2000-2017考研数学二历年真题word版.pdf

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1、- 1 - 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxb x在 x=0 连续，则(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab（2）设二阶可到函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff且( )0fx，则(A) 11( )0f x dx(B) 12( )0f x dx(C) 0110( )( )f x dxf x dx(D) 1110( )( )f x dxf x dx（3）设数列nx收敛，则(A) 当lim sin

2、0nnx时，lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时，则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx, lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1 cos2 )xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2 )xxAeeBxCx(B)22(cos2sin 2 )xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2 )xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2 )xxAxexeBxCx（5）设( )f x具有一阶偏导数，且在任意的( , )x y，都有( , )( , )0,f x yf x yxy则(A)(0,0)(1,1)

3、ff(B)(0,0)(1,1)ff- 2 - (C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位 :m）处 ,图中，实线表示甲的速度曲线1vvt（单位 :m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt， 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3， 计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位 :s） ,则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530( )t s(/ )v ms1020（7）设A为三阶矩阵，123(,)P为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123(,)A(A)12(B)232(C)2

4、3(D)122（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100020000C，则(A) A 与 C 相似， B 与 C 相似(B) A 与 C 相似， B 与 C 不相似(C) A 与 C 不相似， B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似， B 与 C 不相似二、填空题：914 题，每小题4 分，共 24 分. （9）曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为（10）设函数()yy x由参数方程sintxteyt确定，则202td ydx- 3 - （11）20ln(1)1xdxx= （12） 设函数,fx y具有一阶连续偏导数，且,1,0,00yydfx yye dxxy

5、e dy f， 则,fx y= （13）110tanyxdydxx（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a三、解答题：1523 小题，共94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10 分）求030limxtxxte dtx（16） （本题满分10 分）设函数,fu v具有 2 阶连续性偏导数，y,xfecosx,求0dydxx,220d ydxx（17） （本题满分10 分）求21limln1nnkkknn（18） （本题满分10 分）已知函数由方程确定，求的极值（19） （本题满分10 分）( )fx在0,1上具有 2 阶导数，0( )(1

6、)0, lim0 xfxfx，证明（ 1）方程( )0f x在区间(0,1)至少存在一个根（ 2）方程2( )( )( )0f xfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（20） （本题满分11 分）已知平面区域22,2Dx yxyy，计算二重积分21Dxdxdy（21） （本题满分11 分）设( )y x是区间3(0,)2内的可导函数， 且(1)0y，点P是曲线:( )Lyy x上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标( ,)x y满足的方程。- 4 - （22） （本题满分11 分）三阶行列式123(,)A

7、有 3 个不同的特征值，且3122（1）证明()2r A（2）如果123求方程组Axb的通解（23） （本题满分11 分）设132221232121323(,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q. 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择： 18 小题，每小题4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1）设1(cos1)axx，32ln(1)axx，3311ax.当0 x时，以上3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）123,a a a. （ B）231,a

8、a a. （C）213,a a a. （ D）321,a aa. （2）已知函数2(1),1,( )ln ,1,xxf xxx则( )f x的一个原函数是（A）2(1) ,1.( )(ln1),1.xxF xxxx（B）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（C）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（D）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（3）反常积分1021xe dxx，1+201xe dxx的敛散性为（A）收敛，收敛 .（B）收敛，发散 . （C）收敛，收敛 .（D）收敛，发散 . （4）设函数( )f x在(,)内连续，求

9、导函数的图形如图所示，则- 5 - （A）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点 . （B）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 3 个拐点 . （C）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 1 个拐点 . （D）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点 . （5）设函数( )(1,2)if x i具有二阶连续导数，且0()0(1,2)ifxi，若两条曲线( )(1,2)iyf x i在点00(,)xy处具有公切线( )yg x， 且在该点处曲线1( )yfx的曲率大于曲线2( )yfx的曲率，则在0 x的

10、某个领域内，有（A）12( )( )( )f xfxg x（B）21( )( )( )fxf xg x（C）12( )( )( )f xg xfx（D）21( )( )( )fxg xfx（6）已知函数( , )xef x yxy，则（A）0 xyff（B）0 xyff（C）xyfff（D）xyfff（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（8）设二次型222123123122313(,)()222f x xxa xxxx xx xx x的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）1a（B）2a

