学家软件来进行灵我们现在示范如何利用管理科学家软件来进行灵敏度分析，如图敏度分析，如图3-4所示。所示。Objec

25、tive Function Value=7667.99463 Variable Value Reduced Costs -S 539.99841 0.00000 D 252.00113 0.00000Constraint Slack/Surplus Dual Prices-1 0.00000 4.37496 2 120.00000 0.00000 3 0.00000 6.93753 4 17.00000 0.00000现在学习的是第27页，共94页OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Varible Lower Limit Current Value Upper Limit

26、-S 6.30000 10.00000 13.49993 D 6.66670 9.00000 14.28572RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit-1 495.59998 630.00000 682.36316 2 479.99930 600.00000 No Upper Limit 3 580.00146 708.00000 900.00000 4 117.00012 135.00000 No Upper Limit 现在学习的是第28页，共94页3.3.1 计算机输出的解释计算机输出的

27、解释第一个例子第一个例子 在第在第2.4节，我们对图节，我们对图3-4顶部的输出结果进行顶部的输出结果进行了讨论。在取近似值之后，我们得到最优解是了讨论。在取近似值之后，我们得到最优解是S=540个标准袋和个标准袋和D=252个高级袋，目标函数最优解是个高级袋，目标函数最优解是7668美元。如我们在第美元。如我们在第2.4节讨论的一样，递减成本节讨论的一样，递减成本（Reduced Costs）一栏的信息告诉我们目标函数的）一栏的信息告诉我们目标函数的每个系数应提高多少，目标函数的变量值才能是正数。每个系数应提高多少，目标函数的变量值才能是正数。对于对于Par公司的例子，两个变量都已经是正值，

28、所以公司的例子，两个变量都已经是正值，所以它们相应的递减成本就是它们相应的递减成本就是0。在第。在第3.4节，我们将会介节，我们将会介绍递减成本，这时决策变量在最优位置上并不是正值。绍递减成本，这时决策变量在最优位置上并不是正值。现在学习的是第29页，共94页 在最优解在最优解S,D以及递减成本信息下面，计算以及递减成本信息下面，计算机输出了有关约束条件的信息。回忆机输出了有关约束条件的信息。回忆Par公司的公司的例子，其中有例子，其中有4个小于或等于约束条件的，都是个小于或等于约束条件的，都是关于各个生产部门的生产时间。在松弛关于各个生产部门的生产时间。在松弛/剩余变剩余变量一栏中，可以看到

29、每个部门的松弛变量值。量一栏中，可以看到每个部门的松弛变量值。上述信息归总如下：上述信息归总如下：约约束条件序号束条件序号 约约束条件名束条件名 松弛松弛 1 切割与印染 0 2 缝合 120 3 成型 0 4 检查与包装 18 现在学习的是第30页，共94页 从上述数据中，我们可以看到束缚性约束从上述数据中，我们可以看到束缚性约束条件（切割与印染和成型）在目标函数的最优下，条件（切割与印染和成型）在目标函数的最优下，松弛为松弛为0。缝合部门有。缝合部门有120小时的松弛或未使用的小时的松弛或未使用的缝合能力：检查与包装部门有缝合能力：检查与包装部门有18小时的松弛。小时的松弛。对偶价格栏的信

30、息是关于目标函数取得最优解对偶价格栏的信息是关于目标函数取得最优解时，这时，这4种资源的边际价值。在第种资源的边际价值。在第3.2节，我们对节，我们对对偶价格进行了如下的定义：对偶价格进行了如下的定义：对偶价格就是约束条件右端值每增加一个对偶价格就是约束条件右端值每增加一个单位引起的，最优解的增加量。单位引起的，最优解的增加量。现在学习的是第31页，共94页 这里，约束条件这里，约束条件1（切割与印染）和约束条件（切割与印染）和约束条件3（成型）的非零对偶价格分别为（成型）的非零对偶价格分别为4.37496和和6.93753。这告诉我们，每额外增加这告诉我们，每额外增加1小时的切割与印染时间小

31、时的切割与印染时间会使最优解增加会使最优解增加4.37美元；每增加美元；每增加1小时成型时间将小时成型时间将会使最优解增加会使最优解增加6.94美元。因此，在其他系数保持美元。因此，在其他系数保持不变的情况下，如果有效成型时间从不变的情况下，如果有效成型时间从708小时增加小时增加到到709小时，小时，Par公司的利润会增加公司的利润会增加4.37，即有，即有7.668美元增加到美元增加到7668+4.37=7672.37（美元）。（美元）。现在学习的是第32页，共94页成型约束条件与之类似成型约束条件与之类似在其他系数保持不变在其他系数保持不变的情况下，如果有效成型时间从的情况下，如果有效成

