2009年考研数学二真题答案解析.pdf

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1、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数，则（）A1. B2. C3. D无穷多个 .【答案】 C 【解析】3sinxxfxx则当x取任何整数时，fx均无意义故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30 xx的解1,2,30, 1x3200321132111 31limlimsincos1 32limlimsincos132limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2、xxx故可去间断点为3 个，即0, 1（2）当0 x时，sinfxxax与2ln 1g xxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab.【答案】A【解析】2( )sin,( )(1)f xxax g xx lnbx为等价无穷小，则222200000( )sinsin1cossinlimlimlimlimlim( )ln(1)()36xxxxxf xxaxxaxaaxaaxg xxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa36ab故排除,B C。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0 x故1.a

3、排除D。所以本题选A。（3）设函数,zfx y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是,fx y的连续点 . B不是,fx y的极值点 . C是,fx y的极大值点 . D是,fx y的极小值点 .【答案】D【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy2222221,0,1zzzzABCxx yy xy又在（ 0，0）处，0,0zzxy210ACB故（ 0，0）为函数( , )zf x y的一个极小值点（4）设函数,fx y连续，则222411,yxydxfx y dydyfx y dx（）A2411,xdxfx y dy. B241,xxdxfx y dy. C2411,ydyfx

4、y dx. D.221,ydyfx y dx【答案】C【解析】222211( , )( , )xxdxf x y dydyf x y dx的积分区域为两部分：1( , ) 12,2Dx yxxy，2( , ) 12,4Dx yyyxy将其写成一块( , ) 12,14Dx yyxy故二重积分可以表示为2411( , )ydyf x y dx，故答案为C（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（）A有极值点，无零点. B无极值点，有零点. C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ，( )f x是 一

5、个 凸 函 数 ， 即( )0fx， 且 在 点(1,1)处 的 曲 率322|12(1() )yy，而(1)1f，由此可得，(1)2f在1,2上，( )(1)10fxf，即( )f x单调减少，没有极值点。对于(2)(1)()1(1,2)fff， （拉格朗日中值定理）(2)0f而(1)10f由零点定理知，在1,2上，( )f x有零点。故应选（ B）（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0 xFxft dt的图形为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由( )yf x的图形可见，其图像与x轴及y轴、0 xx所围的图形的代数面积为所求函数( )F x，

6、从而可得出几个方面的特征：( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 1 ( )f x-2 0 2 3 x-1 O 0,1x时，( )0F x，且单调递减。1,2x时，( )F x单调递增。2,3x时，( )F x为常函数。1,0 x时，( )0F x为线性函数，单调递增。由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。（7）设A、B均为 2 阶矩阵，*AB，分别为A、B的伴随矩阵。若A =2 B =3，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）A.*0320B

7、AB.*02B3A0C.*03A2B0D.*02A3B0【答案】B 【解析】根据CCC E若111,CC CCCC分块矩阵00AB的行列式2 2012 360AA BB（）即分块矩阵可逆11110000066000100BBAAABBBBAAA10023613002BBAA（8）设AP，均为 3 阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且T100P AP=010002，若P=Q=+1231223（，），（，）， 则Q AQT为 （）A.210110002B.110120002C.200010002D.100020002【答案】A【解析】122312312312100(,)(,) 110(,)(1)001Q

8、E，即：12121212122112(1)(1)(1)(1)(1)100(1) 010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTTQPEQ AQPEA PEEP AP EEE二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为【答案】2yx【解析】221222 ln(2)22tdyttttdtt2(1)1( 1)1ttdxedt所以2dydx所以切线方程为2yx（10）已知+1k xedx,则k【答案】2【解析】001122 li

9、mbk xkxkxbe dxe dxek因为极限存在所以0k210k2k（11）n1limesin0 xnxdx【答案】 0【解析】令sinsincosxxxnIenxdxenxn enxdx2sincosxxnenxnenxn I所以2cossin1xnnnxnxIeCn即11020cossinlimsinlim()1xxnnnnxnxenxdxen122cossinlim()110nnnnnenn（12）设( )yy x是由方程xy1yex确定的隐函数，则2x=0d y=dx2【答案】3【解析】对方程xy1yex两边关于x求导有1yyxyy e，得1yyyxe对1yyxyy e再次求导可得

10、22()0yyyxyy eye，得22()yyyyeyxe(*)当0 x时，0y，(0)0101ye，代入(*)得20032(0)(0)(0)(21)3(0)yyeye（13）函数2xyx在区间01 ，上的最小值为【答案】2ee【解析】因为22ln2xyxx，令0y得驻点为1xe。又22222ln2xxyxxxx，得21120eyee，故1xe为2xyx的极小值点，此时2eye，又当10,xe时，0yx；1,1xe时，0y x，故y在10,e上递减， 在1,1e上递增。而11y，002022lnlimlim11lim222 ln000limlim1xxxxxxxxxxxxxyxeeee，所以2

11、xyx在区间01 ，上的最小值为21eyee。(14)设，为 3 维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000， 则T=【答案】2【解析】 因为T相似于200000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T得特征值是2,0,0而T是一个常数，是矩阵T的对角元素之和，则T2002三、解答题：15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分9 分）求极限401cosln(1tan )limsinxxxxx【解析】244001ln(1tan )1cosln(1tan )2limlimsinsinxxxxxxxxxx