11、（C）21a- 6 - （D）1a与2a二、填空题： 914 小题，每小题4 分，共 24 分。（9）曲线322arctan(1)1xyxx的斜渐近线方程为_. （10）极限2112lim(sin2sinsin)nnnnnnn_. （11）以2xyxe和2yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为_. （12）已知函数( )f x在(,)上连续，且20( )(1)2( )dxf xxf tt，则当2n时，( )(0)nf_. （13）已知动点P在曲线3yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数0v，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_.（14）设矩阵11

12、1111aaa与110011101等价，则_.a解答题： 1523 小题，共94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10 分）（16） （本题满分10 分）设函数1220( )(0)f xtxdt x，求( )fx并求( )f x的最小值 . （17） （本题满分10 分）已知函数( , )zz x y由方程22()ln2(1)0 xyzzxy确定，求( ,)zz x y的极值 . （18） （本题满分10 分）设D是由直线1y，yx，yx围成的有界区域，计算二重积分2222.Dxxyydxdyxy（19） （本题满分10 分）已知1( )xy xe，2( )(

13、 )xyxu x e是二阶微分方程(21)(21) 20nxyxyy的解，若( 1)ue，(0)1u，求( )u x，并写出该微分方程的通解。（20） （本题满分11 分）设D是由曲线21(01)yxx与33cos02sinxttyt围成的平面区域， 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。- 7 - （21） （本题满分11 分）已知( )fx在30,2上连续，在3(0,)2内是函数cos23xx的一个原函数(0)0f。（）求( )f x在区间30,2上的平均值；（）证明( )f x在区间3(0,)2内存在唯一零点。（22） （本题满分11 分）设矩阵11110111aAaaa，0122

14、a，且方程组Ax无解。（）求a的值；（）求方程组TTA AxA的通解。（23） （本题满分11 分）已知矩阵011230000A（）求99A（）设3 阶矩阵123(,)B满足2BBA。记100123(,)B，将123,分别表示为123,的线性组合。2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1 8 小题，每小题4分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）21dxx（ B）2ln xdxx(C)21lndxxx(D)2xxdxe(2)函数20sin( )lim(1)x

15、tttf xx在(,)内（）（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点(3)设函数1cos,0( )0,0 xxf xxx(0,0)，若( )f x在0 x处连续，则（）- 8 - （A）1(B)01(C)2(D)02(4) 设函数( )f x在(,)连续，其二阶导函数( )fx的图形如右图所示，则曲线( )yf x的拐点个数为（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(uv)f，满足22(,)yfxyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是（）（A）12,0 (B)0，12（C）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设 D 是第一象限中曲线21,41

16、xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数( , )f x y在 D 上连续，则( , )Df x y dxdy=（）（A）12sin 2142sin2( cos , sin )df rrdr（B）1sin22142sin 2( cos , sin )df rrdr（C）13sin 2142sin2( cos , sin )df rrdr（ D）1sin23142sin 2( cos , sin )df rrdr(7)设矩阵A=211112a14a，b=21dd,若集合 =1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（）（A）,ad(B),ad(C),ad(D) ,ad(8)设

17、二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232,yyy其中123P=(e ,e ,e )，若132(,)Qee e，则123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为（）(A):2221232yyy(B) 2221232yyy(C) 2221232yyy(D) 2221232yyy二、填空题：914 小题 ,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 设2231arctan,3txtd ydxytt则（10）函数2( )2xf xx在0 x处的 n 阶导数( )(0)nf（11）设函数( )f x连续，20( )( ),xxxf t d

18、t若(1)1，(1)5，则(1)f（12）设函数( )yy x是微分方程20yyy的解，且在0 x处( )y x取值 3，则( )y x= （13）若函数( , )zz x y由方程231xyzexyz确定，则(0,0)dz= - 9 - （14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为2，-2,1，2BAAE，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B= 三、解答题：1523 小题 ,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 （本题满分10 分）设函数( )ln(1)sinf xxxbxx，2( )g xkx，若( )f x与( )g x在0 x是等