32、型时间从708小时增加到小时增加到709小时，小时，Par公司的利润将增加到公司的利润将增加到7668+6.94=7674.94（美元）。由于缝合和检查（美元）。由于缝合和检查与包装约束条件有松弛或未使用的工作能力，它与包装约束条件有松弛或未使用的工作能力，它们的零对偶价格表明，对这两个部门增加额外的们的零对偶价格表明，对这两个部门增加额外的工作时间也不会对目标函数的值产生影响。工作时间也不会对目标函数的值产生影响。再次看看图再次看看图3-4的结果，我们看到管理科的结果，我们看到管理科学家软件除了提供松弛学家软件除了提供松弛/剩余变量和对偶价格剩余变量和对偶价格的约束条件信息之外，还给出了目标

33、函数系的约束条件信息之外，还给出了目标函数系数和约束条件右端值的变化范围。数和约束条件右端值的变化范围。现在学习的是第33页，共94页 考虑在输出结果的标题考虑在输出结果的标题“目标系数范围目标系数范围”（OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES）下面给出的信息，我们观察变量下面给出的信息，我们观察变量S（此时的值是（此时的值是10）有如下的最优化范围：）有如下的最优化范围：6.30CS13.50因此，只要标准袋的利润在因此，只要标准袋的利润在6.30到到13.50之间，之间，生产生产540个标准袋和个标准袋和252个高级袋都是最优解。个高级袋都是最优解。仔细观察会发现，这个最

34、优化范围与第仔细观察会发现，这个最优化范围与第3.2节用节用图解法得出的结论是一致的。图解法得出的结论是一致的。再观察一下高级袋的使目标函数值变化的信再观察一下高级袋的使目标函数值变化的信息，我们看到管理科学家软件计算出如下的最优化息，我们看到管理科学家软件计算出如下的最优化范围：范围：6.67CS14.29现在学习的是第34页，共94页这个结果告诉我们，只要高级袋的利润在这个结果告诉我们，只要高级袋的利润在6.67到到14.29之间，生产之间，生产540个标准袋和个标准袋和252个高级个高级袋都是最优的。袋都是最优的。计算机输出的结果的最后一部分右端值范围计算机输出的结果的最后一部分右端值范

35、围（RIGHT HAND SIDE RANGES）给出了对对）给出了对对偶价格适合范围的限制条件。只要约束条件右端偶价格适合范围的限制条件。只要约束条件右端值处于系统所给出的上限和下限之间，对偶价格值处于系统所给出的上限和下限之间，对偶价格就会给出当右端值增加就会给出当右端值增加1时，最优解的增加量。时，最优解的增加量。举例来说，我们说每额外增加一小时工作量，目举例来说，我们说每额外增加一小时工作量，目标函数会增加标函数会增加4.37美元。没减少美元。没减少1小时工作量，当小时工作量，当然也同样会使目标函数值减少然也同样会使目标函数值减少4.37美元。美元。现在学习的是第35页，共94页在右端

36、值范围栏的信息中可见，在右端值范围栏的信息中可见，4.37美元的对偶美元的对偶价格在右端值增加到价格在右端值增加到682.36316或减少到或减少到495.59998之间的范围内都是有效的。成型约束条件也是一之间的范围内都是有效的。成型约束条件也是一样，在右端值增加到样，在右端值增加到900小时或是减少到小时或是减少到580.00146小时之间的范围内，对偶价格小时之间的范围内，对偶价格6.94美元都是有效地。美元都是有效地。如前所述，右端值范围给出了一个对偶价如前所述，右端值范围给出了一个对偶价格的适用范围。如果右端值的变化超出了这个范格的适用范围。如果右端值的变化超出了这个范围，就需要重解

37、原问题并找出新的对偶价格。我围，就需要重解原问题并找出新的对偶价格。我们把这个对偶价格适用的范围叫做可行域。们把这个对偶价格适用的范围叫做可行域。Par公司问题的可行域汇总如下：公司问题的可行域汇总如下：现在学习的是第36页，共94页约约束条件束条件 最小右端最小右端值值 最大右端最大右端值值切割与印染切割与印染 495.6 682.4 495.6 682.4缝缝合合 480.0 480.0 无上限无上限成型成型 580.0 900.0检查与包装检查与包装 117.0 无上限无上限 只要右端值在这些范围之内，系统分析结果只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对偶价格就不会改变。右端值如

