广东高考数学真题汇编之立体几何.doc

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1、广东高考数学真题汇编：立体几何1、（2011广东文数）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A、20B、15 C、12D、101解答：解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条正五棱柱对角线的条数共有25=10条故选D2、（2011广东文数）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A、B、4 C、D、22解答：解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何

2、体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h=3故V=2故选C3、（2011广东理数）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A、6B、9 C、12D、183解答：解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3=3，又因为棱柱的高为3，故V=33=9，故选B4.（2010广东文理数）如图1， ABC为三角形，/, 平面ABC且3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是4D5. （2009广东文科）给定下列四个命题： 若

3、一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 5. D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选D6（2008广东文数）将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED6. A7（2007

4、广东文数）若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）若，则若，则若，则若，则7.D8、（2006广东）给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.18、正确，故选B.9. (2005广东)给出下列关于互不相同的直线、和平面、，的四个命题：lm若，点，则与不共面；若m、l是异面

5、直线, , 且，则；若, ，则；若点，则其中为假命题的是A B C D9.C解：是假命题，如右图所示满足, ， 但 ，故选CABCABC图110. (2005广东) 已知高为的直棱锥的底面是边长为的正三角形（如图所示），则三棱锥的体积为 （ ）ABCD10.D解: 故选D.11、（2006广东）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 11、12. （2009广东文科）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该

6、安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG12【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13（2008广东文数）FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积FCPGEAB图5D13解：（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，

7、,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即 ，;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积14.（2008广东文数）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。14【解析】（1） BD是圆的直径 又 , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱锥的体积为 .15（2007广东文数）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积；（2

8、）求该几何体的侧面积15解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ；(1) (2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为 ， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为 因此 16（2007广东理数）如图6所示，等腰三角形ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）

9、当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。16（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为；17、（2006广东）如图5所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角.17、解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF

10、的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为18、（2006广东）设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求()点A、B的坐标 ；()动点Q的轨迹方程18解: ()令解得当时, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以

11、, 点A、B的坐标为.() 设，所以，又PQ的中点在上，所以ACBPFE图3消去得19(2005广东)如图3所示，在四面体中，已知，是线段上一点，点在线段上，且（）证明：；（）求二面角的大小19【答案】 ()证明：在中， PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证，PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形 在中， 又（II）解法一：由（I）知PBCE，PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCECE平面PAB，而EF平面PAB，EFEC，故FEB是二面角BCEF的平面角，ACBPFE二面角BCEF的大小为解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y

12、轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则，为平面ABC的法向量，为平面ABC的法向量，二面角BCEF的大小为20（2004广东）如右下图，在长方体中，已知，分别是线段上的点，且(I)求二面角的正切值(II)求直线与所成角的余弦值20解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则21、（2011广东文数）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，

13、A，B，B分别为的中点，O1，O1，O2，O2分别为CD，CD，DE，DE的中点（1）证明：O1，A，O2，B四点共面；（2）设G为A A中点，延长AO1到H，使得O1H=AO1证明：BO2平面HBG考点：直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论。专题：证明题；综合题。分析：（1）要证O1，A，O2，B四点共面，即可证四边形BO2AO1为平面图形，根据AO1与BO2在未平移时属于同一条直径知道AO1BO2即BO2AO1再根据BO2=AO1=1即可得到四边形BO2AO1是平行四边形，则证（2）建立空间直角坐标系，要证BO2平面HBG只需证，根据坐标运算算出，的值均为0即可解答：

14、证明：（1）B，B分别是中点BO2BO2AO1与BO2在未平移时属于同一条直径AO1BO2BO2AO1BO2=AO1=1四边形BO2AO1是平行四边形即O1，A，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2（0，1，2），H（1，1，2），A（1，1，0），G（1，1，1），B（1，1，2）则=（1，0，2），=（2，2，1），=（0，2，0）=0，=0BO2BG，BO2BH即，BHBG=B，BH、BG面HGBBO2平面HBG点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以

15、及空间向量的基本知识，属于中档题22、（2011广东理数）如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB=60，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD平面DEF（2）求二面角PADB的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法。专题：常规题型；综合题。分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60角菱形的特征可以发现ADDE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明ADEF；（2）利用（1）中的结论找到二面角PADB的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定

16、理解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出ADBG，又DEBGDEAD，又PA=PD，可以得出ADPG，而PGBG=G，AD平面PBG，而PB平面PBG，ADPB，又PBEF，ADEF又EFDE=E，AD平面DEF（2）由（1）知，AD平面PBG，所以PGB为二面角PADB的平面角，在PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cosPGB=，因此二面角PADB的余弦值为点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，

17、解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题9（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则9解析：选B，10（2010全国卷2理数）（11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个10【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离

18、相等所以有无穷多点满足条件，故选D.11（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）11解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为12（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个12【解析】D：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，13.（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直

19、于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为ABCSEF（A） (B) (C) (D) 13.【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 14.（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于

20、同一平面的两条直线平行14.答案：D15（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A） （B） （C） （D）15解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC cosBAC连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD 而ACR,CDR 故MN：CDAN:AC MN，连结OM、ON，有OMONR 于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是 16.（2010福建文数）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D616【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D17（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)9017.C【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，18（2010山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行18.【答案】D