中考数学压轴题二次函数与圆.doc

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1、第四讲：二次函数与圆综合中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；例题精讲一、二次函数与圆综合【例1】 已知：抛物线与轴相交于两点，且（）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（）若，求的取值范围；（）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值

2、；若不存在，试说明理由；（）若直线过点，与（）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式【解析】（）解法一：由题意得，解得，为正整数，解法二：由题意知，当时，（以下同解法一）解法三：，又（以下同解法一）解法四：令，即，（以下同解法三）（）解法一：，即 ，解得：的取值范围是解法二：由题意知，当时， 解得：的取值范围是解法三：由（）的解法三、四知，的取值范围是（）存在解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， 由切割线定理知，即，解法二：连接圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为，则，在中， 即解得 （）设，则过分别向轴引垂线，垂足分别为 则所以由平行线分线段成比例定理知，因此，即

3、过分别向轴引垂线，垂足分别为，则所以 ，或 当时，点直线过， 解得当时，点直线过， 解得故所求直线的解析式为：，或 【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=x2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以即M过M点作y轴的垂

4、线，垂足为Q，在所以，解得，。所求抛物线为：或以下同下。解法二：由题意得,设点M的坐标为点M在直线上，由勾股定理得，=，即解方程组，得，或当时，设抛物线解析式为，抛物线过点，当时，设抛物线解析式为抛物线过点，所求抛物线为： 或（2）抛物线与x轴有两个交点，不合题意，舍去。抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，得（3）AB是N的直径，r = ， N（2，0），又M（2，4），MN = 4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），DN = 4，可得MN = DN，作NGCM于G，在= r 即圆心到直线CM的距离等于N的半径直线CM与N相切【例3】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象

5、与轴交于点，抛物线经过，两点试用含的代数式表示；设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在内，它所在的圆恰与相切，求半径的长及抛物线的解析式；设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】解法一：一次函数的图象与轴交于点点的坐标为(，)抛物线经过、两点， 解法二：一次函数的图象与轴交于点点的坐标为()抛物线经过、两点抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可知，点在上，且又由()知抛物线的解析式为点的坐标为()当时，如图，设被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所

6、得劣弧为，显然所在的圆与关于轴对称，设它的圆心为点与点也关于轴对称点在上，且与相切点为切点，为等腰直角三角形，点的纵坐标为，抛物线的解析式为当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，半径的长为，抛物线的解析式为或 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得设点的坐标为()，且当点在抛物线上时(如图)点是的优弧上的一点，过点作轴于点，由解得：(舍去)点的坐标为 当点在抛物线上时(如图)，同理可得，由解得：(舍去)点的坐标为 综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆，并充分利用轴对称的性质本题考点：1直线与圆的位置关系(切线的

7、性质)；2轴对称；3等腰直角三角形的性质，4三角函数；5二次函数解析式的确定【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点， 是的切线动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)当时，得到、两点，求经过、三点的抛物线解析式及对称轴；当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；在的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由【解析】 由题意得，的坐标分别为，设抛物线解析式为，则，所求抛物线为对称轴为直线： 设时，与切于点连结，则，又，分别平分和而，即，由

8、于时间只能取正数，所以即当运动时间时，与相切此时：， 点关于直线的对称点为，则直线的解析式为：直线交直线于，此时最小，【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点已知抛物过点和，与轴交于点 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式【解析】由已知，得，抛物线过点和，则，解得则抛物线的解析式为，故(说明：抛物线的大致图象要过点、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)如图，抛物线对称轴是，抛物线上，过点作轴于点，则，又与关于对称轴l对称，的最小值CAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图当在第

9、四象限时，如图，连结和由已知，得是的切线，则又，又在和中，则设所在直线的解析式为，过点，解得直线的解析式为又直线过原点，且，则的解析式为当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，直线的解析式为点评：本题难度不大，第问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条考点：1二次函数解析式的确定；2轴对称；3切线的性质；4一次函数解析式的确定【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是过点作轴，垂足是点 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ； 当和直线相切

