数学高考易错题大盘点(文科).doc

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1、数学高考易错题大盘点（文科） 中国考试研究院 数学研究所对于文科考生来说，数学学科临场发挥的好坏，几乎决定高考的成败。综观近年高考阅卷，直面考生解题过程，正如名言“幸福的家庭都是一样的幸福，不幸的家庭各有各的不幸”所述，正确的解法通常表现为思维流畅、方法得当、知识清晰、书写规范，让阅者有“一气呵成”之感，而有问题的解法则往往显示出各种各样的缺漏，使人颇有“冤枉丢分”之憾；实践证实：尽量减少考试失误是高考数学致胜的法宝；本文旨在通过对考生失误情况的分析和诊断，力求把学生引向高考数学的至高点。症状一：审题性失误文科考生数学意识一般不太强，加上在考试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现失

2、误：或没有注意题目中关键的叙述，误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误纠错良方：仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析错因1 忽略条件信息例1已知集合A=k|方程表示的曲线是双曲线，B=x|y= ，则AB=（ ）A.（1,3） B.（3+） C.（-，-1（3，+） A=k|k3D.（-，-1）（1，+）错解1令 k0 k-30 令 B=x|x或x错解2前面同上，由A=k|k3，B=x|x或x A=错解3令k（k-3）0k3或k0的解集，即A=（-，0）（3，+），集合B=（-，-11，+）， AB=（-，-1（3，+），故选C错因反思在

3、解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本真纠错良方：审题时抓住细节和关键点，重视限制条件，注意反思和检查错误档案：（1）（2007年安徽高考题）若集合 A=x，B=x，则A（CuB）中元素个数为（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 3解题时易忽略“x”这个已知条件，从而无选项。（2）（2007重庆高考题）设为公比q1的等比数列，若a2004和a2005是方程的二根，则a2006+a2007 = 解题时忽略“q1”的条件而误填：3或 错因2：遗忘隐含条件 例2（2006年陕西高考题）已知不等式（x+y）（+

4、）9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值？ 错解x+y 且+，（x+y）（+）4要使（x+y）（+）对任意正实数x、y恒成立，只要4,即a，故正实数a的最小值为 错因诊断以上解法因忽视等号成立而导致错误，这种错误比较隐蔽不易察觉，本题中，当a=时，固然有（x+y）（+）对任意x，y恒成立，但当且仅当x=y且=，即a=1且x=y时才成立，显然a=1与a=两者相矛盾，故（x+y）（+），4和a=中的等号都不能成立正解由（x+y）（+）=1+a+1+a+2=，由a4，当且仅当a=4 且x=y时，（x+y）（+）且9和a4中的等号都成立，故正实数a的最小值为4纠错反思正确运用题设，合理地将已知

5、条件实施等价转换，从而达到化难为易，化繁为简，化未知为已知之目的，要切实注意“等价转换”过程中的隐含条件纠错良方:要深入理会，充分挖掘隐含条件，有意识地重点关注：等式成立的条件、变量的取值范围、隐蔽的性质、常识性结论等错误档案：（1）若直线L：y=k（x-2）+2与圆c:有两个公共点，则实数k之取值范围为 解题时由于没有充分挖掘隐含条件“点（2，2）在圆C上”，以致把问题复杂而造成错解，事实上只需考虑直线L与圆C不相切即可（2）已知函数的定义域为（-），且，求关于x 不等式：之解集。解题时，由于没有注意到为偶函数，以及和均在（-）内，且=-x，从而得到(x)0（0x），于是得到(x)在（0，）

6、上递增，进而得到+-等性质，导致没能找到解题的切入点错因3：曲解题意本质例3已知电流I与时间t的函数关系为：I=Asin（wt+） 1、如右图是I=Asin（wt+）（|0)，w150471，又w是整数，故w的最小正整数为472 错误诊断错将题意中“任意一段”理解为“存在一段”正解 依题意：周期T 即w300942，又w是整数，故w的最小正整数为943 错因反思见到熟悉题型切不可沾沾自喜，审题时粗枝大叶，没有深刻领会条件中的关键字眼就轻率落笔，容易掉进命题者设计的圈套中纠错良方：理解重点字词，抓住主干，去伪存真，真正领会条件的内涵，正确理解问题的本质，切不可粗心大意，误入审题陷阱错误档案：（1

