第2章离散时间系统优秀PPT.ppt
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1、第2章离散时间系统现在学习的是第1页,共57页2.1 2.1 引引 言言问题问题:通过考察信号在采样时刻的行为,如何把一个连续时间系统转换为一个离散时间系统?注意注意:1.采样数据系统是一个时变系统,本章回避这个问题,仅研究与计算机时钟相同步的那些时刻的信号。2.面向计算机的数学模型仅仅给出在采样点上的特性,而物理过程本身仍是一个连续时间系统。现在学习的是第2页,共57页2.2 2.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样n采样采样意味着“连续时间信号由一个数值序列所代替,这个序列代表了某些时刻的信号值”。n过程变量模拟变换器有关的采样数值序列 处理后新的数值序列转换为连续时间信号作用于过程。
2、(采采样过程样过程 重构过程重构过程)n计算机接收受控过程在离散时间上的测量值,并在离散时间上发送新的控制信号。描述信号在逐个样点上的变化,而不关心样点之间的特性。(差分方程差分方程)图2.1 计算机控制系统的原理框图现在学习的是第3页,共57页2.3 2.3 连续时间状态空间系统的采样连续时间状态空间系统的采样问问 题:题:1.利用A/D和D/A变换器可以把一个连续时间系统和计算机连接起来,如何描述这样的系统?2.计算机里的信号序列u(tk)和y(tk),如何寻求这两个序列的关系?把寻找一个与连续时间系统相对应的离散时间系统称为连连续时间系统的采样续时间系统的采样,所得到的模型亦称为频闪模型
3、频闪模型。图2.2 连接有A/D和D/A转换器的连续时间系统框图 现在学习的是第4页,共57页2.3 2.3 连续时间状态空间系统的采样连续时间状态空间系统的采样连续时间系统由下列状态空间方程表示:(2.1)系统具有r个输入,p个输出,且阶数为n。系统的零阶保持采样系统的零阶保持采样 在计算机控制中,普遍的把D/A变换器设计成这样,即在指定下一个变换之前,它一直保持模拟信号恒定不变。通常,这样称之为零阶保持电路零阶保持电路。现在学习的是第5页,共57页采样时刻上系统变量之间的关系采样时刻上系统变量之间的关系当给定系统在采样时刻tk时的状态,则通过求解方程(2.1)便能得到某个未来时刻t的系统状
4、态。于是,当tkt tk+1时,t时刻的状态为:(2.2)这样,t时刻的状态变量向量为x(tk)和u(tk)的线性函数。如果A/D和D/A变换器是完全同步的,并且变换时间可以忽略不计,那么我们可以把输入u和输出y看作是在同一瞬间进行的采样。(2.3)现在学习的是第6页,共57页采样系统在采样时刻上的系统方程为:(2.3)式中,注注 意意:n方程(2.3)并不包含任何的近似。由于控制信号在两个采样时刻之间保持恒定,故方程(2.3)给出了状态变量和输出量在采样时刻上的准确值。n把模型(2.3)式称之为系统(2.1)式的零阶保持采样零阶保持采样。式(2.3)也称之为系统(2.1)的零阶保持等价系统零
5、阶保持等价系统。现在学习的是第7页,共57页均匀采样的离散时间系统均匀采样的离散时间系统 对于周期为h的周期采样,有:tk=kh,这时,式(2.3)表示的模型便可以简化成时不变系统:(2.4)式中:(2.5)由式(2.5)得:现在学习的是第8页,共57页矩阵 和 满足方程:注注 意意:单位矩阵I的维数等于输入信号的个数。采样周期h,矩阵(h)和(h)可以由下面的方阵得到:(2.6)现在学习的是第9页,共57页如何计算 和 下面给出可以采用的五种方法:nMatlab中的数值计算;n矩阵指数级数展开;nLaplace变换;n凯莱-哈密顿(Cayley-Hamiton)定理;n变换成对角型或者约当型
6、。如果n2,矩阵 和:现在学习的是第10页,共57页例1:一阶连续时间系统:应用式(2.5),得到:因此,采样系统变为:现在学习的是第11页,共57页例2 双重积分器双重积分器的微分方程为:令y=x1,=x2,其状态空间表达式为:得到:双重计分器的离散时间模型为:(2.7)现在学习的是第12页,共57页采样之逆采样之逆问问 题:题:从离散时间描述中获取相应的连续时间系统是否可能?需要满足什么条件下才使可能的?现在学习的是第13页,共57页考察一阶差分方程考察一阶差分方程:从例子1中发现,相应的连续时间系统是从:得到:表明表明:当a0时,才能得到一个具有实系数的连续时间系统。一般情况下,从式(2
7、.6)可以得到:此处的ln()为矩阵对数函数。表明表明:连续时间系统可由对一个方阵取它的矩阵对数得到。当矩阵 在负实轴上没有特征值时。对数才唯一存在。现在学习的是第14页,共57页具有时延的系统的采样具有时延的系统的采样在工业过程的数学模型中,时间延迟是很常见的。由于具有时间延时的连续时间系统是无限维系统,所以这种系统的理论十分复杂。设系统描述为:(2.8)第1种情况:h图2.3 u(t)、u(t-)和h之间的关系 现在学习的是第15页,共57页n先计算系统先计算系统(2.8)(2.8)的零阶保持采样的零阶保持采样。式(2.8)在一个采样周期上的积分为:(2.9)1.信号u(t)在整个采样间隔
8、上是分段恒定的,故,延迟信号 u(t-)也是分段恒定的;2.延迟信号在各个采样时刻之间会有变化。要计算式(2.9)的积分项,方便的办法是:把积分区间分成两部分,使得u(t-)在每一部分中都是恒定的,即:现在学习的是第16页,共57页连续时间系统(2.8)的采样系统为:(2.10)式中:(2.11)式(2.10)的状态空间模型为:注注 意意:1.引入了r个状态变量u(kh-h),它表示为控制信号的先前值。2.连续时间系统(2.8)是无限维的,但对应的采样系统却是有限维的。3.要想规定系统的状态,就必须在整个等于时间延迟的时间区间上存储输入信号。4.应用零阶保持重构法,输入信号总可以用有限数目的采
9、样之来表示现在学习的是第17页,共57页长时间的延迟长时间的延迟第2种情况:h设:其中,d为常数,于是可以导出如下方程:式中,0和 1由式(2.11)确定,但需要用 代替原来式中的 对应的状态空间描述为:(2.12)注意:注意:如果 0,那么,额外的引入了dr个状态变量来描述时间延迟,这里r是输入的个数。状态空间描述的特征多项式为drA(),其中A()为矩阵 的特征多项式。现在学习的是第18页,共57页例例3 3 简单的造纸机模型简单的造纸机模型 模型的状态方程为:采样间隔h=1。d=3,=0.6。根据(2.12),可得:其中:现在学习的是第19页,共57页具有内部时延的系统具有内部时延的系统
10、设系统由下列方程描述:(2.13)图2.4 具有内部时间延迟的系统 现在学习的是第20页,共57页假设,u(t)在采样区间h上分段恒定。现在,试图找出x1(kh)和x2(kh)的递归方程。对系统(2.13)进行采样,当=0,且采样区间h,得到分块系统:定理:定理:内部时间延迟 对系统(2.13)以采样区间为h,且0 h进行的周期性采样,得到的采样数据表达式为:(2.14)现在学习的是第21页,共57页(2.14)式中,(2.15)注注 意:意:具有时间延迟 的采样数据系统(2.14)是由对系统(2.13)采样而得到的,其中采样间隔h、h、之间无时间延迟。这样,相对于所需的采样时间间隔给出了 1
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