10、时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由【解析】 ， 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则过点作的垂线，垂足为，则， 所以 当点在射线上，和直线相切时，同理可证取时，或 当和直线不相离时，则，由知，分两种情况讨论： 如图乙，当时， 当时，(满足)，有最大值此时(或) 当时，显然和直线相切，即时，最大此时 综合以上和，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用

11、前面的结论，解决第问时要先确定的取值范围，然后分类讨论考点：1一次函数解析式的确定；2等边三角形的判定及性质；3直线与圆的位置关系；4全等三角形；5两函数图象交点坐标的确定；6二次函数的最值【答案】（1），；（2）或；（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴一次函数的图象与 二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为平行于轴的直线过点 求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点当为何值时，过三点的圆的

12、面积最小？最小面积是多少？【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2006年，山东潍坊【解析】 把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得，二次函数解析式为 由，解得或，过点分别作直线的垂线，垂足为，则，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则，的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相切 平移后二次函数解析式为，令，得，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，而

13、，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用考点：1一次函数，二次函数解析式的确定；2直线与圆的位置关系，3二次函数图象的平移；4圆心的性质；5点到直线垂线段最短【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为（2）以为直径的圆与直线相切（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为【例8】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切； 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式； 设点的横坐标

14、为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，江苏宿迁【解析】 四边形为正方形，、在同一条直线上，直线与相切； 直线与相切分两种情况：如图2， 设点在第二象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为；如图3，设点在第四象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为 设，则，由得【答案】（1）直线与相切；（2）或；（3），【例9】 如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为

15、顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆设点运动了秒，求： 点的坐标（用含的代数式表示）； 当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，江苏无锡【解析】 过作轴于，点的坐标为 当与相切时（如图1），切点为，此时，（4分）当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，过作于，则， 当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则， 过作轴于，则，化简，得，解得，所求的值是，和 【答案】（1）点的坐标为；（2）所求的值是，和【例10】 已知：抛物线，顶点，与轴交于、两点， 求这条抛物

16、线的解析式 如图，以为直径作圆，与抛物线交于点，与抛物线对称轴交于点，依次连接、，点为线段上一个动点(与、两点不重合)，过点作于，于，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 在的条件下，若点是线段上一点，过点作，分别与边、相交于点、(与、不重合，与、不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【考点】二次函数与圆综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，山东济南【解析】 设抛物线的解析式为将代入：，抛物线的解析式为，即： 是定值，为直径， 同理： + ： 直线为抛物线对称轴， 垂直平分为等腰直角三角形 7分如图，过点作于，由已知及作法可知，四边形是

17、矩形，且在和中，且 8分在和中， 由、知：【答案】（1）；（2）是定值，；（3）成立【例11】 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、三点作抛物线 求抛物线的解析式； 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式； 在的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，四川资阳【解析】 以为直径作，交轴的负半轴于点，又，又， 又，解得 (负值舍去)，3分设抛物线解析式为，解得，二次函数的解析式为，即 为的直径，且， 点是延长线上一点，的平分线交于

18、点，连结交于点，则， 设直线的解析式为 解得直线的解析式为 假设在抛物线上存在点，使得，方法一：设射线交于点，则分两种情况(如答案图1所示)：，把点、绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合，因此，点符合，用待定系数法可求出直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去，点关于轴对称的点的坐标为也符合，用待定系数法可求出直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去 符合条件的点有两个：，方法二：分两种情况(如答案图2所示)：当时，能使，用待定系数法可求出直线解析式为又，设直线的解析式为把代入可求，直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去在线段上取一

19、点，使时，得，由知，直线解析式为取，得，又，直线解析式为 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去符合条件的点有两个：，方法三：分两种情况(如答案图3所示)：求点坐标同解法二 过点作的平行线，交圆于，此时，由题知直线的解析式为，又 可求得的解析式为，设，作轴交与轴与，连结，在中，利用勾股定理可得，由与可得，的解析式为， 解方程组得 点坐标为，坐标为不符合题意，舍去符合条件的点有两个：，【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点有两个：，【例12】 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 求的值及抛物线顶点坐标； 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，

