第四章：根轨迹分析法优秀PPT.ppt

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1、第四章：根轨迹分析法第一页，本课件共有101页24.1根轨迹的概念根轨迹图 根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在s平面上的分布情况。第二页，本课件共有101页3解 系统的闭环传递函数系统的特征方程为特征方程的根是设 的变化范围是0,，当 时,;当 时，与 为不相等的两个负实根；当 时，为等实根；第三页，本课件共有101页4当1 时，为一对共轭复根，其实部都等于-1，虚部随 值的增加而增加；当 时，、的实部都等于-1，是常数，虚部趋向无穷

2、远处。该系统特征方程的根随开环系统参数 从零变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。第四页，本课件共有101页5图4-1例4-1的根轨迹第五页，本课件共有101页6当系统参数 为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，就需要大量反复的计算。1

3、948年伊万斯（WREVANS）解决了这个问题，提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。第六页，本课件共有101页74.2绘制根轨迹的规则一、绘制根轨迹的依据在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为 第七页，本课件共有101页8当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成 式中，为已知的开环零点，为

4、已知的开环极点，为可从零变到无穷大的开环根轨迹增益。上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当 由零变到无穷大时系统的根轨迹。在绘制根轨迹时，可变参数不限定是根轨迹增益 ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣的系统参数取代根轨迹增益 的位置都可以绘制根轨迹。第八页，本课件共有101页9 根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式表示 由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件：相角条件：第九页，本课件共有101页10设系统的开环传递函数为满足幅值条件的表达式为或 满足相角条件的表达式为第十页，本课件共有101页11二、绘制根轨迹

5、的基本规则通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：1.根轨迹的起点与终点；2.根轨迹的分支数、连续性和对称性；3.实轴上的根轨迹；4.根轨迹的渐近线；5.根轨迹在实轴上的分离点与会合点；6.根轨迹的出射角和入射角；7.根轨迹与虚轴的交点。第十一页，本课件共有101页12 规则一 根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成 当 ，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 。当 时，必须有 ，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的

6、终点，它对应于开环根轨迹增益。第十二页，本课件共有101页13 下面分三种情况讨沦。1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。第十三页，本课件共有101页14结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点（)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n

7、条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。第十四页，本课件共有101页15规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。系统开环根轨迹与复变量s有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的

8、曲线。第十五页，本课件共有101页16例4-3 设系统的开环传递函数为 其中 、为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即 规则三 实轴上的根轨迹若若实实轴轴上上某某线线段段右右侧侧的的开开环环零零、极极点点的的个个数数之之和和为为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。第十六页，本课件共有101页17图4-4 实轴上的根轨迹 选择so作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为开环零点到s0点的向量的相角为 在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑复数开

9、环零、极点对相角的影响。实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为180o。若s0为根轨迹上的点，必满足 结论：只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0131424323第十七页，本课件共有101页18 规则四 渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置 和

10、与实轴正方向的交角 分别为第十八页，本课件共有101页19在例4-1中，开环传递函数为 开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为 和 ，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。第十九页，本课件共有101页20例4-2已知系统的开环传递函数为试画出该系统根轨迹的渐近线。解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与 实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是 渐近线如图4-3所示。第二十页，本课件共有101页21图4-3根轨迹的渐近线第二十一页，本课件共有101页22规则五 根轨迹的分离点与会合点 若若根根轨轨迹迹位位于于

11、实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限极极点点），则则在在这这两两个个极极点点之之间间至至少少存存在在一一个个分分离离点点；若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限零零点点），则则在在这这两两个个零零点点之间也至少有一个分离点。之间也至少有一个分离点。第二十二页，本课件共有101页规则五 根轨迹的分离点与会合点重根法极值法1）写出系统的闭环特征方程2）改写成以s为自变量，Kg为函数的方程3）求dKg/ds，并令其等于0，求解方程即得分离点PP.147例4-6切线

12、法牛顿余数定理法一求二估三除PP.150例4-9,4-1023第二十三页，本课件共有101页24规则六 出射角与入射角当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的初射角和入射角问题,先给出定义如下：出射角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的 和 。入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的 和 。第二十四页，本课件共有101页25图4-8(a)根轨迹的出射角第二十五页，本课件共有101页26图4-8(b)根轨迹的入射角第二十六页，本课件共有101页