19、价无穷小，求, ,a b k的值。16、 （本题满分10 分）设0A，D 是由曲线段sin (0)2yAxx及直线,2yo x所形成的平面区域，1V，2V分别表示D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若12VV，求 A 的值。17、 （本题满分10 分）已知函数( , )f x y满足( , )2(1)xxyfx yye，( ,0)(1)xxfxxe，(0, )2 ,fyy求( , )f x y的极值。18、 （本题满分10 分）计算二重积分()Dx xy dxdy，其中222( ,)2,Dx y xyyx。19、 （本题满分10 分）已知函数2121( )11xxf xt dttd

20、t，求( )f x零点的个数。20、 （本题满分11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 1200C的物体在200C恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至300C，若要使物体的温度继续降至210C，还需冷却多长时间？21、 （本题满分11 分）已知函数( )f x在区间,a上具有 2 阶导数，( )0,( )0,f afx设,ba曲线( )yf x在点( ,( )b f b处的切线与X 轴的交点是0(,0)x，证明：0axb。22、 （本题满分11 分）设矩阵111100aAaa,且30A， （1）求 a 的

21、值； （2）若矩阵 X 满足22,XXAAXAXAZ其中Z为 3 阶单位矩阵，求X。- 10 - 23、 （本题满分11 分）设矩阵02313312Aa，相似于矩阵12000031Bb，（1）求 a,b 的值（ 2）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵。- 11 - - 12 - - 13 - - 14 - 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题18小题每小题 4 分，共 32 分设2)(),(sin1cosxxxx，当0 x时，x（）（A）比x高阶的无穷小（ B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价无穷小（ D）与x等价无穷小2已知xfy是由方程1lncosxyxy确定，则

22、12limnfnn（）（A）2 （B）1 （ C） -1 （D）-2 设2, 2),0,sin)(xxxxf，xdttfxF0)()(则（）（）x为)(xF的跳跃间断点（）x为)(xF的可去间断点（）)(xF在x连续但不可导（）)(xF在x可导设函数exxxexxxf,ln11 ,) 1(1)(11，且反常积分dxxf收敛，则（）（A）2（B）2a（C）02a（D）20- 15 - 设函数xyfxyz，其中f可微，则yzxzyx（）（A）)( 2xyyf（B）)( 2xyyf（C）)(2xyfx（ D）)(2xyfx6设kD是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记kDkdxdyxyI

23、)(，则（）（A）01I（B）02I（C）03I（D）04I7设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价8矩阵1111aabaa与矩阵00000002b相似的充分必要条件是（A）2,0 ba（B）0a，b为任意常数（C）0,2 ba（D）2a，b为任意常数二、填空题（本题共6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9xxxx10)1ln(2lim10设函数dtexfxt11)(，则)

24、(xfy的反函数)(1yfx在0y处的导数0|ydydx11 设封闭曲线L 的极坐标方程为663cosrt为参数，则 L 所围成的平面图形的面积为12曲线上21lnarctantytx对应于1t处的法线方程为13 已 知xxxxxxeyxeeyxeey2322231,是 某 个 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 三 个 解 ， 则 满 足1)0( ,0)0(yy方程的解为14设ijaA是三阶非零矩阵，A为其行列式，ijA为元素ija的代数余子式，且满足)3 ,2 , 1,(0jiaAijij，则A= 三、解答题15 （本题满分10 分）- 16 - 当0 x时，xxx3cos2cos

25、cos1与nax是等价无穷小，求常数na,16 （本题满分10 分）设 D 是由曲线3xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，yxVV ,分别是 D 绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV10，求a的值17 （本题满分10 分）设平面区域D 是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求Ddxdyx218 （本题满分10 分）设奇函数)(xf在1 , 1上具有二阶导数，且1)1(f，证明：（1）存在)1 ,0(，使得1 f；（2）存在) 1 , 1(，使得1)()(ff19 （本题满分10 分）求曲线)0,0(133yxyxyx上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20 （本题满分1

