“第一章 有理数”简介 及教学设计.doc
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1、“第一章 有理数”简介宝坻区方家庄中学 郑文敬 宝坻区三岔口中学 袁金霞本章是第三学段教科书的第一章，既承接前两个学段的内容，又为进一步学习打下基础本章主要内容是有理数的有关概念及其运算.首先，从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念，在此基础上，介绍有理数的运算本章教学时间约需19课时，具体安排如下：1.1 正数和负数 约2课时1.2 有理数 约4课时1.3 有理数的加减法 约4课时1.4 有理数的乘除法 约4课时1.5 有理数的乘方 约3课时数学活动小结 约2课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图如下：1本章的主要内容：对正、负数的认识；有理数的概念及分类；相反数与绝对值
2、的概念及求法；数轴的概念、画法及其与相反数与绝对值的关系；比较两个有理数大小的方法；有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及相关运算律；科学计数法、近似数、有效数字的概念及求法重点：有理数加、减、乘、除、乘方运算难点：混合运算的运算顺序，对结果符号的确定及对科学计数法、有效数字的理解2本章的地位及作用：本章的知识是本册教材乃至整个初中数学知识体系的基础，它一方面是算术到代数的过渡，另一方面是学好初中数学及与之相关学科的关键，尤其有理数的运算在整个数学及相关学科中占有极为重要的地位，可以说这一章内容是构建“数学大厦”的地基3本章涉及到的主要数学思想及方法：a分类讨论的思想：主要体现在有理数的分类及绝
3、对值一节课的教学中b数形结合的思想：主要体现在数轴一节课的学习上，用数字表示数轴（图形）的形态，反过来用数轴（图形）反映数字的具体意义，达到数字与图形微观与宏观的统一，具体与抽象的结合，即用数说明图形的形象，用图形说明数字的具体，尤其利用数轴比较有理数的大小，理解相反数与绝对值的几何意义，更是形象直观c化归转化的思想：主要体现在有理数的减法转化为有理数的加法，有理数的乘法转化为有理数的除法d类比法：对于有理数加、减、乘、除、乘方运算可类比小学学过的加、减、乘、除、混合运算等内容学习，总的来说计算方法不变，只是把数字的范围扩大了，增加了负数在学习过程中要时时考虑符号问题用类比的方法去学习会对新知
4、识有“似曾相识”之感，不会觉得陌生，学起来自然会轻松的多4教法建议（仅供参考）a在学完数轴一节课后，把利用数轴比较有理数的大小补充进来，提前讲解，在讲完绝对值后，在利用绝对值比较两个负数的大小，这样做既可以体会到数轴的用途，也可以避免两种方法放在一起给学生造成的混乱，而利用绝对值比较有理数的大小，写法上学生一般情况下掌握不好，这样可以着重训练学生的写法，分散难点b注重联系实际：这本教材的编排更注重了知识来源于生活，反过来又应用到生活中去的思想.充分体现了生活中处处有数学，人人都学有用的数学的理念因此，在每课的“创设情境”这一环节中，要充分注意这一点，充分利用生活实例引入新知识，使学生充分体现到
5、学好数学是有用的，因而提高学生学习数学的兴趣c对于绝对值一课的教法建议：对于绝对值的代数意义的理解，学生往往感到困难，教者可以告诉学生：两棍中间夹着一个人（整体），当它是正数和零时，两棍一扒拉，直接走出来，当它是负数时，两棍一扒拉，拄着拐棍走出来，比较形象，使学生容易理解，在整式的加减一章中，才可以顺利去掉绝对值符号，进行化简d注重本章的选学内容：一个是第6页的“用正负数表示加工允许误差”，另一个是第40页的“翻牌游戏中的数学定到理”引入负数是实际的需要，也是学习第三学段数学内容，特别是数与代数内容的需要.引进数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来，从而可以直观地介绍相反数、绝对值，同
