讲义空间点线面的位置关系.doc

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1、 个性化辅导讲义学生： 管笑澜 科目： 数学 第 1 阶段第 4 次课 教师： 于利 时间：20 13 年 9 月 21 日 8-10 时段课 题 空间点线面的位置关系教学目标1、 理解并掌握平面的性质2、 理解并掌握异面直线所成的角3、 理解并掌握直线与平面的位置关系重点、难点平面的性质 异面直线所成的角 直线与平面的位置关系考点及考试要求1、理解并掌握平面的性质2、理解并掌握异面直线所成的角3、理解并掌握直线与平面的位置关系知识概括：考点一、平面的基本性质1、平面的特征： ，我们通常画 来表示平面，根据需要也可以用 等图形来表示，如果一个面被另一个面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常将被挡

2、住的部分用 画出来，平面通常用希腊 表示，也可以用 来表示；2、平面的基本性质名称内容图形表示数学语言表示作用公理如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线在此平面内，且，判定直线在平面内判定点在平面内公理过 一条直线上的 ，有且只有一个平面若三点不共线，则三点确定一个平面确定平面证明点、线共面公理如果两个 的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，且，且判定两个平面是否相交证明点在直线上证明三点共线证明三线共点画两个相交平面的交线公理的推论推论经过 有且只有一个平面若，则点和直线确定一个平面确定平面证明点、线共面推论经过两条 有且只有一个平面若，则确定一个平面，推论经过两条

3、 有且只有一个平面若，则确定一个平面，让典型例题例1、画出点在直线上，而直线在平面上的图形，并用符号表示为 ；例2、不全共线的四个点可确定 个平面，并画出图形；例3、判断下列说法的对错(1)我们常用平行四边形表示平面，用平行四边形的四条边表示平面的边界( )(2)若，且，则( )(3)空间中，四边形的对角线必交于一点( )(4)空间中，梯形是一个平面图形( )变式：1、判断下列说法的对错(1)空间中，平行四边形是一个平面 ( ) (2)任何一个平面图形都是一个平面( )(3)平静的太平洋是个平面( ) (4)圆和平行四边形都可以表示平面( )2、判断下列说法的对错(1)若,则( ) (2)若，

4、则( )(3)若，则( ) (4)若，则( )3、判断下列说法的对错(1)三个平面最多把空间分成个部分( )(2)若条直线中，任意两条共面，则这条直线共面( )(3) 若，则三线必交于一点( ) (4)若，则( )例4、已知：daP，dbQdcR，a、b、c相交于点O 求证：a、b、c、d共面证明：daP，过d、a确定一个平面（推论2）同理过d、b和d、c各确定一个平面、Oa，Ob，Oc，O，O，O平面、都经过直线d和d外一点O、重合a、b、c、d共面例5、已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P求证：P在直线BD上分析：易证BD是两平面交线

5、，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点已知：EFGHP， EAB、 FAD， GBC， HCD， 求证：B、D、P三点共线证明：ABBDB，AB和BD确定平面ABD（推论2）AAB，DBD，EAB，FAD， EFGHP，P平面ABD同理，P平面BCD平面ABD平面BCDBDPBD即B、D、P三点共线变式1、已知：如图1-26，=a，b，c，bcp求证：pa变式2已知：ABC在平面外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交于M、N、R，求证：M、N、R三点共线变式3如图127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面考

6、点二、空间直线与直线之间的位置关系1. 教学两条直线的位置关系：定义异面直线：我们把 叫做异面直线性质：既不平行，又不相交空间两条直线的位置关系：例1、判断正误(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ( ) (2)直线在平面内，直线不在平面内，则是异面直线 ( ) (3)直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线； ( ) (4)已知一平面，直线不同在平面内，则是异面直线 ( ) (5)在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行 ( ) (6)在空间中，平行于同一条直线的两直线平行 ( ) (7)在空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； ( ) (8)

7、两条直线互相垂直，则这两条直线有且只有一个公共点； ( ) (9)经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ( ) (10)直线外一点和直线上一点的连线段中，垂线段最短； ( ) (11)两条平行线中有一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线； ( ) (12)垂直于同一条直线的两直线平行。 ( ) 例2、 已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异直线AB和CD所成的角的大小.例3、出示例：空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：EFGH是梯形。例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，求证BD1和B1C1是异面直线求

8、BD1和B1C1所成角的正切值。变式1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求对角线BD1和对角线AC所成角的大小。变式2：已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，求异面直线与MN所成角的余弦值。 考点三、 直线与平面的位置关系如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.直线在平面内a直线与平面相交a=A直线与平面平行a例1 下列命题中正确的个数是( )若直线l上有无数个点不在平面内，则l若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条

9、直线都平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0 B.1 C.2 D.3例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线abc，直线la=A，lb=B，lc=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,ab, a、b确定一个平面，设为.la=A，lb=B,A，B. 又Al，Bl,AB，即l.同理b、c确定一个平面，l,平面与都过两相交直线b与l.两条相交直线确定一个平面,与重合.故l与a、b、c共面.变式： 已知a,b,ab=A,Pb,PQa，求证：PQ.证明：PQa，PQ、a确定

10、一个平面，设为.P，a，Pa.又P，a，Pa,由推论1：过P、a有且只有一个平面, 、重合.PQ.点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.例2 若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是( )A.内的所有直线与a异面 B.内的直线与a都相交C.内存在唯一的直线与a平行 D.内不存在与a平行的直线课堂练习1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能2教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）.A平行 B垂直 C相交但不垂直 D异面3两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a

11、，b的位置关系是（ ）.A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线4把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 485正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线 与CN所成的角是 （ ）.A30 B90 C45 D606如图，正方体中，直线与所成角为_度.7右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成60角； DM与BN垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . 8已知空间四边形ABCD各边长与对角线都

12、相等，求AB和CD所成的角的大小. EAFBCMND9空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. 课后练习1直线与平面不平行，则（ ）. A. 与相交 B. C. 与相交或 D. 以上结论都不对2正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 273若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数 （ ）.A. 有限个 B. 无限个C. 没有 D. 没有或无限个4E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则

13、点P（ ）. A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内5一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）. A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交6若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 . 7一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分8A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.9已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD

14、的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如右图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.课堂练习15 CCBCD； 6. ； 7. 48. 证明：连结和，因为 是的中点，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可确定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面与平面都经过不共线的三点，故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可证，所以，E、F、G、H、K、L六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合）9. 证明：（1）根据

15、公理2易知确定平面，且与有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线.（2）ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线. 课后练习答案：15 CCBCD； 6. ； 7. 48. 证明：连结和，因为 是的中点，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可确定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面与平面都经过不共线的三点，故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可证，所以，E、F、G、H、K、L六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合）9. 证明：（1）根据公理2易知确定平面，且与有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线.（2）ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线. 8 杭州龙文教育科技有限公司