26、1）设函数xxxf1ln)(求)(xf的最小值；设数列nx满足11ln1nnxx，证明极限nnxlim存在，并求此极限21 （本题满分11）设曲线 L 的方程为)1 (ln21412exxxy（1）求 L 的弧长（2）设 D 是由曲线L，直线exx, 1及x轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标22本题满分11分）设bBaA110,011，问当ba,为何值时，存在矩阵C，使得BCAAC，并求出所有矩阵C23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf记321321,bbbaaa（1）证明二次型f对应的矩阵为TT2；（2）若,正交

27、且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22212yy- 17 - 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1-8 小题 ,每小题 4分 ,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1)曲线221xxyx的渐近线条数( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2( )(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数 ,则(0)f( ) (A) 1( 1)(1)!nn(B) ( 1) (1)!nn(C) 1( 1)!nn(D) ( 1)!nn(3) 设1230 (1,2,

28、3),nnnanSaaaa，则数列nS有界是数列na收敛的( ) (A) 充分必要条件(B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件(D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),kxkIex x k则有( ) (A) 123III(B) 321III(C) 231III(D) 213III(5) 设函数( ,fx y）为可微函数，且对任意的, x y都有( , )( , )0,0,x yx yxy则使不等式1122(,)(,)f x yf xy成立的一个充分条件是( ) (A) 1212,xxyy(B) 1212,xxyy(C) 1212,xxyy(D) 1212,xxyy(

29、6) 设区域D由曲线sin ,12yx xy围成，则5(1)d dDx yx y( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) -(7) 设1100c,2201c,3311c,4411c,其 中1234,cccc为 任 意 常 数 ， 则 下 列 向 量 组线 性 相 关 的为( ) (A)123, (B) 124, (C)134, (D)234, - 18 - (8) 设 A为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且1100010002PAP.若123,P ，1223,Q 则1QAQ( ) (A) 100020001(B) 100010002(C) 200010002(D)2000200

30、01二、填空题：9-14 小题 ,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 设( )yy x是由方程21yxye所确定的隐函数，则202xd ydx. (10)22222111lim12nnnnnn.(11) 设1ln,zfxy其中函数fu可微，则2zzxyxy.(12) 微分方程2d3d0y xxyy满足条件11xy的解为y.(13) 曲线20yxx x上曲率为22的点的坐标是.(14) 设A为3阶矩阵，=3A，*A为A伴随矩阵，若交换A的第 1行与第 2行得矩阵B，则*BA. 三、解答题：15-23 小题 ,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应

31、写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10 分) 已知函数11sinxfxxx，记0limxafx，(I)求a的值 ; (II) 若0 x时，fxa与kx是同阶无穷小，求常数k的值 . (16)(本题满分10 分) 求函数222,xyfx yxe的极值 . (17)(本题满分12 分) 过(0,1)点作曲线:lnL yx的切线 ,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成 ,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分10 分) 计算二重积分dDxy，其中区域D为曲线1cos0r与极轴围成 . (19)(本题满分10 分) 已知函数( )f

32、 x满足方程( )( )2 ( )0fxfxf x及( )( )2xfxf xe, - 19 - (I) 求( )f x的表达式 ; (II) 求曲线220()()dxyf xftt的拐点 . (20)(本题满分10 分) 证明21lncos112xxxxx,( 11)x. (21)(本题满分10 分) (I)证明方程1xxxnn-1+1n的整数，在区间1,12内有且仅有一个实根；(II) 记(I)中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分) 设100010001001aaAaa，1100(I) 计算行列式A；(II) 当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解

33、，并求其通解. (23)(本题满分11 分) 已知1010111001Aaa，二次型123,TTfx xxxA A x的秩为 2，(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换xQy将f化为标准形 .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题(A)选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当0 x时，函数xxxf3sinsin3)(与kcx是等价无穷小，则（）（A）4, 1 ck（B）4, 1 ck（C）4,3 ck（D）4,3 ck（2）设函数)(xf在0 x处可导，且0)0(f

