第六章 离散概率分布优秀PPT.ppt

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1、第六章第六章 离散概率分布离散概率分布2022/12/3商学院商学院1第一页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院2 第第6章章离散离散概率分布（Discrete Probability Distributions）第1节随机变量（random variable）第2节离散型随机变量的概率分布（Discrete Probability Distributions）第3节离散型随机变量的数学期望和方差（expected value and variance）第4节几种常用的离散型概率分布第二页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院3随机变量随机变量(random variab

2、les)一次试验的结果的数值性描述一次试验的结果的数值性描述一般用一般用 X，Y，Z 来表示来表示例如：例如：投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量根据取值情况的不同分为根据取值情况的不同分为离散型随机变量离散型随机变量（discrete random variables）和）和连续型随连续型随机变量机变量（continuous random variables）第三页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院4离散型随机变量离散型随机变量随随机机变变量量 X 取取有有限限个个值值或或所所有有取取值值都都可可以以逐逐个个列列举举出来出来 x1,x2，以确定的概率取这些不同的

3、值以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为0,女性为1第四页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院5连续型随机变量连续型随机变量可以取一个或多个区间中任何值可以取一个或多个区间中任何值 所所有有可可能能取取值值不不可可以以逐逐个个列列举举出出来来，而而是是取取数数轴上某一区间内的任意点轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电

4、子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X 00 X 100X 0第五页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院6离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(probability distribution)第六页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院7离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布列出离列出离散型随机变量散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值列出随机变量取这列出随机变量取这些值的概率些值的概率通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn

5、4.P P(X=x xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 p pi0；第七页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院8离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)【例例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表故障次数故障次数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1)(1)确定确定 的值的值 (2)(2)求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率 (3)(3)求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率 (4)(4)最多发生一次故障的概

6、率最多发生一次故障的概率 第八页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院9离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)解：解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1 所以，=0.30 (2)P(X=2)=0.35 (3)P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4)P(X1)=0.35+0.30=0.65第九页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院10离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望和方差和方差第十页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院11 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计

7、规律。但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便。已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高。如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断。第十一页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院125416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:第十二页，本课件共有

8、49页2022/12/3商学院商学院13 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值。由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值。这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念。第十三页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院14离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(expected value)离离散散型型随随机机变变量量X的的所所有有可可能能取取值值xi与与其其取取相相对对应应的的概概率率pi乘积之和乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散

9、型随机变量取值的集中程度记为记为 或或E(X)计算公式为计算公式为第十四页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院15所以A的射击技术较B的好。0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为第十五页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院16 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0。由数学期望无法判别两种手表的优劣。但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?第十六

10、页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院17分析原因：分析原因：A手表之所以优于手表之所以优于B手表手表,是因为是因为A手表的日走时较手表的日走时较B手表稳定。其日走时与其手表稳定。其日走时与其日平均误差的偏离程度小。日平均误差的偏离程度小。研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的。怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便;(4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便。第十七页，本课件共有49

11、页2022/12/3商学院商学院18离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(variance)随随机机变变量量X的的每每一一个个取取值值与与期期望望值值的的离离差差平平方方和和的的数学期望，记为数学期望，记为 2 或或D(X)描述离散型随机变量取值的分散程度描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为计算公式为方方差差的的平平方方根根称称为为标标准准差差(standard deviation)，记记为为 或或D(X)第十八页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院19离散型数学期望和方差离散型数学期望和方差(例题分析例题分析)【例例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有

12、次品的个数及概率如下表 次品数次品数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每每100100个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布 求该供应商次品数的数学期望和标准差求该供应商次品数的数学期望和标准差 第十九页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院20The probability distribution for damage claims paid by the Newton Automobile Insurance Company on collision insurance follows.payment050010003000

13、5000800010000probability0.850.040.040.030.020.010.01第二十页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院21a.Use the expected collision payment to determine the collision insurance premium that would enable the company to break even.b.The insurance company charges an annual rate of$520 for the collision coverage.What is the

14、 expected value of the collision policy for a policyholder?(Hint:It is the expected payments from the company minus the cost of coverage.)Why does the policyholder purchase a collision policy with this expected value?第二十一页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院22常用离散型概率分布常用离散型概率分布离散型离散型概率分布概率分布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布

15、泊松分布超几何分布超几何分布第二十二页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院23两点分布两点分布一个离散型随机变量一个离散型随机变量X只取只取0和和1两个可能的两个可能的值值它们的概率分布为它们的概率分布为 或或也称也称0-1分布分布第二十三页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院24两点分布两点分布(例题分析例题分析)【例例】已知一批产品的次品率为p0.04，合格率为q=1-p=1-0.04=0.96。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50 01 11