7、）电路如图所示，从A到B共有 条不同的线路可通电（要求从A出发的三条支路有且只有一条通电）这道题常见错误是：运用加（乘）法原理得：22+1+3+8条，其实上面的支路通电有：（+）（+）=9条（即二条中至少有一条通电且另二条中至少有一条通电），下面的支路通电有：+=7（条）（即三条中至少有一条通电），故共有9+1+7=17（条）（2）（2007年浙江高考题）直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（ ）A. x+2y-1=0 B. 2x+y-1=0C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0 这道题常见错误是：将直线x-2y+1=0中的x换成-x，故选A；原来直线与直线x=1时的交点

8、为（1，1），所求直线经过点（1，1）且与已知直线垂直，故得直线：2x+y-3=0 选C症状二：知识性失误文科考生知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力纠错良方：知识是能力的载体，基本知识和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞错因1 概念理解偏差例4某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：种子粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715则一粒种子发芽的概率为 错解种子粒数较

9、大时，误差较小，故该菜籽发芽的概率为：P=错因诊断随机事件在一次试验中发生的频率=，它随着试验次数的改变而改变，在大量重复试验 中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近一个常数，这个常数就是随机事件发生的概率正解我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别为：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905，随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动，故此种子发芽的概率为0.9错因反思当试验次数越来越大时，频率趋向于概率，但不是概率，而随机事件的概率应该是接近于频率各个值的一个常数，不能曲解“概

10、率”概念的本质纠错良方：掌握概念内涵，弄懂概念外延，准确把握，透彻理解错误档案：（1）若函数处的导数为A，且： = A，则：之值为（ ）A.A B.2A C. A D. -2A错误原因是对导数概念理解不清，即：(a)=（2）（2006年全国高考题）若x=，则（3x+2）10的展开式中最大项是（ ）由n=10，可知系数最大项为第6项，即：T6=525=8064，以上解法错误地理解为求“二项式系数最大的项”，而问题是求展开式中数值最大的项，从而导致概念错误错因二：运用结论致错例5（2007年重庆高考题）定义域为R的函数在（8，+）上为单调递减，且函数y=为偶函数，则（ ） B.C.D.错解根据y=

11、为偶函数，所以=，又令t=8+x， 代入=中得：=，所以函数是偶函数，再去选择答案时，发现不能确定对错错因诊断对偶函数的性质运用产生错误正解y=是偶函数，即y=关于直线x=8对称，又在（8，+）上为减函数，故在（-）上为增函数，检验知：选D纠错反思由为偶函数，则有=，而不是=，该题还可把y=向右平移8个单位得到y=图象，故y=的对称轴为X=8，从而得到的单调性纠错良方：产生因运用结论（定理、性质、公式、常用性结论）不当而致错的根本原因是：对相关结论成立的背景不熟，结论的变式理解不透，没能准确把握，似是而非，突破方法是：透彻理解，准确掌握，灵活运用，及时反思错误档案：（1）（2006年重庆高考题

12、）设函数=的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b之值？错解为：由(x)= =-11(x)=037依题意知：错误原因是：误把切点当极值点得到(1)=0这个结论，而应该是(1)=-12，联立可得a=1 b=-3（2）（2007辽宁高考题）设等差数列an的前几项和为Sn，若S3=9，S6=36，则：a7+a8+a9=（ ）A.63 B.45 C.36 D.27错解为：S3，S6，S9成等差数列，又S6-S3=27 ，S9=63 错选A或D，事实上：S3，S6- S3，S9- S6才是等差数列，S9- S6=45 选B错因3：知识变通性差例6（2007年湖北卷文）已知函数=2s

13、in2（）-cos2x，x，求的最大值和最小值？若不等式|2，在x，上恒成立？求实数m之取值范围？ 错解（1）=1+2sin（2x-）且x， 2x- ，max=1+，min=2；（2）由|-m|2-2m+2，其中x，-2m+2 即0m3+ 错因诊断若-2m+2恒成立，则-2m+2 正解 -1m4，即m取值范围为（-1，4） 错因反思考生不能针对-2m0）的因素关于原点对称，则y=的解析式为（ ）A.=(x0)B. =(x0） D.=-log2（ 0）得：=(x0）恒过点（1，0），所以y=f（x）恒过点（-1，0），所以选B错因诊断第一种解法没有真正理解对称的含义，不清楚利用图系变换去求函数表

14、达式的方法第二种解法主观臆断，以为只要恒过点（-1，0）的解析式即为所求正解：设y=f（x）上任一点p（x,y），由于p关于o对称的点p（-x,-y）在y=g（x）上，-y=log2（）即y=-log2（- x）这里-x0，x0，故=-log2 （）（x0）为所求故选D纠错反思解题必须有根有据，由似曾相识的结论去武断行事，缺乏推理盲目地套用，往往导致全盘皆输，所以数学解题必须理由充分，不能妄下结论纠错良方转化与化归是处理新问题的基本思路，但不是盲目套用经验，既要看清新题与陈题的相似之处，更要弄准其不同的地方，切不可见到一点类似，就去直接套用老方法解，而应该从不同处去理性地探讨问题，确保有理有据