13、27通过例4-5来分析出射角与入射角的大小。例4-5 已知系统的开环传递函数为 且p1和p2为一对共轭复数极点，p3和 z1分别为实极点和实零点，它们在s平面上的分布如图4-9所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1和p2 的出射角 和 。第二十七页，本课件共有101页28图4-9出射角的求取对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得 由于A点无限靠近 点，推广为一般情况可得求出射角的关系式为同理，可得到求入射角的关系式为pp.152例4-11第二十八页，本课件共有101页29规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用 代入特征

14、方程可得 即由此可得虚部方程和实部方程为 解虚部方程可得角频率 ，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用 代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。第二十九页，本课件共有101页30例4-6 试求出例4-4中根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值 。解 由例4-4知系统的开环传递函数为其特征方程是令 并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为第三十页，本课件共有101页31 解虚部方程得 由于 不是根轨迹上的点，应舍去.故 为根轨迹与虚

15、轴的两个交点。将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。系统的根轨迹如图4-10所示。当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值 和根轨迹与虚轴的交点 。第三十一页，本课件共有101页32图4-10根轨迹与虚轴的交点js1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKjrKdsrK)60(3.3=rcK-j第三十二页，本课件共有101页33 以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点（开环极点 )用符号“”标示；根轨迹的终点(开环零点 )用符号“o”标示。根轨迹由起点到终点是随系统开环

16、根轨迹增益 值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。要标出一些特殊点的 值，如起点（)，终点（)；根轨迹在实轴上的分离点d()；与虚轴的交点 （）。第三十三页，本课件共有101页34例4-7已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图。解 该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s平面上。三、绘制根轨迹图示例由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 由于没有开环零点（m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。第三十四页，本课件共有101页35 当k=0时 当k=1时 当k=2时 由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的

17、交点位置和它们与实轴正方向的交角。第三十五页，本课件共有101页36 由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上 到 的线段和由 至实轴上负无穷远线段。由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为 。无复数开环极点和零点，不存在出射角和入射角。第三十六页，本课件共有101页37解虚部方程得其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值 。绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的 开环根轨迹增益的临界值 。用 代入特征方程得第三

18、十七页，本课件共有101页38图4-11例4-7系统根轨迹图第三十八页，本课件共有101页39解 是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零 点 和 一 对 开 环 共 轭 复 数 极 ,根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。由规则五知，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是第三十九页，本课件共有101页40 即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 。由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点

19、）的出射角。第四十页，本课件共有101页41证明 已知系统的开环零点和极点分别为 ，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s、和 代入得 即应用三角公式为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点 的圆弧。第四十一页，本课件共有101页42 将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。第四十二页，本课件共有101页43图4-12例4-8系统的根轨迹图第四十三页，本课件共有101页44由本例不难发现，由两个开环极

20、点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。将上例与图例比较第四十四页，本课件共有101页45例4-9已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。解 由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为 由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。由规则三知，4条根轨迹的起点分别是系统的

21、4个开环极点,即 ，。由于系统无有限开环零点（m=0），4条根轨迹的终点 均在S平面的无穷远处（无穷零点）。第四十五页，本课件共有101页46渐近线与实轴正方向的交角为 当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为第四十六页，本课件共有101页47由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是 即 解方程得到由规则七可求出复数极点 和 的出射角第四十七页，本课件共有101页48 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困难。下面采用劳斯判据求

22、出 和 的值。根据系统的特征方程列出劳斯表如下：16440500 令劳斯表中 行的首项系数为零，求得 ，由 行系数写出辅助方程为 令 ，并将 代入辅助方程可求出 。系统的根轨迹如图4-13所示。第四十八页，本课件共有101页490图4-13例4-9系统的根轨迹图第四十九页，本课件共有101页504.3参数根轨迹前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益 为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹

23、叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。第五十页，本课件共有101页51例4-10已知系统的开环传递函数为试绘制以时间常数T为可变参数的根轨迹。解系统的特征方程或用除等式两边得第五十一页，本课件共有101页52令（4-35）则有（4-36）称为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹。第五十二页，本课件共有101页53系统特征方程的最高阶次是3，由规则一和规则二知，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=)是等效开环传递函数的

24、三个零点，即；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即mn。在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。第五十三页，本课件共有101页54与nm情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。因此，本 例 的 三 条 根 轨 迹 的 起 点(T=0)分 别 为，和无穷远处（无限极点）。由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-线段。由规则六可求出两个出射角分别为第五十四页，本课件共有101页55由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用 代入特征方程得由此得到虚部方程和实部方程分

25、别为解虚部方程得的合理值为，代入实部方程求得秒，所以为根轨迹与虚轴的两个交点。第五十五页，本课件共有101页56图4-14例4-10系统的根轨迹图第五十六页，本课件共有101页57由根轨迹图可知，时间常数秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益对系统性能的影响是很方便的。由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤：先根据系统的特征方程求出系统的等效开环传递函数，使与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即第五十七页，本课件共有101页58其中为除开环根轨迹增益以外的任何参数，它是绘制参数根轨迹的可变参数

26、。根据绘制普通根轨迹的七条基本规则和等效开环传递函数绘制出系统的参数根轨迹。（4-37）（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）第五十八页，本课件共有101页594.4线性系统的根轨迹分析法自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶系统是很困难的。第五十九页，本课件共有101页60根轨迹法

27、是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。第六十页，本课件共有101页61例4-13已知单位反馈系统的开环传递函数为试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比时系统的动态性能指标。解先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹

28、的基本规则绘制出系统的根轨迹图。系统的特征方程是或第六十一页，本课件共有101页62由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹，起点分别是系统的四个开环极点，即，；且四条根轨迹都趋向无穷远处。由规则三知实轴上的根轨迹是由0至-1线段和由-2至-3线段。由规则四可求出四条渐近线与实轴的交点为-1.5，它们与实轴正方向的夹角分别是和。由 规 则 六 可 求 出 根 轨 迹 与 实 轴 的 两 个 交 点（分 离 点）分 别 为 ，。第六十二页，本课件共有101页63由劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点，先根据特征方程列出劳斯表1116601000由行的首项系数求得，用和代入行辅助方程得到根轨迹与

29、虚轴的交点为。绘制出根轨迹的大致图形如图4-18所示。第六十三页，本课件共有101页64图4-18例4-13的根轨迹图第六十四页，本课件共有101页65系统稳定性分析由根轨迹图知，有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点，且交点处对应的临界开环根轨迹增益。由开环根轨迹增益与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数系统动态性能指标首先求出满足阻尼比时系统的主导极点的位置（假定、满足主导极点的条件）。方法是作等阻尼比线oA，使oA与实轴负方向的夹角第六十五页，本课件共有101页66等阻尼比线oA与根轨迹的交点即为满足阻尼比系统的一个闭环极点（即系统特征方程

30、的一个根）。测得在s平面上的坐标位置为,由根轨迹的对称性得到另一共轭复数极点为。由幅值条件可求出闭环极点所对应的系统开环根轨迹增益为将、和代入特征方程，由根和系数之间关系很容易得到另外两个闭环极点、，它们也是一对共轭复数极点由此可计算出第六十六页，本课件共有101页67共轭复数极点与虚轴的距离是共轭复数极点与虚轴的距离的九倍，且闭环极点附近无闭环零点，这说明、满足主导极点的条件。该系统可近似成由闭环主导极点构成的一个二阶系统，其闭环传递函数为此时对应的系统开环放大系数第六十七页，本课件共有101页68过渡过程时间超调量峰值时间由此可求出系统的各项动态指标如下：第六十八页，本课件共有101页69

31、根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益 为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益 如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益 的临界值 。这为分析和设计系统的稳定性提

32、供了选择合适系统参数的依据和途径。通过上面的示例可以将用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：第六十九页，本课件共有101页70根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法（如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小

