《第九节 函数与方程》教案.doc

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1、第九节函数与方程适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点1. 方程的根与函数零点的关系2. 函数零点的判断方法3. 二分法的概念4. 用二分法求函数零点问题5. 函数零点个数问题6. 函数与方程的综合问题教学目标1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.教学重点函数的零点及二分法教学难点函数的零点及二分法教学过程一、课堂导入前面我们复习了函数有关的性质及几种常的函数，也研究过方程有关的问题那么，函数与方程之间有什么联系呢？今天我们就来研究这个话题二、复习预习1. 函数

2、图像的作法2. 函数图像的变换三、知识讲解考点1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个考点3二分法的定义对于在区间a，b上连续不断

3、且f(a)f(b)0，fe43e10，因此函数f(x)ex4x3的零点不在区间上；对于B，注意到f0，fe43e2420，因此在区间上函数f(x)ex4x3一定存在零点；对于C，注意到f0，f(0)20，因此函数f(x)ex4x3的零点不在区间上；对于D，注意到f(0)20，fe43e40，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，g(x0)x02.【例题2】【题干】已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(x1)ln x的零点个数为()A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】依题意得，当x10，即x1时，f(x)1ln x，令f(x)0得xe1；当x10

4、，即x1时，f(x)0ln 10；当x10，即x1时，f(x)1ln x，令f(x)0得x0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根【解析】(1)法一：g(x)x22e，等号成立的条件是xe，g(x)的值域是2e，)因而只需m2e，则yg(x)m就有零点法二：作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，

5、最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)【例题4】【题干】 (2012福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_【答案】【解析】由定义可知，f(x)(2x1)*(x1)即f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，x2xm，即x2x

6、m0，x2x31，0x2x32，即0x2x3；当x0时，由得x，x10.0x1.0x1x2x3.x1x2x31时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.2函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，所以f(0)f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)3已知函数f(x)xlog3x，若x0是函数yf(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A恒为正值 B

7、等于0C恒为负值 D不大于0解析：选A注意到函数f(x)xlog3x在(0，)上是减函数，因此当0x1f(x0)，又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)0，所以f(x1)0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.【巩固】4定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 012xlog2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 012xlog2 012x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.答案：35

8、已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x2.若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围为_解析：依题意得f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数g(x)f(x)kxk在区间1,3内有4个零点，即函数yf(x)与yk(x1)的图象在区间1,3内有4个不同的交点在坐标平面内画出函数yf(x)的图象(如图所示)，注意到直线yk(x1)恒过点(1,0)，由图象可知，当k时，直线与曲线yf(x)在区间1,3内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：【拔高】6若函数F(x)|4xx2|a有4个零点，求实

9、数a的取值范围解：若F(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.则作出g(x)的图象，由图象可知要使|4xx2|a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，0a4，即4a0，a的取值范围为(4,0)7设函数f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若关于x的函数F(x)g(x)f(x)m在1,2上有零点，求m的取值范围解：法一：令F(x)0，即g(x)f(x)m0.所以有mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2log2.1x2，32x15.，1.log2log2log

10、2，即log2mlog2.m的取值范围是.法二：log2(2x1)mlog2(2x1)log2(2x1)log22m(2x1)2x12m(2x1)2x(12m)2m1,2x，即xlog2.1x2，1log22.24，解得2m，即log2mlog2.m的取值范围是.课程小结1对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫作函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值4要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断