控制系统的稳定性 (2)精选课件.ppt
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1、关于控制系统的稳定性(2)第一页,本课件共有73页 稳稳定定性性是是控控制制系系统统最最重重要要的的问问题题,是是系系统统正正常常工工作作的的首首要要条条件件。控控制制系系统统在在实实际际运运行行中中,总总会会受受到到外外界界和和内内部部一一些些因因素素的的扰扰动动,例例如如负负载载或或能能源源的的波波动动、环环境境条条件件的的改改变变、系系统统参参数数的的变变化化等等。如如果果系系统统不不稳稳定定,当当它它受受到到扰扰动动时时,系系统统中中各各物物理理量量就就会会偏偏离离其其平平衡衡工工作作点点,并并且且越越 偏偏 越越 远远,即即 使使 扰扰 动动 消消 失失 了了,也也 不不 可可能恢复
2、原来的平衡状态。能恢复原来的平衡状态。第二页,本课件共有73页如果系统受到扰动后,偏离了原来的平衡状态,而当扰如果系统受到扰动后,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后,系统又能够逐渐恢复到原来的状态,则称系统是动取消后,系统又能够逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳定的,或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的,或不具稳定的,或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的,或不具有稳定性。有稳定性。5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念第三页,本课件共有73页 控制系统的稳定性也可以这样定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下,其过渡过程随着时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复原来平衡状态的性能
3、,则称该系统为稳定;否则,称该系统为不稳定。必须指出:稳定性是系统的固有特性,它取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关。控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性,即讨论输入为零,系统仅存在非零初始偏差时的稳定性,或者讨论自由振荡是收敛的还是发散的。第四页,本课件共有73页5.2系统稳定性的充要条件系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零,对系统加上理想单位脉冲信号若系统初始条件为零,对系统加上理想单位脉冲信号 ,系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数,系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ,就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如
4、果当情况。如果当 时,脉冲过渡函数时,脉冲过渡函数 收敛于系收敛于系统原平衡工作点,即下式成立:统原平衡工作点,即下式成立:则线性系统是稳定的。则线性系统是稳定的。第五页,本课件共有73页 设系统闭环传递函数为:设系统闭环传递函数为:系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为:设特征根互不相等,设特征根互不相等,系统闭环传递函数可改写如下:系统闭环传递函数可改写如下:闭环特征根为闭环特征根为:则系统脉冲响应的拉氏变换为:则系统脉冲响应的拉氏变换为:第六页,本课件共有73页得系统的脉冲过渡函数为(响应)得系统的脉冲过渡函数为(响应)(1)(1)若若 为实数为实数若系统稳定若系统稳定(2)(2)若若 为
5、复数为复数发散发散第七页,本课件共有73页线性系统稳定的充分必要条线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有件是它的所有特征根都具有负实部或都位于负实部或都位于S S平面的左半平面的左半平面,则系统稳定。平面,则系统稳定。(3)(3)若特征根为若特征根为k k个实根,个实根,r r个复数根,个复数根,第八页,本课件共有73页 控制系统稳定的充分必要条件为:系统特征方程的根全部具有负实部。系统特征方程的根就是闭环极点,所以控制系统稳定的充分必要条件也可以表示为:闭环传递函数的极点全部具有负实部,或者说闭环传递函数的极点全部位于平面的S左半面内。第九页,本课件共有73页例例 一个单位反馈系统
6、的开环传递函数为一个单位反馈系统的开环传递函数为试说明系统是否稳定。试说明系统是否稳定。解:系统的闭环传递函数为解:系统的闭环传递函数为系统稳定系统稳定第十页,本课件共有73页1.1.系统稳定性的初步判别系统稳定性的初步判别(必要条件)(必要条件)设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系统的闭环特征方程式为如下标准形式:2.2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据5.2代数稳定性判据代数稳定性判据第十一页,本课件共有73页直至其余 项均为零。第十二页,本课件共有73页按此规律一直计算到按此规律一直计算到n n-1-1行为止。行为止。考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列考察阵列表第一列系数的符号。假若劳
7、斯阵列表中第一列系数均为正数,则该系统是稳定的表中第一列系数均为正数,则该系统是稳定的;假若第一列系数有负数,则系统不稳定,并且假若第一列系数有负数,则系统不稳定,并且第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。根的个数。结论:结论:第十三页,本课件共有73页二阶系统稳定的充要条件:三阶系统稳定的充要条件:,第十四页,本课件共有73页例例 系统特征方程系统特征方程为为试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解:解:(1)(1)特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实
8、数第一列的第一列的系数都为系数都为正数,系正数,系统稳定统稳定第十五页,本课件共有73页例例 系统特征方程为系统特征方程为试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解:解:(1)(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。有两个根位于有两个根位于s平平面的右半平面面的右半平面第十六页,本课件共有73页练习练习 系统特征方程系统特征方程为为试用劳斯判据判别系统是否稳定,若不稳定,则确定试用劳斯判据判别系统是否稳定,若不稳定,则确定具有正实部根的个数。