15、。错题档案（2007全国高考题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期六参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期天各有1人参加，则不同的选派方法有（ ）。A.40种 B.60种C.100种 D.120种错误解法有：从5个同学中选4人有种方法，从4个同学中选2人有种方法，共有参赛方案：=40种，选A。从5个同学中选4人有种选法。从4个同学中选2人有种选法，共有=30种，无答案显然，第一种解法只考虑学生参与情况，这是不合理的。第二种解法只选出2个学生周五，而另外2人未安排，故不合题意正确解法是：=60（种），答案为B错因三：思维不严所致例9（2006年上海高考题）在平面直

16、角坐标系xoy中:直线L与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：“如果直线L过点T（3.0），那么=3”是真命题错解：设直线L的方程为：y=k(x-3)与抛物线y2=2x联立，消去y得：Ky2-2y-6k=0，令A（x1, y1）,B（x2,y2），则y1y2=-6，而X1=y12，X2=y22，所以= X1X2+y1y2=(y1y2)2+ y1y2=3，故命题是真命题错因诊断直线的倾斜角永远存在，但斜率却不一定存在，因此涉及到直线问题一般要分斜率K存在与不存在二种情况去分类讨论正解：当斜率存在时，同上；当斜率不存在时：直线L的方程为X=3，此时直线L与抛物线y2=2x相交于A（3，）， B

17、（3，）于是：=33+（-）=3综合可知：此命题为真命题纠错反思许多考题求解的思路不难，但解题对某些特殊情形的讨论，却容易被忽略。也就是在转化过程中，若不注意转化的等价性，会经常出现错误，所以加强思维的严密性训练非常重要纠错良方：数学是一门严密的思维科学，数学试题中常出现一些巧设圈套的题目，部分误入圈套的考生由于思维不严密，考虑问题不全面导致失分,因而考生在关注细节的同时，应反省思考是否缜密，推理是否严密错误档案（2007年全国高考题）（1+2x2）（1+）8的展开式中常数项为 （用数学作答）错解为：（1+2x2）（1+）8=（1+）8+2x2（1+）8， 所以常数项只在（1+）8中才有，而（

18、1+）8展开式中常数项为1，所以答案为1此法错误原因为误认为2x2（1+）8没有常数项，实际上2x2与（1+）8中的项相乘就是常数症状四：解法性失误解题策略（方法）是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法选择是否恰当，是客观反映学生数学素养的具体体现；许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误纠错良方第一要增强灵活运用数学思想方法解题的应用意识，第二是进一步优化解题基本通法的归纳和总结，第三，要强化价值观念、合理优化解法错因1：计算推理错误例10（2006年上海春招卷）数列an中，a1=2，Sn=4an+1+1，nN*，求数列an的前几项和Sn。错解Sn=4an+1+1，

19、Sn-1=4an+1，于是Sn-Sn-1=4an+1-4an，即：an=4an+1-4an，an+1= an，故an是以a1为首项，公比为的等比数列，于是Sn= =8-8错因诊断公式an=sn-sn-1（n）体现了数列的通项an与其前n项和sn间的关系，解题时要特别注意公式成立的条件“n”正解令n=1，s1=4a2+1，得a2=，即a2=a1，由知当n于是sn=a1+（a2+a3+an）=2+ =+1错因反思考生在计算推理过程中，粗心大意，以偏概全，盲目推出结论而没有顾及计算推理的特殊条件纠错良方运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式的组合变形与分解变形，对几何图形各量的计算求解等，除了计

20、算数据小心仔细外，千万不能忘记运用计算公式的约束条件。错误档案（2007全国）设锐角ABC的内角A、B、C之对边分别a、b、c，且a=2bsinA，求角B之大小求cosA+sinC之取值范围第一问运用正弦定理，易知sinB=， B=；第二问易出错之处为： 由cosA+sinC=cosA+sin（-A） =sin（A+），由ABC为锐角，0A，于是sin（A+）1， cosA+sinC其实：这里角A范围应为：A0）上一定点M（x0，y0）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2），当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则： =（ ）A. 4 B. -4 C.2 D.

