2017年考研数学二真题与解析.pdf

《2017年考研数学二真题与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年考研数学二真题与解析.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2017 年考研数学二真题一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分1若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxbx在0 x处连续，则（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【详解 】00011 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa，0lim( )(0)xf xbf，要使函数在0 x处连续，必须满足1122baba所以应该选（A）2设二阶可导函数( )f x满足(1)( 1)1ff，(0)1f，且( )0fx，则（）（A）11( )0f x dx（B）11( )0f x dx（C）0110( )( )f x dxf x dx（D）0110( )(

2、)f x dxf x dx【详解 】注意到条件( )0fx，则知道曲线( )f x在1,0 , 0,1上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当1,0 x时，( )21f xx，当0,1x时，( )21f xx，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导所以101110( )( 21)(21)0fx dxxdxxdx所以选择（B） 当 然 ， 如 果 在 考 场 上 ， 不 用 这 么 详 细 考 虑 ， 可 以 考 虑 代 一 个 特 殊 函 数2( )21f xx， 此 时011011( ),( )33f x dxf x dx，可判断出选项（A） ， （C） ， （D）都是错误的，当然选

3、择（B） 希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧3设数列nx收敛，则（A）当limsin0nnx时，lim0nnx（B）当lim()0nnnxx时，lim0nnx(C）当2lim()0nnnxx时，lim0nnx（D）当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx【详解 】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的其实此题注意，设limnnxA，则22limsinsin,lim(),lim(),lim(sin)sinnnnnnnnnnnnxAxxAAxxAAxxAA分别解方程2sin0,0,0,sin0AAAAAAA时，发现只有第四个方程sin0AA有唯一解0A，

4、也就是得到lim0nnx微分方程2489(1cos2 )xyyex的特解可设为*y（）（A）22(cos2sin 2 )xxAeeBxCx（B）22(cos2sin2 )xxAxexeBxCx（C）22(cos2sin 2 )xxAexeBxCx（D）22(cos2sin2 )xxAxexeBxCx【详解 】微分方程的特征方程为2480rr，有一对共轭的复数根22ri所以12不是特征方程的根，所以对应方程2489xyye的特解应该设为21*xyAe；而222i是 方 程 的 单 根 ， 所 以 对 应 方 程2489cos2xyyex的 特 解 应 该 设 为22*(cos2sin 2 )xy

5、xeBxCx； 从 而 微 分 方 程248 9( 1c o s 2)xyyex的 特 解 可 设 为2212*(cos2sin 2 )xxyyyAexeBxCx，应该选（ C） 5设( , )f x y具有一阶偏导数，且对任意的( , )x y都有( , )( , )0,0f x yf x yxy，则（）（A）(0,0)(1,0)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（D）(0,1)(1,0)ff【详解 】由条件对任意的( ,)x y都有( , )( ,)0,0f x yf x yxy可知( , )f x y对于x是单调增加的，对y就单调减少的 所以(1,1)(1,

6、0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)fffffffff，只有第三个不等式可得正确结论（D） ，应该选（ D） 6甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方10（单位： 米）处，如图中， 实线表示甲的速度曲线1( )vv t（单位：米 /秒） ，虚线表示乙的速度曲线2( )vvt（单位：米 /秒） ，三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（）（A）010t（ B）01520t（C）025t（D）025t【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21( )( )TTS tv t dt表示时刻12,

7、T T内所走的路程本题中的阴影面积123,SSS分别表示在时间段0,10 , 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t时乙追上甲，应该选（C） 7 设A为三阶矩阵，123,P为可逆矩阵， 使得1000010002PAP， 则123()A（）（A）12（B）232（C）23（ D）132【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知12312323000000(,)010,0100,2002002AAPP所以12312323()2AAAA，所以可知选择（B） 8已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）,A C相似，,B C相似（B）

8、,A C相似，,B C不相似（C）,A C不相似，,B C相似（D）,A C不相似，,B C不相似【详解 】矩阵,A B的特征值都是1232,1是否可对解化，只需要关心2的情况对于矩阵A，0002001001EA，秩等于 1 ，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是AC对于矩阵B，0102000001EB，秩等于 2 ，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C不相似故选择（B） 二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9曲线2(1arcsin)yxx的斜渐近线为解：2(1

9、 arcsin )limlim1xxxyxxx，2lim()limarcsin2xxyxxx，所以斜渐近线为2yx10设函数( )yy x由参数方程sintxteyt确定，则202|td ydx【详解 】223cos1cos(1)sincos,1(1)ttttttdedytd yetetdtdxdxedxedt，所以2021|8td ydx1120ln(1)(1)xdxx . 【详解 】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)xxdxx ddxxxxx12设函数( ,)f x y具有一阶连续的偏导数，且已知( , )(1)yydfx yye dxxy e dy，(0,

