双曲线及其标准方程 教学设计.doc
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1、高二数学 选修2-1 第二章 2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程教学设计 zxf一、教学目标1.知识与技能理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题;了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法2过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究,使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用,提高学生的观察与探究能力3情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联系的观点认识问题二、重点难点重点:理解和掌握双曲线的定义及其标准方程难点:双曲线标准方程的推导三、教学方法探究法,自主练习四、教学过程(一)探究双曲线的轨迹形成1我们知道,
2、与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,(利用几何画板,演示椭圆的形成)那么与两定点距离的差(小于两定点的距离之差)为非零常数的点的轨迹是什么?如图,固定的两个点F1,F2,动点M到点F1,F2的距离MF1与MF2之差为非零常数,动点M形成的轨迹是什么?(几何画板演示,这样的动点M形成的轨迹,是双曲线。)2若定义中的常数大于或等于|F1F2|时,轨迹是什么?【提示】当常数等于|F1F2|时,轨迹为以F1,F2为端点,在直线F1F2上反向的两条射线F1A,F2B(包括端点),如图所示当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在双曲线的定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离的
3、差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距这里主要是和椭圆进行类比教学,通过椭圆向双曲线过度,也就是类比椭圆的形成,学生自由探究双曲线的形成。(二)探究双曲线的标准方程(推导)类比椭圆标准方程的建立过程,你能说说怎样选择坐标系,建立双曲线的标准方程吗?【提示】以经过两焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c,c2a2b2这里主要也是和椭圆进行类比教
4、学,回忆椭圆的标准方程是怎样推导的,自己尝试推导出双曲线的标准方程。这里也涉及了很重要的数学方法,通过繁琐的计算过程,最后推导公式,培养学生的严谨思维和分类讨论的思想。(三)双曲线的标准方程应用例1求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4,且经过点A(1,);(2)经过点P1(2,)和P2(,4)两点【思路探究】(1)所求曲线的焦点位置确定吗?(2)如何求出a2、b2的值?【解答】(1)若所求双曲线的标准方程为1(a0,b0),则将a4代入,得1. 又点A(1,)在双曲线上,1.由此得b20, 不合题意,舍去若所求双曲线方程为1(a0,b0),则将a4代入得1,代入点A(1,),得b29,
5、双曲线的标准方程为1.(2)法一当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为1(a0,b0)P1、P2在双曲线上,解得(不合,舍去)当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为1(a0,b0)又P1、P2在双曲线上,解得,即a29,b216.故所求双曲线方程为1.法二因为双曲线的焦点位置不确定,所以设曲线方程为mx2ny21(mn0),因为P1、P2在双曲线上,所以有, 解得.所求双曲线方程为1,即1.【总结】1求双曲线标准方程的两个关注点:(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式(2)定量:是指确定a2、b2的数值,常由条件列方程求解2
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