6、时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备 引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识，另一方面，可以为学习绝对值、有理数减法等作准备引入绝对值的的概念，可以加深对有理数的认识：一个有理数由符号与绝对值确定.两个负数比较大小，有理数运算也要借助绝对值这个概念本章的重点是有理数的运算.加法与乘法都是在介绍运算法则着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算.科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍.近似
7、数在实际问题中有广泛的应用，有必要在本章作进一步的认识利用计算器计算分两次安排，一次在加减乘除运算之后，一次在乘方运算之后学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成本章的教学要求如下： 1通过实际例子，感受引入负数的必要性.会用正负数表示实际问题中的数量2理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母），会比较有理数的大小通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法3掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算能运用有
8、理数的运算解决简单的问题4理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）5通过实例进一步感受大数，并能用科学记数法表示.了解近似数与有效数字的概念二、本章编写特点1加强与实际的联系（1）从实际出发引入有关内容章前引言注意与实际的联系，用温度、净胜球、增长率的实例引入本章的内容.通过第一节开头回顾学过的数的产生和发展的过程，说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要有理数的有关概念注意从实际引入.例如，数轴是通过描述位置的问题引出的，并让学生通过温度计加深对数轴的认识.又如，通过一个“思考”，栏目，给出未来一周天气预报，提出问题“你能将图中给出的各个温度按从低到高的顺序排列吗？”，
9、从而引出有理数比较大小的内容从实际出发引入有理数的运算.例如，通过足球比赛中，计算章前引言中红队和蓝队的净胜球数，出现4（2），1+（1），引出正数与负数的加法又如，通过某地一天的气温是3 4 ，这天的温差（）就是4（3），引出正数与负数的减法（2）运用有关内容解决实际问题教科书通过引言中温度、净胜球、增长率的实例引出负数后，进一步介绍正负数在实际中的应用.例如，在地形图上表示某地的高度要用到正负数又如，银行储蓄中存入用正数表示，支出用负数表示再如，用正负数描述体重、出口总额的增减变化.通过这些例子，让学生进一步体会引入负数在解决实际问题中的作用学过有理数的有关运算后，即可运用相应运算解决实际
10、问题例如，运用有理数加法解决有关求和的实际问题，运用有理数的乘法解决气温变化的问题，运用有理数的混合运算解决公司盈亏问题让学生通过“数学活动”将本章内容运用于实际例如，让学生运用本章有关内容掌握家庭的生活收支情况让学生收集实例，体会科学记数法和近似数等在实际中的应用2运用数形结合的方法学习本章的一个关键，就是利用数轴的直观性，帮助学生理解相反数与绝对值的概念，掌握比较有理数大小的方法，认识有理数的运算法则从数轴上看，有许多对关于原点对称的点，从而引出相反数加以描述.除了关于原点对称的点以外，数轴上不同的点到原点的距离不同，这又可以引入绝对值加以描述利用数轴规定有理数的顺序，既直观又涵盖了有理数
11、比较大小的各种情况利用数轴分析物体运动的实例，可以非常直观地获得物体两次运动的结果，从而引出有理数加法的运算法则教科书还利用数轴、通过蜗牛运动的例子引出有理数乘法法则.在前两个学段，学生对速度时间路程已经熟悉：如果知道速度，时间，就可以用速度时间求出路程，如果再知道运动的起点，运动的方向，就可以用速度时间确定运动一段时间后的位置在此基础上，可进一步指出，如果把时间区分为现在前与现在后，速度时间就表示一段时间前与一段时间后的位置另一方面，这个位置借助数轴容易确定，从而写出相应的算式可以看到，有了数轴，上述内容就能够清楚地呈现3让学生通过思考、探究、归纳，主动地进行学习勤于思考，善于思考，是学好数