21、-2错解KmA=且KmB=，而直线MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，KmA+KmB=+ = 0，如何由上式求出=？因太繁琐而放弃求解错因诊断此思路易想但离结果太远，因而这种解法不可取，应另辟途径正解 2=2p，=，同理：=，x2=，代入+ =+=0，=- ，即=-2，故选D错因反思在高考中，解题过程的繁琐，不仅会造成错解，更是“潜在失分”，即使没有做错，也由于耽误了时间，影响其它题的得分，因此必须重视解法的选择，合理选取简捷方法纠错良方首先要熟练掌握每一类题型的解题通法，这是高考考查热点，其次平时在解题时要有意识地一题多解，通过比较找准最简单易求的方法，烂熟于心，第三，临场时要认真审题，回顾比

22、较才能精选优法。错误档案（2007年合肥联考）已知等差数列5，8，11，与3，7，11均有100项，问有多少个数同时在这两个数列中出现？错误处理方法为：第一个数列an通项公式为：an=3n+2；第二个数列bn通项公式为：bn=4n-1。令：an=bn，则3n+2=4n-1，n=3，即只有一项 a3=b3=11，同时在两个数列中出现显然，这个结论是错误的原因是设an=bn不妥当，因为一个数同时在两个数列中出现时，该数在两个数列中的位置未必相同正解为：对于an=3n+2（1），bk=4k-1（1），令an=bk， 3n+2=4k-1，k=，设n+1=4t（tN*） n=4t-1 k=3t又由 1n

23、，k 1t25，即有25个数同时在两个数列中出现错因3：答题不合规范例12如图三梭锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，O为BC中点，证明：SO平面ABC，求二面角A-SC-B之余弦值？错解(I)由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，ABC为等腰Rt，所以：OA=OB=OC=SA，且AOSBC为等腰，故SOSA，从而OA2+SO2=SA2，所以AOS为直角三角形，SO，又AOBO=0，所以SO平面ABC(II)取SO中点M，连结AM、OM，由（I）知：SO=OC，SA=AC，得OMSC，AMSC，且SO平面SBC，所以AOSBC中，OM=BC，在ABC中，OA=AC，且

24、AC=SC，所以：tanOMA=1，其余弦值为错因诊断该解法错误之处在于题目中边角关系过多，没有理顺，特别是把SBC当作等腰直角三角形，致使计算“在SBC中，OM=SC”出现错误正解（II）所以AOOM，又AM=SA，故sinAMO=，所以二面角A-SC-B之余弦值为错因反思叙述要去粗取精，突出思路，紧扣定理应用，做到详略得当纠错良方答题不规范，直接影响得分高低，突破方法是对照高考标准答案，学标答的叙述过程及思路，重点关注如下几点：1、叙述必须从条件出发，然后去展开2、答题叙述必须能展示完整解题思路3、每步书写必须给出定理和重要结论的应用过程4、叙述要详细得当，该推理处重推理，该计算处重计算平

25、时必须有意识地训练叙述，逐渐规范答题错误档案（2007年北京高考题）如图，在RtAOB中，斜边AB=4，RtAOC可以通过RtAOB，以直线AO为轴旋转得到且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，求证：平面COD二面角B-AO-C是直二面角COBO，又COAO，CO平面AOB，又CO在平面COD内，平面COD平面AOB该证明过程在应用“二面角B-AO-C是直二面角”时，未详细论述二面角的平面角是什么，而直接得到结论“COBO”，跨度过大，线面垂直时，要把平面的两条相交直线说清楚，显然条件“AOBO=O”未罗列，故易失分以上列举的四类症状是考生在学习和考试中经常遇到的，也是同学们失分

26、频率较高的地方，因此在平时的复习和解题中要处处留心，针对性地加以训练，尽量避开这些误区，努力考出自己的最优成绩！2008年高考试题预测例1 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanA=2，求CosA，若=4，且b+c=8，求a点拨（1）由题意：tanA=2易得CosA=又由tanA0A为锐角，所以CosA=（2）因为= CosA=4，即：bcCosA=4，bc=12 于是：故三角函数问题的设计，一般是比较简单的，三角函数与向量综合，与三角形的问题连接，与实际应用性问题的“交汇”，依旧是高考命题的重点区域；在高考中，随着平面向量的增加，解三角形的问题已逐步由不一定考变成了必考，由

27、以小题形式出现变成考大题，这一点值得考生重视！例2一个透明的口袋内装有分别写着“08”、“奥运”且大小相同的球共7个，已知从中摸出2个球都是写着“奥运”的概率为，甲、乙两个小朋友做游戏采用不放回从袋中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再做，直到两个小朋友中有1人取得“奥运”时游戏终止，每个球在每一次被取出的机会均相同。（1）求该口袋内装有写着“08”的球的个数；（2）求当游戏终止时总取球次数不多于3的概率点拨（1）设该口袋内装有写着“08”的球的个数是n，依题意得，由此解得，则该口袋内装有写着“08”的球的个数是4，（2）当游戏终止时总取球次数是1的概率等于，当游戏终止时总取球次数是1的概