34、，则3320)(2)(limxxfxfxx（）（A）)0(2 f（B）)0(f（C）)0(f（D）0- 20 - （3）函数)3)(2)(1(ln)(xxxxf的驻点个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程)0(2xxeeyy的特解形式为（）（A）)(xxeea（B）)(xxeeax（C）)(xxbeaex（D）)(2xxbeaex（5）设函数)(xf，)(xg均有二阶连续导数，满足0)0(f，0)0(g，0)0()0(gf则函数)()(ygxfz在点)0 ,0(处取得极小值的一个充分条件是（）（A）0)0(f，0)0(g（B）0)0(f，0)0(g（C）0)0(f，0

35、)0(g（D）0)0(f，0)0(g（6）设40sinlnxdxI，40cotlnxdxJ，40coslnxdxK，则I，J，K的大小关系为（）（A）KJI（B）JKI（C）KIJ（D）IJK（7） 设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B， 再交换B的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。 记1000110011P，0101000012P，则A=（）（A）21PP（B）211PP（C）12PP（D）112PP（8） 设),(4321A是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵。 若T)0, 1 , 0,1( 是方程组0Ax的一个基础解系， 则0*xA的基础解系可为（）（A）31,（B）

36、21,（C）321,（D）432,二、填空题： 914 小题，每小题4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9）xxx10221lim。（10）微分方程xeyyxcos满足条件0)0(y的解为y。（11）曲线xtdty0tan)40(x的弧长s。- 21 - （12）设函数,0,)(kxexf,0,0 xx0，则dxxxf)(。（13）设平面区域D由直线xy，圆yyx222及y轴所围成，则二重积分Dxyd。（14）二次型3231212322213212223),(xxxxxxxxxxxxf，则f的正惯性指数为。三、解答题： 1523 小题，共94 分。请将解答写在答题纸指定位置上

37、，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分10 分）已知函数xdttxFx02)1ln()(，设0)(lim)(lim0 xFxFxx，试求的取值范围。（16） （本题满分11 分）设函数)(xyy由参数方程3131,313133ttyttx确定，求)(xyy的极值和曲线)(xyy的凹凸区间及拐点。（17） （本题满分9 分）设函数)(,(xygxyfz，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数)(xg可导且在1x处取得极值1) 1(g，求1, 12yxyxz。（18） （本题满分10 分）设函数)(xy具有二阶导数， 且曲线)(:xyyl与直线xy相切于原点， 记为曲线l在点),(y

38、x处切线的倾角，若dxdydxd，求)(xy的表达式。（19） （本题满分10 分）（I）证明：对任意的正整数n，都有nnn111ln11成立。（II）设), 2, 1(ln1211nnnan，证明数列na收敛。（20） （本题满分11 分）- 22 - 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由)21(222yyyx与)21(122yyx连接而成。（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为2smg，水的密度为3310mkg）（21） （本题满分11 分）已 知 函 数),(yxf具 有 二 阶 连 续 偏

39、导 数 ， 且0),1 (yf，0)1 ,(xf，Dadxdyyxf),(， 其 中10, 10),(yxyxD，计算二重积分DxydxdyyxfxyI),(。（22） （本题满分11 分）设向量组T) 1 , 0, 1(1，T) 1 , 1 , 0(2，T)5 , 3 , 1 (3不能由向量组T) 1 , 1 , 1(1，T)3 ,2, 1(2，Ta), 4, 3(3线性表示。（I）求a的值；（II）将321,用321,线性表示。（23） （本题满分11 分）设A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且A101101101101。（I）求A的所有的特征值与特征向量；（II）求矩阵A。2010年

40、全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题(A)的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxfA0 B1 C2 D3 2.设21, yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则- 23 - A21,21B21,21C31,32D32,32(1)aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2A4e B3e C2e De 4.设,m n为正整数 ,则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性A 仅与m取值有关B 仅与n取值有关C 与,m n取值都有关D 与,m n取值都无关5.设函数( , )zz x

41、y由方程(,)0y zFx x确定 ,其中F为可微函数 ,且20,F则zzxyxy= AxB zCxDz6.(4)2211lim()()nnxijnninj= A12001(1)(1)xdxdyxyB1001(1)(1)xdxdyxyC11001(1)(1)dxdyxyD112001(1)(1)dxdyxy7.设向量组线性表示，：，可由向量组sI21r21II,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则srB 若向量组I 线性相关，则rs C 若向量组II 线性无关，则srD 若向量组II 线性相关，则rs 15.设A为4 阶 对 称 矩 阵 , 且20,AA若A的 秩 为3, 则A相