9、具有正实部根的个数。答案:答案:系统不稳定系统不稳定,有两个根有两个根具有正实部具有正实部,即有两个即有两个根位于根位于s s平面的右半平平面的右半平面面第十七页,本课件共有73页劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况、劳斯表中某一行第一列元素为零,其余不为零或不、劳斯表中某一行第一列元素为零,其余不为零或不全为零,这时可用一个很小的正数来代替这个零,全为零,这时可用一个很小的正数来代替这个零,然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号,然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号,则系统临界稳定,否则不稳定。则系统临界稳定,否则不稳定。第十八页,本课件共有73页解:解:(1)(1)系
10、统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。第一列第一列为零为零(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:系统不稳定,系统不稳定,且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部第十九页,本课件共有73页练习练习 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。系统不稳定,系统不稳定,且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部第二十页,本课件共有73页 若劳斯阵列表中某一行(设为第若劳斯阵列表中某一行(设为第k k行)的所有系数均行)的所有系数均为零,则说明在根平面内存在一
11、些大小相等,并且关于为零,则说明在根平面内存在一些大小相等,并且关于原点对称的根。原点对称的根。(3)(3)解辅助方程,得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程,得到所有数值相同、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成辅助方程,辅助方程的最高阶行元素构成辅助方程,辅助方程的最高阶次为次为(n-k+2)(n-k+2),然后,然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助方程对将辅助方程对s s求导,其系数作为全零行的元素,求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳斯表。继续完成劳斯表。第二十一页,本课件共有73页(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解
12、:解:(1)(1)特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。解辅助方程得解辅助方程得:第二十二页,本课件共有73页例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。若不稳定,则确定具有正实部根的个判别系统的稳定性。若不稳定,则确定具有正实部根的个数。数。第二十三页,本课件共有73页 练习练习 系统特征方程为系统特征方程为第二十四页,本课件共有73页设一单位反馈控制系统如图所示,求使系统稳定的设一单位反馈控制系统如图所示,求使系统稳定的k k的范围的范围解解(1)系统的传递函数为:系统的传递函数为:特征方程为:
13、特征方程为:(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表系数都为正实数系数都为正实数第二十五页,本课件共有73页(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表0 0 K K 30,0 0,30-30-K K 0 0第二十六页,本课件共有73页按稳定要求确定按稳定要求确定 T T 的临界值。的临界值。解解 劳斯阵列表为劳斯阵列表为即必须即必须 T 25T 25系统才能稳定。系统才能稳定。例例11 11 系统特征方程式为系统特征方程式为第二十七页,本课件共有73页乃奎斯特稳定性判据(预备知识)乃奎斯特稳定性判据(预备知识)时域判据的弱点:时域判据的弱点:工工程程设设计计中中,组组成成系系统统的的各各种种参参数数尚尚未未最
14、最后后确确定定,时时域域判判据据不不能能应用;应用;时时域域判判据据仅仅能能判判断断系系统统是是否否稳稳定定,不不能能说说明明系系统统稳稳定定或或不不稳稳定定的的程度,因而不能提出改善系统性能的具体途径。程度,因而不能提出改善系统性能的具体途径。Nyquist判据特点:判据特点:图解法:由图解法:由几何作图几何作图判定系统稳定性;判定系统稳定性;由由开开环环特特性性判判断断闭闭环环系系统统稳稳定定性性(开开环环特特性性由由分分析析法法或或实实验验法获得);法获得);可判断系统可判断系统相对稳定性相对稳定性;可指出各环节对系统稳定性的影响。可指出各环节对系统稳定性的影响。第二十八页,本课件共有7
15、3页5.3Nyquist稳定判据稳定判据一、幅角原理(一、幅角原理(Cauchy)对于复变函数对于复变函数 如果函数如果函数f(Z)在)在Z0及及Z0的邻域内处处可导,那的邻域内处处可导,那么称么称f(Z)在)在Z0解析解析。如果在区域如果在区域D内每一点解析,那么称内每一点解析,那么称f(Z)在)在D内解析或称内解析或称f(Z)是)是D内的一个内的一个解析函数解析函数。如果如果f(Z)在)在Z0不解析,那么称不解析,那么称Z0为为f(Z)的)的奇奇点点。第二十九页,本课件共有73页n设设F(s)在在s平面上(除有限个奇点外)为单值的连续平面上(除有限个奇点外)为单值的连续正则函数。正则函数。
16、n设设s平面上解析点平面上解析点s映射到映射到F(s)平面上为点平面上为点F(s),或为从原点指向此映射点的向量或为从原点指向此映射点的向量F(s)。n在在s平面上任意选定一封闭曲线平面上任意选定一封闭曲线Ls,只要此曲线不经,只要此曲线不经过过F(s)的奇点,则在的奇点,则在F(s)平面上必有一对应的映射曲线平面上必有一对应的映射曲线LF,也是一封闭曲线。,也是一封闭曲线。n当解析点当解析点s按按顺时针顺时针方向沿方向沿Ls变化一周时,向量变化一周时,向量F(s)将将按按顺时针顺时针方向旋转方向旋转N周,即周,即F(s)以原点为中心顺时针旋转以原点为中心顺时针旋转N周,这就等于曲线周,这就等
17、于曲线LF顺时针包围原点顺时针包围原点N次。次。第三十页,本课件共有73页第三十一页,本课件共有73页令:令:Z为包围于为包围于Ls内的内的F(s)的零点数,的零点数,P为包围为包围于于Ls内的内的F(s)的极点数,则的极点数,则N=Z-P向量向量F(s)的相位为的相位为假设假设Ls内只包围了内只包围了F(s)的一个零点的一个零点zi,其他零极,其他零极点均位于点均位于Ls之外,当之外,当s沿沿Ls顺时针方向移动一周顺时针方向移动一周时,向量时,向量(s-zi)的相位角变化的相位角变化-2弧度,而其他各弧度,而其他各向量的相位角变化为零。即向量向量的相位角变化为零。即向量F(s)的相位角变的相
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