1979年全国高考数学试题及其解析.doc

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1、1979年全国高考数学试题及其解析理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤1公斤，乙有2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得BAP=,同时在B站测得ABP=.问及满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我

2、海城?6.设三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角.求证:ABC是锐角三角形. 7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718为底的对数.本题中增长率x0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰OAB的顶角为2,高为h.(1)在OAB

3、内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为PD,PF,PE并且满足关系PDPF=PE2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得PD+PE=PF. 文史类一（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+1的极小值二（本题满分9分）化简（1+sin2)2-cos4(1+cos2)2-sin4三（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理五（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A

4、及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得BAP=同时在B站测得BAP=问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取 k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.95650, 由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负

5、数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0.直线OA的方程为y=xtg,直线OB的方程为y=-xtg,直线AB的方程为x=h.又因为P点在AOB内,于是由条件PDPF=PE2得x2sin2-y2cos2=(h-x)2,(1)即 x2cos2-2hx+y2cos2+h2=0.除以cos2(0)得 (2)由条件PD+PE=PF得xsin-ycos+h-x=xsin+ycos,即x+2ycos=h. ()由(1),()得x2sin2-y2cos2=4y2cos25y2cos2=x2sin2,由 PD+PEPF可知y0,所

6、以这里右端取正号.代入()得解法二:设OP与正x轴的夹角为,则PD=OPsin(-)=OP(sincos-cossin)=xsin-ycos,PF=OPsin(+)=OPsincos+cossin=xsin+ycos.以下与上面的解法一相同。1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+1的极小值解略：x=时，y取最小值.二（本题满分9分）化简（1+sin2)2-cos4(1+cos2)2-sin4解：原式=(1+sin2+cos2)(1+sin2-cos2)(1+cos2+sin2)(1+cos2-sin2)=4(1-cos2)(1+cos2)=

7、4sin2 2三（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理解：略五（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得BAP=同时在B站测得BAP=问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？解：作PCAB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=dctg在直

8、角三角形PC中，BC=dctgS=AC+BC=d（ctg+ctg）当dD，即ctg+ctg时，应向外国船发出警告六（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用：ln(1+x)x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.30.7=1.61利用ln(1+x)x,则有xln5/40=1.61/40=0.040254%答：每年约增长

9、百分之四七（本题满分18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证：证：连接CD因CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，CDAB又在直角三角形ABC中，ACB=900，AC2=ADAB，BC2=BDBA又因 BD2=BCBF，AD2=ACAE由（1）与（2）得八（本题满分14分）过原点O作圆x2+y2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点求P1P2的中点P的轨迹解：设割线OP1P2的直线方程为 y=kx代入圆的方程，得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0即(1+k2)x2-2(1+2k)x+4=0设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得：又设P点的坐标是（x,y)P是P1P2的中点，所以又P点在直线y=kx上，