33、于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。第七十页，本课件共有101页71二.附加开环零、极点对根轨迹的影响1.附加开环零点对根轨迹的影响例4-14已知系统的开环传递函数为（a0）试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。解原系统的根轨迹如图4-19所示。由于根轨迹的两条分支全部位于s平面的右半部，故该系统无论为何值都是不稳定的。第七十一页，本课件共有101页72图4-19原系统的根轨迹第七十二页，本课件共有101页73若给原系统增加一个负开环实零点（b

34、0），则开环传递函数为当ba时，根轨迹渐近线与实轴的交点为，它们与实轴正方向的夹角分别为90和-90，三条根轨迹均在s平面左半部（如图4-20（a）所示）。这时，无论根轨迹增益为何值，系统都是稳定的。当ba时，根 轨 迹 的 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点 为 ，根轨迹如图4-20（b）所示，与原系统比较，虽然根轨迹的形状发生了变化，但仍有两条根轨迹全部位于s平面右半部，系统仍然是不稳定的。第七十三页，本课件共有101页74图4-20(a)附加开环零点对根轨迹的影响第七十四页，本课件共有101页75图4-20(b)附加开环零点对根轨迹的影响sjs1P2P3P1Z)0(=rK2ab-b-a-

35、ba0第七十五页，本课件共有101页76由上面的分析可以看出，附加开环零点可使原来不稳定的系统变成稳定系统，但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的。例4-15已知系统的开环传递函数为试分析附加开环零点对系统性能的影响。解原系统的根轨迹如图4-21所示，由图4-21可看出，当系统开环根轨迹增益时，该系统有两条根轨迹进入S平面右半部成为不稳定系统。第七十六页，本课件共有101页77图4-21例4-15原系统根轨迹第七十七页，本课件共有101页78给原系统增加一附加负实零点（），系统的开环传递函数为此时，开环传递函数分子与分母的最高阶次分别为n=3，m=1；n-m=2。因此根轨迹渐近线与实轴

36、正方向的夹角分别为90和-90，两条渐近线垂直于实轴，它们与实轴的交点坐标位置视附加零点的取值而改变，分别讨论如下。第七十八页，本课件共有101页79（）当时，渐近线与实轴的交点渐近线位于S平面右半部，根轨迹如图4-22（a）所示。比较原系统的根轨迹（图4-21），虽然右边两条根轨迹形 状 发 生 了 变 化，但 它 们 仍 进 入 了 平 面 右 半 部，当 时(为增加了开环零点后的开环根轨迹与虚轴交点对应的临界值)，系统仍是不稳定的系统。第七十九页，本课件共有101页80图4-22(a)例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响第八十页，本课件共有101页81（）当时，渐近线与实轴的交点渐

37、近线位于S平面左半部，根轨迹如图4-22（b）所示。此时系统的三条根轨迹全部位于S平面左半部，无论为何值，系统都是稳定的系统。（）当时，渐近线与实轴的交点也小于零，根轨迹如图4-22（c）所示。第八十一页，本课件共有101页82图4-22(b)例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响第八十二页，本课件共有101页83图4-22(c)例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响第八十三页，本课件共有101页84比较图4-22（b）和4-22（c）会发现，前者的渐近线离虚轴的距离较后者近。因此，虽然从系统的稳定性角度看，二者是一样的，即无论为何值系统都是稳定的。但从简化系统以便于分析系统的瞬态性能

38、的角度看，条件（）所对应的图4-22（b）则优于条件（）所对应的图4-22（c）。这是因为图4-22（b）右边两条进入复平面的根轨迹离虚轴较近，容易在其上面找到一对满足主导极点条件的共轭复数极点（对应），这时便可将系统简化成闭环传递函数为的二阶系统，而图4-22（c）所示系统不能满足这样的简化条件。第八十四页，本课件共有101页85 如图4-22（c）所示，如果 、分别为对应的系统参数 的三个闭环极点，由于 ，共轭复数极点 、不满足主导极点条件，系统不能简化成二阶系统。但如果在图4-22（c）中，闭环实极点 到虚轴的距离比闭环共轭复数极点 到虚轴的距离小五倍以上，也可将系统简化为由闭环实极点

