微专题3 函数思想讲义--高一上学期数学人教A版必修1.docx

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1、微专题3.函数思想二次函数应该是我们在正式学习导数前用的最多的函数，可也是我们在教学中最易忽视的地方，原因在于我们没有深刻意识到高中的二次函数对于研究函数最大的价值，而仅仅把它当成一个应该是初中老师教的一类函数罢了.这样观念上的认知不足所导致的后果就是：学生在学习导数之前，没有深刻体会到处理函数的一般思路，而学完导数后，我们又认为学生应该掌握了处理函数的思路，于是乎，导数学习就经历从处理意识不足到游刃有余的历程，这样的思维跨度太大，很多学生很难一时接受的，从而最终导致在导数应用时出现以下困难：1. 求导过程的分类讨论思想不足；2. 二次以上求导意识不够；3. 缺乏从导数到值域（最值）的转化意识

2、，特别是稍复杂的情景，难以应对. 我认为上述现象的出现原因之一便是在导数之前缺少了足够的函数处理经验，对从单调性到函数值域的基本解题思想认识不足，而这恰是二次函数没学好的后果. 高中阶段学习二次函数最重要的一类题型就是动轴定区间问题，其实质为闭区间上函数值域的计算，而这正是单调性的功效.所以，我们应该要在正式学习导数之前通过二次函数或者指对与二次结合的问题，融入这样的思想：用单调性来分析值域.淡化对称轴的概念，突出轴背后的单调性变化. 这样的设计就可以再慢慢融入恒成立问题，其实质也在于值域（最值）的计算.我想，如果学生能在导数之前的函数学习中逐渐理解单调性分析值域的基本思想后，他们对导数的理解

3、和把握会更上一层楼! 基于上面的分析，本节课的设计思路也就很明确了，下来展示具体内容：一 闭区间上二次函数值域例1已知函数，求的最小值的表达式【详解】（1）当时，对称轴：，在上单调递减，在上单调递增，故函数的值域为（2）的对称轴：，若时，即，在上单调增，；若时，即，在上单调减，；若时，即，在上单调减，在上单调增，；综上所述：13已知二次函数，且满足，.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最小值（用表示）.【详解】（1）因为二次函数满足，所以，即，所以，解得，因此；（2）因为是对称轴为开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，；综上.12已知二次函数

4、满足，且方程有两个相等实根.（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使的定义域是，值域是.若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【详解】（1）由得：；由有等根得：有等根，得，将代入得：，；（2），即，而对称轴为，即在的左边，由二次函数的性质知：在区间上单调递增，则有，解得，故存在实数，使的定义域是，值域是.11已知函数的图象与轴的两个不同交点的横坐标分别为，.（1）求的取值范围；（2）若函数在上是减函数、且对任意的，总有成立，求实数的范围【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，由韦达定理得：，所以，解之得：或；（2），令，则当时，当时，所以，所以，即的取值范围为；（3）函数的对称轴为，

5、在上是减函数，所以有，即，又因为对任意的，总有，要使成立，则必有，在区间上，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以有，即，解之得：，综上，实数m的范围是二 二次函数恒成立问题3已知函数，. 若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围.【详解】（2）在上能成立，在上能成立，（当且仅当时取“”），.4已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的最大值.解：（1）当时，由得，即，解得，所以不等式的解集为，（2）由，得，所以问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为5，所以，所以的最大值为55已知函数，若对任意，存在，使，求

6、实数的最大值解：根据题意，可将问题转化为.，当，即时，函数在上单调递减，；当，即时，.而在上单调递增，故.所以或，解得，所以实数的最大值为.总练习题14已知二次函数满足：，且方程有两个相等实根.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值；（3）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.【详解】（1）因为，所以的对称轴为，所以，又因为有两个相等的实数根，所以有两个相等的实数根，所以，所以，所以，所以；（2）因为的对称轴为，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，综上：当时，的最大值为；当时，的最大值为；（3）因为在上单调递增，所以当时，因为对于任意，总存在，使得