28、率等于，当游戏终止时总取球次数是3的概率等于，因此当游戏终止时总取球次数不多于3的概率等于有关概率应用问题是近几年高考中的必考题，背景往往贴近现实生活，有可能成为08高考的一个新热点。解答时，应当抓住主要信息，建立对应的问题模型，特别要分清相关事件间的关系，再恰当地利用排列组合知识解决问题例3如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，平面ABCD，且E是BC的中点，四面体PBCA的体积为，（1）求异面直线AE与PC所成角的余弦值；（2）求点D到平面PBA的距离；（3）棱PC上是否存在点F，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由点拨（1）过C作交AD于G，连结PG，则PCG为异面直线AE与

29、PC所成的角，在中易求：，即异面直线AE与PC所成角的余弦值为；（2）过D作交BA延长线于O，平面柱体与锥体是最重要的几何体，因此，在这两种几何体中考查线面关系、距离、体积与面积等仍是高考的主要内容：本题主要考查两异面直线所成的角、线面垂直、点到平面的距离，第（3）问是一个开放性问题，探讨点F的存在性，图形载体选择学生熟悉的棱锥，便于直观表达，特别是对文科考生，解答此题需要一定的逻辑推理、空间想象和运算等多方面的能力ABCD，平面PAB，由四边形AECG为正方形，可得点D到平面PBA的距离为；（3）设棱PC上存在F，满足题意，过D作于H，连结FH，由，知，即例4已知函数在处取得极值，（1）求a

30、、b满足的关系式；（2）解关于x的不等式；（3）当时，对任意给定的、0，1，是否恒成立，如果是，请证明；如果不是，请说明理由点拨（1），即a、b满足的关系式是；（2）由得，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）由得 或，由得或，故在0，1上是减函数， 在0，1上的最大值是，最小值是，即恒成立利用导数解决三次的函数问题是最近几年文科高考中的必考内容，主要牵涉到极值点，切线，最值，恒成立问题，图象特征等等，三次函数以极值为背景用待定系数法确定表达式，借助导数研究其单调性，将不等式恒成立问题化归极值问题进行解决，揭示了函数和其导函数之间的相互依赖关系，是高考命题的热点，考生应从实例的

31、探究中去感悟导数的工具性和应用性，提高解决相关问题的能力例5已知：定义在（-1，1）上的函数满足：，对任意x，y（-1，1）都有，数列满足，设，（1）求证：函数是奇函数；（2）求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对任意，都有成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由。点拨（1）令，得，令，函数是奇函数；（2），由知，即是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有；（3）先求的表达式，若恒成立，则恒成立，当时，有最大值4，故，又，存在，使得对任意，都有成立抽象函数与数列的交汇命题已引起命题者的高度关注。本题将函数、数列、不等式有机地结合一起，对文科考生解决问题的能力要求较高，抽象函数研究

32、中注重使用对应法则的训练，注重数列方法的类化，必须学会处理问题的方式例6已知过椭圆右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数图象的一条对称轴方程是，（1）求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率，（2）对于任意一点，试证：总存在角使等式：成立点拨（1）因为函数图象的一条对称轴方程是，所以对任意的实数x都有，取得，整理得，于是椭圆C的离心率，由知，椭圆C的方程可化为， 又椭圆C的右焦点F为，直线AB的方程为， 代入展开整理得：， 设，弦AB的中点，则是方程的两个不等的实数根，由韦达定理得， ，于是直线ON的斜率（2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理知，对于这

33、一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由（1）中各点的坐标可得：，又，代入式得：，展开整理得：， 由和得：又A、B两点在椭圆上，故有，代入式化简得：，由圆的参数方程可知，总存在角使等式成立 即成立综合上述对于任意一点，总存在角使等式恒成立。对于解析几何，要理解圆锥曲线的定义（第一、第二定义）、有关的概念及性质（焦点弦公式、中点弦性质等）、方法（设而不求、点差法等）和a、b、c等的代数关系和在图象上的反映，而这种题型将以直线和圆锥曲线相结合，以证明、探求圆锥曲线的有关性质，求相关参数的值为设问方式，重点考查直线和圆锥曲线的方程和性质有以及运算能力，在分析运算条件、探求运算方向、选择运算方式、确定运算程序、调整运算策略等方面都有较高的要求，文科可能将以此为压轴题