12、学的必要条件.教科书中穿插安排了大量的思考栏目.例如，让学生思考加法运算律在有理数范围是否成立再如，让学生思考运算律简化计算的作用.这些栏目有的通过对问题的思考获得结论，有的通过对解决问题的过程的反思加深认识要让学生积极动脑，积极参与，激发他们学习的热情探究是解决问题，探求结论的过程，要让学生知其然，更知其所以然.例如，在本章中，让学生通过数轴探求物体两次运动的结果，从而认识有理数的加法运算法则，以及探究有理数乘法法则在这些问题中，学生自己探索发现，体验获得结论的过程在思考、探究的基础上归纳结论是学习过程中的一个重要环节.结论是探索的结果，又要进一步运用于解决问题中.如归纳正负数的相反意义，加
13、减运算的统一.要通过归纳让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，使他们既学会发现，又学会总结.三、几个值得关注的问题1搞好与前两个学段的衔接前两个学段学过整数、分数（包括小数）的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数的知识，这些都是学习本章内容的基础有理数的有关概念以及运算，与前两个学段学过的数的概念及运算联系紧密.例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结到已学过的运算上去因此，学习有理数的有关概念以及运算，都必须注意与从前两个学段学过的数的概念及运算的衔接教科书把用字母表示数的知识运用于本章.例如，用a表示a的相反数；用字母表示求一个数的绝对
14、值的结论；用字母表示有理数的减法法则、除法法则.这样做可以使问题的阐述更简明、更深入，同时，前面学过的数与代数的知识，也得到了巩固、加强和提高.2把握好教学要求对绝对值的要求，要有一个过程，有些要求要在今后的学习中落实，例如绝对值不等式.本章安排绝对值的概念，主要是为有理数的运算作准备的会求一个数的绝对值就达到了上述要求教科书中用字母表示求一个数的绝对值的结论，并不要求在绝对值符号中出现字母并加以讨论有理数运算中涉及的数应当比较简单，如果涉及的数比较复杂可以利用计算器解决，主要是确定结果的符号对于有理数的混合运算，也要控制复杂程度3用好计算器用计算器可以进行有理数的运算，这意味着没有必要要求学
15、生进行复杂的笔算，使它们有更多的时间运用有理数的运算解决问题有理数运算的基本要求不能削弱.因此，用计算器进行有理数运算的内容，都要在学生掌握了相应运算以后再加以介绍让计算器为学生掌握有理数的运算服务笔算以后，可以用计算器验算，参照计算器计算的结果，学生可以判断笔算结果是否正确如果笔算的结果不正确，应鼓励学生寻找笔算过程中的错误并加以改正，而不是把计算器算得的结果一抄了事让计算器帮助学生探索运算规律对于运算规律，可以让学生选较复杂的数进行尝试，用计算器获得结果4利用好选学内容本章安排了“阅读与思考”“观察与猜想”“实验与探究”等选学内容这些选学内容是本章中有关问题的扩展与加深适时安排有兴趣的学生
16、使用这些材料，可以开阔他们的眼界，增长他们的见识例如，可以在“阅读与思考 用正负数表示加工允许误差”中更多地了解实际中的正负数又如，从有理数乘法的符号规律，可以解释一个翻牌游戏中的数学道理总之，要使选学内容与必学内容相得益彰，提高学生的数学水平1.3.1有理数的加法（第一课时）一、教材分析在初中阶段，要培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把实际问题转化成数学问题的数学意识，增强学生对数学的理解和解决实际问题的能力.运算能力的培养主要是在初一阶段完成. 有理数的运算是初等数学的基本运算，掌握有理数的运算，是学好后续内容的重要前提.有理数的加法作为有理数的运算