10、0)0f，则( ,)f x y【详解 】( , )(1)()yyydf x yye dxxy e dyd xye， 所以( , )yf x yxyeC， 由( 0 , 0 )0f， 得0C，所以( , )yfx yxye13110tanyxdydxx【详解 】交换二重积分的积分次序得：1111100000tantantanln cosln cos1.xyxxdydxdxdyxdxxxx14设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a【详解 】根据特征向量的定义，有412111121132311222Aaa，解得1a三、解答题15 （本题满分10 分）求极限030limxtxxte d

11、tx【详解 】令xtu，则,txudtdu，00 xxtxuxte dtuedu00033300002limlimlimlim332xxxtxuuxxxxxxte dteueduueduxexxxx16 （本题满分10 分）设函数( , )f u v具有二阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0|xdydx，202|xd ydx【详解 】12(,cos)(,cos)(sin )xxxdyfex efexxdx，01|(1,1)xdyfdx；2111122222122(,cos)(,cos)sin(,cos)cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxxd ye

12、fexefex exfexxfexdxxe fexxfex2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx17 （本题满分10 分）求21limln 1nnkkknn【详解 】由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxx dxnnnnnx dx18 （本题满分10 分）已知函数( )y x是由方程333320 xyxy【详解 】在方程两边同时对x求导，得2233330 xy yy（1）在（ 1）两边同时对x求导，得2222 ()0 xy yy yy也就是222() )1xy yyy令0y，得1x当11x时，11

13、y；当21x时，20y当11x时，0y，10y，函数( )yy x取极大值11y；当21x时，0y，10y函数( )yy x取极小值20y19 （本题满分10 分）设函数( )f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0( )lim0 xf xx，证明：（1）方程( )0f x在区间0,1至少存在一个实根；（2）方程2( )( )( )0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0( )lim0 xf xx可知，存在01，及1(0,)x，使得1()0f x，由于( )f x在1,1x上连续，且1()(1)0f xf，由零点定理，存在1(,

14、1)(0,1)x，使得( )0f，也就是方程( )0f x在区间0,1至少存在一个实根；（ 2）由条件0( )lim0 xf xx可知(0)0f，由（ 1）可知( )0f，由洛尔定理，存在(0, )，使得( )0f；设( )( )( )F xf x fx，由条件可知( )F x在区间0,1上可导， 且(0)0,( )0,( )0FFF，分别在区间0,上 对 函 数( )F x使 用 尔 定 理 ， 则 存 在12(0,)(0,1),( , )(0,1),使 得1212,()()0FF，也就是方程2( )( )( )0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根20 （本题满分11 分）已

15、知平面区域22( , ) |2Dx yxyy，计算二重积分2(1)Dxd【详解 】由于积分区域关于y轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd所以2sin222200442204620(1)(1)(cos1)2sincos2sin4(4sin4sin2sin)54DDxdxddrrdrdd其中利用瓦列斯公式，知24600013 1353 15sin,sin,sin2242864216ddd21 （本题满分11 分）设( )y x是区间30,2上的可导函数， 且( 1 )0y点P是曲线:( )Lyy x上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,PY，法线与X轴相交于点,0PX若PpXY

16、，求L上的点的坐标( , )x y满足的方程【详解 】曲线过点( , )P x y的切线方程为( )( )()Yy xy xXx，令0X，得( )( )pYy xxy x；曲线过点( ,)P x y的法线方程为1( )()( )Yy xXxy x，令0Y，得( )pXxyy x由条件PpXY，可得微分方程yxyxyy标准形为11ydyxyxyydxxyx，是个一阶齐次型微分方程设yux，方程化为11duuuxdxu，整理，得211duuxdxu分离变量，两边积分，得1arctanlnlnln2uuxC由初始条件(1)0y，得1,0,0 xyu，确定常数1C所以曲线的方程为1arctanlnln

17、2yyxxx22 （本题满分11 分）设三阶矩阵123,A有三个不同的特征值，且3122.（1）证明：()2r A；（2）若123,，求方程组Ax的通解【详解 】 （1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1r A假 若()1r A时 ， 则0r是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有()2r A， 又 因 为31220，也就是123,线性相关，()3r A，也就只有()2r A（2）因为()2r A，所以0Ax的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于31220，所以基础解系为121x；又由123,，得非齐次方程组Ax的特解可取为

18、111；方程组Ax的通解为112111xk，其中k为任意常数23 （本题满分11 分）设 二 次 型222123123121323(,)2282fxxxxxa xx xx xx x在 正 交 变 换xQy下 的 标 准 形 为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q【详解 】二次型矩阵21411141Aa因为二次型的标准形为221122yy也就说明矩阵A有零特征值，所以0A，故2.a114111(3)(6)412EA令0EA得矩阵的特征值为1233,6,0通过分别解方程组()0iEA x得矩阵的属于特征值13的特征向量111131，属于特征值特征值26的特征向量211021，30的特征向量311261所以12311132612,036111326Q为所求正交矩阵