1990-2009数学二历年考研真题(1990-2009).pdf

《1990-2009数学二历年考研真题(1990-2009).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1990-2009数学二历年考研真题(1990-2009).pdf（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上. ）（ 1）设2(1)( )lim1nnxf xnx, 则( )fx的间断点为x. （ 2）设函数( )y x由参数方程333131xttytt确定 , 则曲线( )yy x向上凸的x取值范围为_. （ 3）121dxx x_. （ 4）设函数( ,)zz x y由方程232xzzey确定 , 则3zzxy_. （ 5）微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为 _. （ 6）设矩阵210120001A, 矩阵B满足2ABABAE, 其中A为A的伴随矩阵, E是单位矩

2、阵 , 则B_-. 二. 选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7） 把0 x时的无穷小量20cosxt dt, 20tanxtdt, 30sinxt dt排列起来 , 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A）,.（ B）,.（ C）,.（D）,.（8）设( )(1)f xxx, 则（A）0 x是( )f x的极值点 , 但(0, 0)不是曲线( )yf x的拐点 . （B）0 x不是( )fx的极值点 , 但(0, 0)是曲线( )yf x的拐点 . 2 （C）0

3、x是( )f x的极值点 , 且(0, 0)是曲线( )yfx的拐点 . （D）0 x不是( )f x的极值点 , (0, 0)也不是曲线( )yf x的拐点 . （ 9）22212lim ln(1) (1)(1)nnnnnn等于（A）221ln xdx. （B）212ln xdx. （C）212ln(1)x dx. （D）221ln (1) x dx（ 10）设函数( )f x连续 , 且(0)0f, 则存在0, 使得（A）( )f x在(0,)内单调增加 . （B）( )f x在(, 0)内单调减小 . （C）对任意的(0,)x有( )(0)f xf. （D）对任意的(,0)x有( )(0

4、)f xf. （ 11）微分方程21sinyyxx的特解形式可设为（A）2(sincos )yaxbxcx AxBx. （B）2(sincos )yx axbxcAxBx. （C）2sinyaxbxcAx. （D）2cosyaxbxcAx（ 12）设函数( )f u连续 , 区域22( ,)2Dx y xyy, 则()Df xy dxdy等于（A）221111()xxdxf xy dy. （B）222002()yydyf xy dx. （C）2sin200(sincos )df rdr. 3 （D）2sin200(sincos )df rrdr（ 13） 设A是 3 阶方阵 , 将A的第 1

5、列与第 2 列交换得B, 再把B的第 2 列加到第3 列得C, 则满足AQC的可逆矩阵Q为（A）010100101. （B）010101001. （C）010100011. （D）011100001. （14）设A,B为满足0AB的任意两个非零矩阵, 则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共9 小题，满分94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（ 15） （本题满分10 分）求极限301

6、2coslim13xxxx. （ 16） （本题满分10 分）设函数( )fx在 （,） 上有定义 , 在区间0, 2上, 2( )(4)f xx x, 若对任意的x都满足( )(2)f xk fx, 其中k为常数 . ()写出( )f x在 2, 0上的表达式 ; ()问k为何值时 , ( )f x在0 x处可导 . （ 17） （本题满分11 分）设2( )sinxxf xt dt,()证明( )f x是以为周期的周期函数;()求( )f x的值域 . 4 （ 18） （本题满分12 分）曲线2xxeey与直线0,(0)xxt t及0y围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,

7、 其体积为( )V t, 侧面积为( )S t, 在xt处的底面积为( )F t. ()求( )( )S tV t的值 ; ()计算极限( )lim( )tS tF t. （ 19） （本题满分12 分）设2eabe, 证明2224lnln()babae. （ 20） （本题满分11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力 ,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机 ,着陆时的水平速度为700/km h.经测试 ,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.0 10k).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多

8、少? 注kg表示千克 ,/km h表示千米 / 小时 . （ 21） （ 本 题 满 分10 分 ） 设22(,)xyzf xye,其 中f具 有 连 续 二 阶 偏 导 数 , 求2,zzzxyx y. （ 22） （本题满分9 分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x试问a取何值时 , 该方程组有非零解, 并求出其通解. （ 23） （本题满分9 分）5 设矩阵12314315a的特征方程有一个二重根, 求a的值 , 并讨论A是否可相似对角化. 2003年考研数学（二）真

9、题一、 填空题 （本题共6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（ 1） 若0 x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=. （ 2） 设函数y=f(x) 由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x) 在点 (1,1)处的切线方程是. （ 3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 _.（ 4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.（ 5） 设为 3 维列向量，T是的转置 . 若111111111T，则T= .（ 6 ）设 三 阶 方 阵A,B满 足EBABA2， 其 中E为 三 阶 单

10、位 矩 阵 ， 若102020101A，则B_.二、选择题 （本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设,nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A) nnba对任意 n 成立 . (B) nncb对任意 n 成立 . (C) 极限nnncalim不存在 . (D) 极限nnncblim不存在 . （ 2）设dxxxannnnn123101, 则极限nnnalim等于6 (A) 1)1 (23e. (B) 1)1 (231e. (C) 1)1 (231e. (D

11、) 1)1(23e. （ 3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B) .22xy(C) .22yx(D) .22yx （ 4）设函数 f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x （5）设401tandxxxI,dxxxI402tan, 则(A) .121II(B) .121II(C) .112II(D) .112II （ 6）设向量组I：r,21可由向量组II：s,21线性表

12、示，则(A) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (B) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (C) 当sr时，向量组I 必线性相关 . (D) 当sr时，向量组I 必线性相关 . 7 三 、 （本题满分10 分） 设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问 a为何值时， f(x)在 x=0 处连续； a为何值时， x=0 是 f(x)的可去间断点？四 、 （本题满分9 分）设函数 y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd五 、 （本题满分9 分） 计算不定积分.)1(232a

13、rctandxxxex六 、 （本题满分12 分）设函数 y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是 y=y(x)的反函数 . (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解 . 七 、 （本题满分12 分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数 . 八 、 （本题满分12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q，且线段PQ 被 x 轴平分 . (1) 求曲线y=f(x)

14、的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在,0上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x) 的弧长 s. 九 、 （本题满分10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕 y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容8 器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出t 与)(y之间的关系式；(2) 求曲线)(yx的方程 . (注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、 （本题满分10分）设函数 f(x)在闭区间 a,b上连续， 在开

15、区间 (a,b)内可导， 且.0)(xf若极限axaxfax)2(lim存在，证明：(1)在(a,b)内 f(x)0; (2)在(a,b)内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3) 在(a,b) 内存在与 (2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2)(22十 一、 （本题满分10 分）若矩阵60028022aA相似于对角阵， 试确定常数 a的值； 并求可逆矩阵P使.1APP十二、 （本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 I、23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52