17、的一种,它是有理数运算的重要基础之一,也是整个初中代数的一个基础,它直接关系到有理数运算、实数运算、代数式运算、解方程、研究函数等内容的学习.二、教学分析（一）教学目标根据本节所处的地位与作用，结合学生的具体学情，确定本节课的教学目标如下：1通过将生活中的问题转化为有理数加法的全过程，学生能够直观形象地理解有理数加法的意义，掌握有理数的加法法则，并能正确运用.2在学生学习的过程中，渗透分类思想、数形结合思想，培养学生分析、综合、归纳、概括的能力.3通过情境的设计，培养学生的探索创新精神.通过教师引导下的探索，让学生感受到数学学习的价值与乐趣.（二）教学重点与难点1教学重点：有理数加法法则的理解
18、与运用（而不是简单地记忆法则）.2教学难点：异号两数加法的实际意义及法则的归纳（三）学情分析在初中数学教学中，非智力因素在认知过程中起十分重要的作用，而兴趣在非智力因素中占有特殊的地位，它是学生学习自觉性和积极性的核心因素，是学习的强化剂.因此，从初一开始培养学生对数学的兴趣，是其学好数学的重要保障.围绕这一点，在教学中要让不同程度的学生都有体验成功的机会，教学中教师为导、学生为主，充分认识初一学生这个年龄段的心理特征：好奇心强；好胜心强；抽象思维能力弱，过分依赖直观；意志薄弱，缺乏毅力.另一方面，课本知识的传授是符合学生的认知发展特点的.在前期段，学生已经储藏了两个正数的加法，较大数减较小数
19、的减法，引入了负数，有必要再学习有理数的加法，然后过渡到有理数的其它运算，再到式的运算、方程、函数的运算；同时，负数、数轴、绝对值的学习又为这节课的学习方法奠定了基础.（四） 教学方法在本节的设计过程中，利用了一道开放性习题引出课题，让学生在研究中学习，对学生进行能力培养，充分跨越学生的最近发展区.（五）教学手段本课采用多媒体辅助教学，从学生熟悉的人物出发，激发学生探索欲；通过层层铺垫，引导学生利用已学数学工具探索新知；在学生探索的基础上，有意识地引导学生对多样化的结果进行分类整理；在法则的提炼过程中，培养学生类比、归纳和概括的学习能力.三、教学过程： （一）创设情境，让学生的思维“动”起来生
20、活情境刘翔是世界男子青年锦标赛110米栏的冠军，是中国人的骄傲.从他的体育精神中我们应该学习他坚忍不拔的刻苦精神，激励学生爱国、立志.将跑道抽象为数轴，起跑点为原点，将生活问题数学化.说明：这种从生活到数学的建模，从学生感兴趣的题材出发，为创设下文的探索情境作一个兴奋点的刺激，让每个学生都有信心并且能够积极尝试、探索.（二）体验进程，让学生的思维“活”起来“数学是问题的心脏”，是教学的出发点，由问题引入课题能使学生产生较强的未知欲.开放式探索 刘翔在一条东西方向的跑道上往返跑步进行训练，他连续跑了两段路，共跑了80米.问刘翔两次以后的位置可能在哪里？ 设计意图：这是一道条件不唯一，结果也不唯一
21、的开放性题型，对学生有一定的挑战性.它的优点在于：只要理解题意，任何一个学生都能答对至少一种正确答案；同时它的答案又分多种情况，学生由于思维的不完备性，很容易丢失答案,并且这种错误在别人的提醒中能马上恍然大悟.这是一道能锻炼学生思维的灵活性、严谨性及答案适用分类讨论、培养学生概括能力的好题.在本题中，包含学生对有理数加法的意义的理解及探索有理数加法加数的几种类别（从正负性上区分），在求和的过程中，让学生有机会经历从实物模拟到表象操作再到符号操作的转化.教学方法：用课件帮助学生思维从“实物操作”过渡到“表象操作”并优化思路；给予学生充分的思考机会；善于抓住学生思维的弱势因势利导.预计困难：学生直
22、观思维理解“共跑了80米”就是在离出发点80米远的地方.这是一个距离与位移的概念混淆并且教学中不宜新增概念. 条件中的“两段”和“80米”分别对应加法中的什么量？有的学生不理解题意，可能放弃.处理方法：教学中学生思维上的弱点也可能会成为他这堂课思维的亮点，让学生在练习纸上尝试“实物操作”思维方式，自己突破思维瓶颈.在学生正确理解80米的条件使用方法后，再让学生比较80与加数的绝对值、和的绝对值的关系，在理解能力上更上一层楼 .区别不同程度的学生，可以从“列式子”，“列等式”，问“为什么”逐步递进，让尽可能多的学生尝试最近发展区.教学注意点：要明确本堂课的教学重点和目标，对开放题的探索浅尝止，不
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