16、1x xP P(x x)第二十四页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院25二项试验二项试验(伯努利试验伯努利试验)二项分布与伯努利试验有关二项分布与伯努利试验有关贝努里试验满足下列条件贝努里试验满足下列条件一一次次试试验验只只有有两两个个可可能能结结果果，即即“成成功功”和和“失失败败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一一次次试试验验“成成功功”的的概概率率为为p，失失败败的的概概率率为为q=1-p，且概率，且概率p对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行试验是相互独立的，并可以重复进行n次次 在在n次次试试验验中中，“

17、成成功功”的的次次数数对对应应一一个个离离散散型型随随机变量机变量X X 第二十五页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院26例：例：1.1.独立重复地抛独立重复地抛n n次硬币，每次只有两个可能的结果：次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，正面，反面，如果是不放回抽样呢？2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：第二十六页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院27设设A A在在n n重贝努利试验中发生重贝努利试验中发生X X次，则次，则并称并称X X服从参数为服从参数为p p

18、的的二项分布二项分布，记，记推导：设Ai i=第i次A发生，先设n=3第二十七页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院28二项分布二项分布(Binomial distribution)重重复复进进行行 n 次次试试验验，出出现现“成成功功”的的次次数数的的概概率率分布称为二项分布，记为分布称为二项分布，记为XB(n，p)设设X为为 n 次次重重复复试试验验中中出出现现成成功功的的次次数数，X 取取 x 的概率为的概率为第二十八页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院29例：例：设有设有8080台同类型设备，各台工作是相互独立的，台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的

19、概率都是发生故障的概率都是0.010.01，且一台设备的故障能，且一台设备的故障能有一个人处理。有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由其一是由4 4个人维护，每人负责个人维护，每人负责2020台；台；其二是由其二是由3 3个人共同维护个人共同维护8080台。台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。维修的概率的大小。第二十九页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院30第三十页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院31 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上例：某人骑了自行车

20、从学校到火车站，一路上 要经过要经过3 3个独立的交通灯，设各灯工作独个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且立，且设各灯为红灯的概率为设各灯为红灯的概率为p p，0p10p1，以以Y Y表示一路表示一路上遇到红灯的次数。上遇到红灯的次数。(1)(1)求求Y Y的概率分布律；的概率分布律；(2)(2)求恰好遇到求恰好遇到2 2次红灯的概率。次红灯的概率。解：这是三重贝努利试验 第三十一页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院32 例：某人独立射击例：某人独立射击n n次，设每次命中率为次，设每次命中率为p p，0p10p20，np5时，近似效果良好第四十一页，本课件共有49页2022/1

21、2/3商学院商学院42例：例：一个由一个由500人组成的团体，其中恰好有人组成的团体，其中恰好有X个人个人在元旦过生日的可能性有多大？在元旦过生日的可能性有多大？X 二项 泊松00.253630.25413210.3484270.34813620.238850.23845630.1089370.10888740.0371890.03729150.0101360.01021760.0022980.00233370.0004450.000457第四十二页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院43第四十三页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院44几何分布几何分布几何分布几何分布

22、（Geometric distribution）是离散）是离散型概率分布。其中一种定义为：在第型概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：率。详细的说，是：n次伯努利试验，次伯努利试验，前前n-1次皆失败，第次皆失败，第n次才成功的概率。次才成功的概率。第四十四页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院45例:袋中有红球袋中有红球,黄球黄球,蓝球各一个蓝球各一个.从中有放回地每次从中有放回地每次任取一个任取一个,直到取到红球为止直到取到红球为止.试求取球次数试求取球次数X的的概率分布概率分布,以及第以及第4次首

23、次取到红球的概率次首次取到红球的概率第四十五页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院46超几何分布超几何分布(hypergeometric distribution)采采用用不不重重复复抽抽样样，各各次次试试验验并并不不独独立立，成成功功的的概概率率也互不相等也互不相等总总体体元元素素的的数数目目N很很小小，或或样样本本量量n相相对对于于N来来说说较较大大时时，样样本本中中“成成功功”的的次次数数则则服服从从超超几几何何概率分布概率分布概率分布函数为概率分布函数为第四十六页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院47超几何分布超几何分布(例题分析例题分析)【例例例例】假假定定

24、有有1010支支股股票票，其其中中有有3 3支支购购买买后后可可以以获获利利，另另外外7 7支支购购买买后后将将会会亏亏损损。如如果果你你打打算算从从1010支支股股票票中中选选择择4 4支支购购买买，但但你你并不知道哪并不知道哪3 3支是获利的，哪支是获利的，哪7 7支是亏损的。求：支是亏损的。求：(1)(1)有有3 3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？支能获利的股票都被你选中的概率有多大？(2)3 (2)3支可获利的股票中有支可获利的股票中有2 2支被你选中的概率有多大？支被你选中的概率有多大？解：解：解：解：设设N N=1010，MM=3=3，n n=4=4第四十七页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院48预习预习P85-96 3.2.5-3.2.6概率密度函数与连续型随机变量概率密度函数与连续型随机变量第四十八页，本课件共有49页2022/12/3商学院商学院49第四十九页，本课件共有49页