42、 似 于A1110B1110C1110D1110二填空题9.3 阶常系数线性齐次微分方程022yyyy的通解 y=_ (1)曲线1223xxy的渐近线方程为_ (2)函数_)0(0)21ln()(nynxxy阶导数处的在- 24 - (3)_0的弧长为时，对数螺线当er(4)已知一个长方形的长l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 _ (5)设 A，B 为 3 阶矩阵，且_,2,2,311BABABA则三解答题(6)的单调区间与极值。求函数2212)()(xtdtetxxf16.(1)比较10ln ln(1)n

43、ttdt与10ln(1,2,)ntt dt n的大小 ,说明理由 . (2)记10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu九、设函数 y=f(x) 由参数方程。求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1 (2)()1(),(,2222ttdxydtttyttx十、一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b23时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为3/ mkg）十一、0,. 05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使

44、等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数十二、.40,sec0),(D,2cos1sin22rrdrdrrID其中计算二重积分十三、设函 数f(x) 在 闭 区 间 0,1 上 连 续 ， 在 开 区 间 (0,1) 内 可 导 ， 且f(0)=0,f(1)=31, 证 明 ： 存 在.)()(),1 ,21(),21,0(22ff使得十四、- 25 - 的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA)2(.12.11,110101123.设0431410aaA，正交矩阵Q 使得AQQT为对角矩阵，若Q 的第一列为T)1 ,2, 1 (61，求 a、Q.

45、 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数，则（）A1. B2. C3. D无穷多个 . （2）当0 x时，sinfxxax与2ln 1g xxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab. （3）设函数,zfx y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是,fx y的连续点 . B不是,fx y的极值点 . C是,fx y的极大值点 . D是,fx

46、 y的极小值点 . （4）设函数,fx y连续，则222411,yxydxfx y dydyfx y dx（）A2411,xdxfx y dy. B241,xxdxfx y dy. C2411,ydyfx y dx. D.221,ydyfx y dx（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（）A有极值点，无零点. B无极值点，有零点. C有极值点，有零点. D无极值点，无零点. - 26 - （6）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0 xF xf t dt的图形为（）A. B. C.D.（7）设A、B均为 2 阶矩阵，*AB，分别为A、B的

47、伴随矩阵。若A =2 B =3，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）A.*0320BAB.*02B3A0C.*03A2B0D.*02A3B0( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 1 ( )f x-2 0 2 3 x-1 O - 27 - （8）设AP，均为 3 阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且T100P AP=010002，若P=Q=+1231223（，），（，），则Q AQT为（）A.210110002B.110120002C.200010002D.1000

48、20002二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为（10）已知+1k xedx,则k（11）n1limesin0 xnxdx（12）设( )yy x是由方程xy1yex确定的隐函数，则2x=0d y=dx2（13）函数2xyx在区间01 ，上的最小值为(14)设，为 3 维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T=三、解答题：1523 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分9 分

49、）求极限401cosln(1tan )limsinxxxxx（16） （本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x（17） （本题满分10 分）设,zfxy xy xy，其中f具有 2 阶连续偏导数，求dz与2zx y- 28 - （18） （本题满分10 分）设非负函数yy x0 x满足微分方程20 xyy，当曲线yy x过原点时， 其与直线1x及0y围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19） （本题满分10 分）求二重积分Dxy dxdy，其中22,112,Dx yxyyx（20） （本题满分12 分）设( )yy x是区间-（， ）内过-22（，）的

50、光滑曲线，当-0 x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0 x时，函数( )y x满足0yyx。求( )y x的表达式（21） （本题满分11 分）（ ） 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： 若 函 数fx在,a b上 连 续 ， 在, a b可 导 ， 则 存 在,a b， 使 得f bfafba（） 证明： 若函数fx在0 x处连续， 在0,0内可导， 且0limxfxA，则0f存在，且0fA。（22） （本题满分11 分）设111111042A，1112（）求满足22131,AA的所有向量23,（）对（）中的任一向量23,，证明：123,线性无关。（23） （本题满分11 分）设