7、成立，所以在时的值域是在时的值域的子集，因为在上单调递增，所以当时，所以，所以，所以，即.10函数，（1）求函数的单调性：（2）若，求使恒成立时的取值范围；（3）若，使得，求实数的取值范围【详解】（1）当时，任取，且，则因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以在时单调递增（2）恒成立，则，又因为为开口向上二次函数，对称轴为若，即时，与矛盾：若，即时，所以若，即时，所以；综上：（3）依题意，的值域含于的值域，当时，单调递增，所以，当，时，单调递增，所以，；所以，又，综上：.8已知函数，.（1）若函数在上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.（3）设，记为函数在上的

8、最大值，求的最小值.解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.又在上存在零点，所以，解得故的取值范围为（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为当时，不符合题意，舍去.当时，在上的值域，只需，解得当时，在上的值域为，只需，无解.综上，的取值范围为（3）当或时，在上单调递增，则；当时，解，得，故当，综上，于是的最小值为9已知二次函数满足条件，（1）求函数的解析式；（2）设，其中，函数在时的最大值是，求函数；（3）若（为实数），对于任意，总存在使得成立，求实数的取值范围【详解】

9、（1），设，故，解得：，；（2），分以下情况讨论，的最大值当时，在上是减函数，；当时，的图象关于直线对称，故只需比较与的大小当即时，当即时，；综上所得；（3），函数的值域为，在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则，若对零点及其应用设计大单元的微专题设计，就必须深入思考零点及其应用的教学意义和价值，它究竟在高中函数板块的学习中起着什么样的作用？我认为其价值有：1.凸显了函数的应用价值，即方程求根实际上并不是普遍的方法，随着方程形式越发复杂，求精确根已经是次要的了，重要的是探讨根的存在性，只要存在，总可以设计算法求出近似解，这已经是现代计算数学的基本特点了.而存在性的分析就需要借助

10、整体的性态.若零点存在是一个局部现象的话，我们对局部问题的分析从整体角度入手，这是数学发展中最重要的思想.2.既然零点的分析凸显函数的价值，那么零点问题实际就是一个分析函数整体形态的问题，这也就是为何零点是必考内容的原因了.考察零点，就是考察学生分析函数的能力.3.着重提高直观想象能力，分析零点离不开函数图象，而作图能力又进一步会提升分析函数形态的逻辑推理能力.基于上述三点分析，可以肯定的是：零点是函数应用中最重要的载体，零点的微专题拔高设计就应该突出对作图能力的提升，以及对函数性质的分析.在上述目标之下，再引入一些常见的零点问题的处理手法，分离参数，多变量零点的处理等常见题型，为后续学完导数

11、后再次应用零点奠定坚实的基础. 于是，我将在导数之前常见的零点问题做了如下归类，即图象分析类的选填部分与函数性态分析综合解答题部分两块，然后再梳理一些常见题型. 二.图象分析的零点题型题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数.解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.例1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD小结：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、，则函数的零点个数为.例2.已知为偶函数，为奇函数，且满足.（1）求、；（2）若，且方程有三个解，求

12、实数的取值范围.题型2. 型方程例3.已知函数，则函数的零点个数为个A7 B8 C9 D10练习. （多选）已知函数，下列是关于函数的零点个数的4个判断，其中正确的是A当时，有3个零点B当时，有2个零点C当时，有4个零点D当时，有1个零点小结：求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.题型3.分段函数的零点例4已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）ABCD例5已知函数 (，且)在

13、区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD练习已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D题型4.整点问题例6设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为ABCD题型5.多变量零点问题例7已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是（ ）ABCD例8已知，若互不相等，且，则的范围是（ ）ABCD【答案】B三. 零点综合问题例9已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.例10已知函数的图象经过点.（1）求的值，并判断的奇偶性；（2）设，若关于的方程在上有且只有一个解，求的取值范围.学科网（北京）股份有限公司