2014年考研数学二真题与解析.pdf

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1、推荐：考研数字题库和资料2014 年考研数学二真题和分析一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分当0 x时，若)(lnx21，11)cos(x均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（A）),(2（B）),( 21（C）),(121（D）),(210【详解 】xx221)(ln， 是阶无穷小，211211xx)cos(是2阶无穷小， 由题意可知121所以的可能取值范围是),( 21，应该选（ B） 2下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（ D）xxy12sin【详解 】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(l

2、im，所以有斜渐近线xy应该选（ C）3设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上（）（A）当0)( xf时，)()(xgxf（B）当0)( xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断显然xfxfxg)()()(110就是联接)(,(),(,(1100ff两点的直线方程故当0)(xf时， 曲线是凹的，也就是)()(xgxf， 应该选（ D）【详解 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不

3、熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当0)( xf时， 曲线是凹的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（ D）4曲线14722ttytx,上对应于1t的点处的曲率半径是（）（）5010（）10010(）1010（）105【详解 】 曲线在点)(,(xfx处的曲率公式321)(yyK，曲率半径KR1本题中422tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242，3222122tttdxyd，对应于1t的点处13,yy，所以10101132)(yyK，曲率半径1

4、0101KR应该选（ C）5设函数xxfarctan)(，若)( )(xfxf，则220 xxlim（）（）1（）32（）21（）31【详解 】注意（ 1）211xxf)( ， （2）)(arctan,33310 xoxxxx时由于)( )(xfxf所以可知xxxxffarctan)()( 211，22)(arctanarctanxxx，3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim6设),(yxu在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及02222yuxu，则（） （A）),(yxu的最大值点

5、和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C）),(yxu的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D）),(yxu的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上【详解 】),(yxu在平面有界闭区域D 上连续，所以),(yxu在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点),(00yx，也就是0yuxu，在这个点处xyuyxuByuCxuA222222,，由条件，显然02BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上所以应该选（A） 7行

6、列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda【详解 】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba应该选（ B） 8设321,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D） 非充分非必要条件【详解 】若向量321,线性无关，则（31k，32l）Klk),(),(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31k，32l

7、一定线性无关而当000010001321,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,线性相关；故选择（A） 二、填空题（本题共6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）912521dxxx【详解】11122832421212141521)(|arctan)(xxdxdxxx10设)(xf为周期为4 的可导奇函数，且2012,),()( xxxf，则)(7f【 详 解 】 当20,x时 ，Cxxdxxxf2122)()(， 由00)(f可 知0C， 即xxxf22)(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117)()()(fff11设),(yxzz是由方

8、程4722zyxeyz确定的函数，则2121,|dz【详解 】 设4722zyxezyxFyz),(，1222122yzzyzyxyeFyzeFF,， 当21yx时，0z，21zxFFxz，21zyFFyz，所以2121,|dzdydx212112曲线L的极坐标方程为r，则L在点22,),(r处的切线方程为【 详解 】先把曲线方程化为参数方程sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2处，20 yx,，222|sincoscossin|dxdy，则L在点22,),(r处的切线方程为)(022xy，即.22xy13一根长为1 的细棒位于x轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细

9、棒的质心坐标x【详解 】质心坐标201135121112210210231010dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(14 设 二 次 型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的 负 惯 性 指 数 是1， 则a的 取 值 范 围是【详解 】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,三、解答题15 （本题满分10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未

10、定型极限【详解 】21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim16 （本题满分10 分）已知函数)(xyy满足微分方程yyyx122，且02)(y，求)(xy的极大值和极小值【详解 】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy )(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：Cxxyy333131，由02)(y得32C，即32313133xxyy令01122yxdxdy，得1x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd；当1x时，可解得1

11、y，01y，函数取得极大值1y；当1x时，可解得0y，02y，函数取得极小值0y17 （本题满分10 分）设平面区域004122yxyxyxD.,|),(计算Ddxdyyxyxx)sin(22【详解 】由对称性可得432112121212022222222DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxxsin)sin()sin()()sin()sin(18 （本题满分10 分）设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数 ，)cos(yefzx满 足xxeyezyzxz222224)cos( 若0000)( ,)(ff，求)(uf的表达式【详解 】设yeux

12、cos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)( cos)(,)( cos2222; yeufyeufyzyeufyzxxxcos)( sin)(,sin)( 2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf)()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC ,为任意常数对应非齐次方程特解可求得为uy41*故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(将初始条件0000)( ,)(ff代入，可得16116121CC

13、,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(19 （本题满分10 分）设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)( xg，证明：（1）baxaxdttgxa,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解 】（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10即baxaxdttgxa,)(0（2）令xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且xadttgafxgxgxfxF)()()()()( ，因为,)(axdttgxa0且)(xf单调增加，所以)(

14、)()(xfaxafdttgafxa从而0)()()()()()()()()( xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa，bax,也是)( xF在ba,单调增加，则0)()(aFbF，即得到badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20 （本题满分11 分）设函数101,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf1，)()(xffxf12，),()(,xffxfnn1设nS是曲线)(xfyn，直线01yx,所围图形的面积求极限nnnSlim【详解 】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121)()()(,)(，,)(xxxf313，利用数学归纳法可得.)(nx

15、xxfn1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn11111111101010，111nnnSnnn)ln(limlim21 （本题满分11 分）已知函数),(yxf满足)(12yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积【详解 】由于函数),(yxf满足)(12yyf，所以)(),(xCyyyxf22，其中)(xC为待定的连续函数又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyyCln)()(21，得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222令0),(yxf，可得xxyln)()(212且当

16、1y时，2121xx,曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积为)ln(ln)()(45222121212dxxxdxyV22 （本题满分11 分）设302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0AX的一个基础解系；（2）求满足EAB的所有矩阵【详解 】 （1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0AX同解方程组43424132xxxxxx得到0AX的一个基础解系13211（2）显然 B 矩阵是一个34矩阵，设444333222111zyxzyxzyx

17、zyxB对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB的所有矩阵为321321321321313431212321162ccccccccccccB其中321ccc,为任意常数23 （本题满分11 分）证明n阶矩阵111111111和n00200100相似【详解 】证明：设A111111111，Bn00200100分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111nnAE)(，所以 A 的n个特征值为0321nn,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且00A；1002010nnnBE)(所以 B 的n个特征值也为0321nn,；对于1n重特征值0， 由于矩阵BBE)(0的秩显然为1， 所以矩阵B 对应1n重特征值0的特征向量应该有1n个线性无关，进一步矩阵B 存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且00B从而可知n阶矩阵111111111和n00200100相似