38、果超中的那些对偶价格就不会改变。右端值如果超出了这些范围，对偶价格的信息就会随之改变。出了这些范围，对偶价格的信息就会随之改变。现在学习的是第37页，共94页3.3.2多系数同时变化多系数同时变化 系统灵敏度分析的输出是基于单函数系数系统灵敏度分析的输出是基于单函数系数变化的。它假设所有其他的系数都保持不变。因变化的。它假设所有其他的系数都保持不变。因此目标函数系数和约束条件右端值的变化范围只此目标函数系数和约束条件右端值的变化范围只能适用于单个系数发生变化的情况。然而在很多能适用于单个系数发生变化的情况。然而在很多情况下，我们可能更加关注当两个或两个以上系情况下，我们可能更加关注当两个或两个

39、以上系数同时变化时，目标函数将怎样变化。有些多系数同时变化时，目标函数将怎样变化。有些多系数同时变化的分析可能会用到数同时变化的分析可能会用到100%法则（法则（100 percent rule）。我们下面分析）。我们下面分析100%法则是如何法则是如何应用于多系数同时变化的情形中的。应用于多系数同时变化的情形中的。现在学习的是第38页，共94页 假设假设Par公司的会计部门指出，原先对标公司的会计部门指出，原先对标准袋和高级袋的利润的计算准袋和高级袋的利润的计算分别为分别为10美元美元和和9美元有错误，正确的利润是美元有错误，正确的利润是11.50美元和美元和8.25美元。为了确定这样的变化

40、是否会对最优美元。为了确定这样的变化是否会对最优解产生影响，我们先要定义两个术语解产生影响，我们先要定义两个术语“允许增允许增加量加量”（allowable increase）和）和“允许减少量允许减少量”（allowable decrease）。对于目标函数的系）。对于目标函数的系数，允许增加量是在不超过最优范围的情况下，数，允许增加量是在不超过最优范围的情况下，系数可能增加的最大量；而允许减少量是在不系数可能增加的最大量；而允许减少量是在不低于最优范围下限的情况下，系数可能减少的低于最优范围下限的情况下，系数可能减少的最大量。最大量。现在学习的是第39页，共94页 从图从图3-4可以看出目

41、标函数系数可以看出目标函数系数S的上限是的上限是13.49993，因此，允许增加量就是，因此，允许增加量就是13.49993-10=3.49993。从百分比变动角度来看，目标函数。从百分比变动角度来看，目标函数系数（即标准袋的利润）增加了系数（即标准袋的利润）增加了1.50美元（从美元（从10到到11.5），），D的下限是的下限是6.66670，D的允许减少量为的允许减少量为2.33330=9-6.66670。从百分比的角度来看，。从百分比的角度来看，目标函数（高级袋的利润）减少了目标函数（高级袋的利润）减少了0.75美元美元（从（从9到到8.25），），现在学习的是第40页，共94页 允许增

42、加量（允许增加量（42.86%）和允许减少量）和允许减少量（32.14%）变化之和为）变化之和为75%。现在我们对将要应用于多个变量同时现在我们对将要应用于多个变量同时改变情况中的改变情况中的100%法则进行定义。法则进行定义。目标函数系数的目标函数系数的100%100%法则法则 对所有变化的目标函数系数，计算其占允许对所有变化的目标函数系数，计算其占允许增加量和允许减少量的百分比之和。如果和没有增加量和允许减少量的百分比之和。如果和没有达到达到100%，最优解就不会改变。，最优解就不会改变。现在学习的是第41页，共94页 在在Par公司的例子中，由于目标函数系数公司的例子中，由于目标函数系数

43、的两项改变的百分率之和为的两项改变的百分率之和为75%，因此最优解，因此最优解不会改变。然而值得注意的是，尽管最优解仍不会改变。然而值得注意的是，尽管最优解仍然是然是S=539.99841，D=252.00113，但最优值可，但最优值可能会因为标准袋的利润增加到能会因为标准袋的利润增加到11.50美元，高级美元，高级袋的利润减少到袋的利润减少到8.25美元而变化。美元而变化。但是，但是，100%法则并没有规定如果各百分法则并没有规定如果各百分比之和达到比之和达到100%，最优解就一定会发生变化。，最优解就一定会发生变化。有可能个百分比之和超过有可能个百分比之和超过100%，最优解也不，最优解也