12、22201ln(1tan )lim2sinsinxxxxxx201ln(1tan )1lim2sin4xxxx（16） （本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x【解析】令1xtx得22212,1(1)tdtxdxtt222222222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)1ln(1) ()1ln(1)11111ln(1)111(14(1)4(11ln(1)111ln1412(1)11111ln(1)ln4112ttdttd tttt dttdtttttdtttttttCtttxxxxxxx2原式） 2（）1(1)111ln(1)ln(1)ln(1)22Cxxxxxxx

13、xCx（17） （本题满分10 分）设,zfxy xy xy，其中f具有 2 阶连续偏导数，求dz与2zx y【解析】123123zffyfxzffxfy1231232111213212223331323331122331323()()1( 1)1( 1)1( 1)()()zzdzdxdyxyffyfdxffxfdyzfffxfffxfy fffxx yfffxyfxy fxy f（18） （本题满分10 分）设非负函数yy x0 x满足微分方程20 xyy，当曲线yy x过原点时， 其与直线1x及0y围成平面区域D的面积为2， 求D绕y轴旋转所得旋转体体积。【解析】解微分方程20 xyy得其

14、通解212122,yCxC xCC其中，为任意常数又因为( )yy x通过原点时与直线1x及0y围成平面区域的面积为2，于是可得10C1112232220002( )(2)()133CCy x dxxC xdxxx从而23C于是，所求非负函数223(0)yxxx又由223yxx可得，在第一象限曲线( )yf x表示为1131)3xy（于是 D 围绕y轴旋转所得旋转体的体积为15VV，其中5522100501( 131)9(232 13 )93918Vx dyydyyy dy395117518186V（19） （本题满分10 分）求二重积分Dxy dxdy，其中22,112,Dx yxyyx【解

15、析】由22(1)(1)2xy得2(sincos )r，32(sincos )4()( cossin)04Dxy dxdydrrrdr332(sincos )14(cossin)034rd2384(cossin) (sincos ) (sincos )34d3384(cossin) (sincos )34d3344438814(sincos )(sincos )(sincos )3344d83（20） （本题满分12 分）设( )yy x是区间-（， ）内过-22（，）的光滑曲线，当-0 x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0 x时，函数( )y x满足0yyx。求( )y x的表达式【解析】

16、由题意，当0 x时，xyy，即ydyxdx，得22yxc，又()22y代入22yxc得2c，从而有222xy当0 x时，0yyx得0yy的通解为*12cossinycxcx令解为1yAxb，则有00Axbx，得1,0Ab，故1yx， 得0yyx的通解为12cossinycxcxx由于( )yy x是(,)内的光滑曲线，故y在0 x处连续于是由1(0 ),(0 )yyc， 故1c时，( )yy x在0 x处连续又当0 x时，有220 xy y，得(0)0 xyy，当0 x时，有12sincos1ycxcx，得2(0)1yc由(0)(0)yy得210c，即21c故( )yy x的表达式为22,0c

17、ossin,0 xxyxxxx或22,0cossin,0 xxyxxxx，又过点,2 2，所以22,0cossin,0 xxyxxxx。（21） （本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,a b上连续，在,a b可导，则存在,a b，使得fbfafba（）证明：若函数fx在0 x处连续，在0,0内可导，且0limxfxA，则0f存在，且0fA。【解析】（）作辅助函数( )( )( )( )( )()f bf axf xf axaba，易验证( )x满足：( )( )ab；( )x在 闭 区 间,a b上 连 续 ， 在 开 区 间,a b内 可 导 ， 且( )( )( )(

18、 )f bf axfxba。根据罗尔定理，可得在,a b内至少有一点，使( )0，即( )f( )( )0,( )( )( )()f bf af bf afbaba（）任取0(0,)x，则函数( )f x满足；在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在000,0,xx，使得000()(0)0 xfxffx*又由于0limxfxA， 对上式（* 式）两边取00 x时的极限可得：0000000000()00limlim()lim()0 xxxxxf xffffAx故(0)f存在，且(0)fA。（22） （本题满分11 分设111111042A，1112（）求满足

19、22131,AA的所有向量23,（）对（）中的任一向量23,，证明：123,线性无关。【解析】（）解方程21A1111111111111,111100000211042202110000A( )2r A故有一个自由变量， 令32x， 由0Ax解得，211,1xx求特解，令120 xx，得31x故21101021k，其中1k为任意常数解方程231A2220220440A21111022012,2201000044020000A故有两个自由变量，令21x，由20A x得131,0 xx求特解21200故321121000k，其中2k为任意常数（）证明：由于12121212122111121112(

20、21)()2()(21)222210kkkkk kkkk kkkk102故123,线性无关 .（23） （本题满分11 分）设二次型2221231231323,122fx x xaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。【解析】（）0101111aAaa0110|01()1111111aaaEAaaaa222()()(1)10()()()(1)2()2219()(12 )24()(2)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaa123,2,1aaa（）若规范形为2212yy，说明有两个特征值为正，一个为0。则1)若10a，则220，31，不符题意2)若20， 即2a， 则120，330， 符合3)若30， 即1a， 则110，230， 不符题意综上所述，故2a