20、求直线的解析式； 在条件下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合，【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，荆门【解析】 由抛物线可知，点的坐标为，且设，则有又是的斜边上的高， ，即，解得或，而，故只能取这时，故抛物线的顶点坐标为 解法一：由已知得：抛物线的对称轴是，也是的对称轴，连结是的直径，直线，垂直平分，点的坐标为且，又，由两点的坐标易求直线的解析式为：可设直线的解析式为，把代入求得故直线的解析式为解法二：令，解得即，根据圆的对称性，易知：半径为，在中，同理，而，在中，点的坐标为

21、在中，点的坐标为直线的解析式为 解法一：存在常数，满足连结由垂径定理可知，(或利用) 又，即在中，(或利用解法二：存在常数，满足设由相交弦定理得，即化简得：，即【答案】（1），；（2）；（3）存在常数，满足【例13】 已知二次函数的图象经过点，并与轴交于点和点，顶点为 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象； 设为线段上的一点，满足，求点的坐标； 在轴上是否存在一点，使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2004年，山西【解析】 二次函数的图象过点，得

22、 ，解得这个二次函数的解析式为：由解析式可求，画出二次函数的图象 解法一：易证：又已知：，易求， 解法二：过作轴，垂足为设抛物线的对称轴交轴于亦可证，易求：， 存在过作，垂足分别为，设交轴于，的延长线交轴于是等腰直角三角形，是的内切圆圆心，又且，得，在轴的负半轴上，存在一点M同理，得 即在轴上存在满足条件的两个点点评：本题综合了二次函数，圆与相似等知识，解决第(2)问时需注意为等腰直角三角形，于是，从而利用相似可以求解；第(3)问需注意分类讨论考点：1二次函数解析式的确定；2抛物线顶点坐标；3直线与圆的位置关系；4三角形内心【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在满足条件的两个点，【例14】

23、已知的半径为，以为原点，建立如图所示的直角坐标系有一个正方形，顶点的坐标为，顶点在轴上方，顶点在上运动 当点运动到与点、在一条直线上时，与相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； 设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，常州【解析】 与相切在一直线上，所以是的切线与相切时，有两种情况：切点在第二象限时(如图)，设正方形的边长为，则，解得，或(舍去)过点作于，则，所以点的坐标是(，) 所在直线对应的函数表达式为切点在第四象限时(如图)

24、，设正方形的边长为，则，解得 (舍去)，或 过点作于，则，点的坐标是(，)所在直线对应的函数表达式为 如图，过点作于，连接，则 ，的最大值为，的最小值为点评：本题是一道正方形，圆，函数的综合题，难度不大，第(1)问注意分类讨论，第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质考点：1正方形的性质；2切线的判定；3相似三角形；4一次函数解析式的确定；5一次函数的最值；6勾股定理【答案】（1）与相切（2），的最大值为，的最小值为【例15】 如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为， 若的外接圆与轴交于点，求点坐标 若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加

25、以说明 二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，求此函数的解析式【考点】二次函数与圆综合，三角形的外接圆及外心，直线与圆位置关系的确定【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，四川达州【解析】 连结，则在中，所以 所以点的坐标是 猜想是与圆相切是直角，所以是圆的直径又，即切外接圆于点 依题意可设二次函数的解析式为： 由此得顶点坐标的横坐标为：；即顶点在的垂直平分线上，作的垂直平分线，则得得到，可得一个顶点坐标为同理可得另一个顶点坐标为分别将两顶点代入可解得的值分别为，则得到二次函数的解析式是或【答案】（1）；（2）切外接圆于点；（3）或【例16】 如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点 求两点的坐标； 求直线的函数解析式； 设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长试探究：的最大面积？【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积【难度】5星【题型】解答【关键词】2008，浙江嘉兴【解析】 ，作于，为正三角形，连， ，是圆的直径，又是圆的切线，设直线的函数解析式为，则，解得直线的函数解析式为 ，四边形的周长设，的面积为，则，当时，点分别在线段上，解得满足，的最大面积为【答案】（1），；（2）；（3）当时，的最大面积为