44、不变。如果变。如果100%法则的条件不能被满足，就必法则的条件不能被满足，就必须对问题重新求解，以确定最优解是否发生变须对问题重新求解，以确定最优解是否发生变化。化。现在学习的是第42页，共94页切割与印染时间的允许增加量为切割与印染时间的允许增加量为682.36316-630.0=52.36316，成型时间的允许增加量为，成型时间的允许增加量为900.0-708.0=192.0（见图（见图3-4）。新增的）。新增的20小时切割与印染小时切割与印染时间占了约束条件右端值允许增加量的时间占了约束条件右端值允许增加量的额外的额外的100小时成型占了总允许增加的小时成型占了总允许增加的现在学习的是第

45、43页，共94页二者百分比之和为二者百分比之和为38.19%+52.08%=90.27%，没，没有超过有超过100%，因此我们可以得到下面的结论：，因此我们可以得到下面的结论：对偶价格在这里是适用的，并且目标函数值将会对偶价格在这里是适用的，并且目标函数值将会由此增加由此增加204.37+1006.94=781.40。现在学习的是第44页，共94页3.3.3 计算机输出的解释计算机输出的解释第二个例子第二个例子 我们重新考虑第我们重新考虑第2.5节中讨论的节中讨论的M&D化工公司化工公司的问题，以此作为解释计算机输出的第二个例子。的问题，以此作为解释计算机输出的第二个例子。M&D公司的目标是为

46、产品公司的目标是为产品A和产品和产品B找出一个成本找出一个成本最低的生产计划。下面是解决这个问题的线性规划最低的生产计划。下面是解决这个问题的线性规划模型，其中，模型，其中，A表示产品表示产品A的产量，的产量，B表示产品表示产品B的的产量。产量。Min 2A+3B s.t.1A 125 产品产品A的需求的需求 1A+1B350 总产量总产量 2A+1B600 生产时间生产时间 A,B0现在学习的是第45页，共94页 利用管理科学家软件对其进行求解，结果利用管理科学家软件对其进行求解，结果展示在图展示在图3-5中。计算机输出结果显示，最优中。计算机输出结果显示，最优解服从于解服从于800美元的目

47、标函数。决策变量的值美元的目标函数。决策变量的值告诉我们，成本最低的生产计划是生产告诉我们，成本最低的生产计划是生产250加加仑的产品仑的产品A和和100加仑的产品加仑的产品B。Objective Function Value=800.000 Variable Value Reduced Costs -A 250.000 0.000 B 100.000 0.000现在学习的是第46页，共94页 Constraint Slack/Surplus Dual Prices -1 125.000 0.000 2 0.000 4.000 3 0.000 1.000OBJECTIVE COEFFICIEN

48、T RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit -A No Lower Limit 2.000 3.000 B 2.000 3.000 No Upper LimitRIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit -1 No Lower Limit 125.000 250.000 2 300.000 350.000 475.000 3 475.000 600.000 700.000现在学习的是第47页，共94页 松弛松弛/剩余变量栏显示，

49、其中大于等于的约剩余变量栏显示，其中大于等于的约束条件意味着产品束条件意味着产品A的需求有的需求有125单位的剩余（见单位的剩余（见约束条件约束条件1）。这就是说，当处于最优解时，产）。这就是说，当处于最优解时，产品品A的产量比需求多的产量比需求多125加仑。对于总的生产要求加仑。对于总的生产要求（约束条件（约束条件2）和生产时间限制（约束条件）和生产时间限制（约束条件3），），松弛松弛/剩余变量值为剩余变量值为0，这意味着这两个约束条件，这意味着这两个约束条件是最优解的束缚性约束条件。是最优解的束缚性约束条件。对偶价格栏再一次告诉我们，每增加一单位对偶价格栏再一次告诉我们，每增加一单位的约束

50、条件右端值时最优解的改进。首先观察生的约束条件右端值时最优解的改进。首先观察生产时间的限制（约束条件产时间的限制（约束条件3），其对偶价格为），其对偶价格为1.00。如果我们增加生产时间，。如果我们增加生产时间，现在学习的是第48页，共94页使之从使之从600小时变成小时变成601小时，目标函数的值就会小时，目标函数的值就会改进改进1美元。由于目标的使成本最小，这里的美元。由于目标的使成本最小，这里的“改进改进”意味着成本的降低。因此，如果生产时间意味着成本的降低。因此，如果生产时间变成变成601小时，最优解的值将会减少到小时，最优解的值将会减少到8001=799美元。输出结果的右端值范围（美