39、决定的一阶系统。综上分析，我们可以得到如下两点结论：第八十五页，本课件共有101页86附加负实零点具有将S平面上的根轨迹向左“拉”的作用，且附加零点愈靠近虚轴，这种“拉力”愈强，反之亦然。因此选择合适的附加零点有可能将系统的根轨迹从平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系统的稳定性。适当选择附加零点的大小，不仅可改善系统的稳定性，还可改善系统的动态性能和简化系统分析。如上例中满足条件（）的附加零点可使三阶系统简化成由主导极点、所确定的二阶系统，适当选择附加零点的大小，就可以使由、所确定的二阶系统满足响应速度和阻尼比的要求，这在工程实践上是很有用的。第八十六页，本课件共有101页87例

40、4-16已知系统的开环传递函数为（a0）其中为附加开环极点，试分别绘制原系统（无附加开环极点）和a=0.5、a=2和a=6时系统的根轨迹图。2附加开环极点对根轨迹的影响增加开环极点会使系统的阶次升高，一般来说这是不希望的。但有时为了改善系统的某项性能指标（如限制频带宽度或减小稳态误差），附加开环极点也不失为一种有效途径。下面通过一个示例分析附加开环极点对根轨迹的影响。第八十七页，本课件共有101页88解根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则，将无附加开环极点的原系统和不同附加开环极点（不同a值）所对应的根轨迹的有关数据的计算结果列入表4-1中其对应的根轨迹图分别如图4-2（a）、（b）、

41、（c）、（d）所示。由四个根轨迹图可以看出，附加开环极点的大小不同（即不同的a值）对根轨迹的形状会产生很大的影响，即开环极点（同样也包括开环零点）在S平面上位置的微小变化，有可能引起根轨迹形状的重大变化，这一点务必给予足够的重视。正是这种根轨迹形状的变化为系统的分析和设计提供了多种选择的可能。第八十八页，本课件共有101页89表4-1例4-16计算结果a项目无附加开环极点a=0.5a=2a=6起点终点第八十九页，本课件共有101页90渐近线交点：交角：、交点：交角：、交点：交角：、交点：交角：、根 轨 迹 与实 轴 的 交点无实 轴 上 的根轨迹0-0-0.50-20-6出射角根 轨 迹 与虚

42、 轴 的 交点第九十页，本课件共有101页91图4-23(a)例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)第九十一页，本课件共有101页92图4-23(b)例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)第九十二页，本课件共有101页93图4-23(c)例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)j1第九十三页，本课件共有101页94图4-23(d)例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)第九十四页，本课件共有101页951.反馈控制系统的结构图所示，试画出闭环系统的根轨迹在 和 两种情况下的大致根轨迹，并分析系统的稳定性。课堂练习R(s)C(s)_第九十五页，本课件共有101页962.已知单

43、位负反馈系统的开环传递函数为要求（1）绘制系统的根轨迹，并由根轨迹分析系统的性能；（2）求出当时系统的单位阶跃响应，并说明响应有无超调。第九十六页，本课件共有101页971.解系统的开环传递函数为式中，当时，闭环特征方程为按相角条件绘制根轨迹。根轨迹分布在实轴上，第九十七页，本课件共有101页98当时，闭环特征方程为其幅值条件和相角条件与正反馈系统的相同，故应按零度根轨迹的规则作图。实轴上的根轨迹为，复平面上的根轨迹为一圆。根轨迹与虚轴的交点及交点处的值可由劳斯判据求得。第九十八页，本课件共有101页99第九十九页，本课件共有101页1002.系统的根轨迹在复平面上的一部分是一个以有限零点-1为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的圆，分离点的坐标为，与它们对应的值为可由根轨迹分析系统的稳定性和振荡性。第一百页，本课件共有101页101时系统的闭环传递函数为对于单位阶跃函数，系统的输出响应为其拉氏反变换为系统的闭环极点为-2，-5。系统虽无振荡特性，但由于系统存在的零点，所以响应有超调现象。当时间为0.4秒时，超调量为40%。可由 求得 的最大值和对应的时间。第一百零一页，本课件共有101页