初中数学微专题讲义专题3.10 二次函数中考题型归类.doc

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1、二次函数中考题型归类二次函数中考题型归类【专题综述】二次函数是初中数学的核心知识之一，也是中考的必考考点.考查的主要知识点有:二次函数的概念，二次函数解析式的三种表达形式，二次函数的图象及其性质，二次函数与一元二次方程和不等式的关系，用二次函数解决实际问题.为方便同学们学习，及时理解二次函数在中考中的地位，现以中考试题为例，对二次函数的典型题型进行展示与解析.【方法解读】一、二次函数的概念例 1若函数2(1)42yaxxa的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为.分析:题目中没有说明函数的类型，由于a是变化的，因此这个函数可能是二次函数，也可能是一次函数，前者的条件是1a，后者的条件是1a，所

2、以需要进行分类讨论.解:当1a 时，函数2(1)42yaxxa是二次函数，由它的图象与x轴有且只有一个交点，得2(4)4(1)20aa V.整理，得220aa.解得122,1aa.当1a 时，函数2(1)4242yaxxax 是一次函数，其图象与x轴的交点为1(,0)2，满足“图象与x轴有且只有一个交点”的要求，因此1a 满足要求.综上所述，a的值为 1 或 2 或-1.评注:形如2yaxbxc(,a b c为常数，0a)的函数叫做二次函数.这里有两个要素:一是0a，二是x的最高次数为 2，两者缺一不可.不能误认为2yaxbxc就一定是二次函数，当0,0ab时，它是一次函数;当0,0ab时，它

3、是平行(或重合)于x轴的一条直线.因此，对于这类含字母系数的函数问题，要弄清它是否一定为二次函数，注意进行分类讨论.中考时，命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识.学科网二、二次函数的图象与性质例 2(1)(2017金华)对于二次函数2(1)2yx 的图象与性质，下列说法正确的是()A.对称轴是直线1x，最小值是 2来源:学科网ZXXKB.对称轴是直线1x，最大值是 2C.对称轴是直线1x ，最小值是 2D.对称轴是直线1x ，最大值是 2(2)(2017宁波)抛物线2222yxxm(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)(2016广州)对于二次函数

4、2144yxx，下列说法正确的是()A.当0 x 时，y随x的增大而增大B.当2x 时，y有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2,-7)D.图象与x轴有两个交点分析:(1)由于已知二次函数的解析式是顶点式，所以可以直接写出它的对称轴与最值，再与选项比较得到正确结论.(2)根据题目的特点，要将抛物线2222yxxm(m是常数)化为顶点式，这只要在等号的右边加上并减去“-2 一半的平方”即可.(3)先将2144yxx 化为顶点式，再根据二次函数的性质确定正确的选项.解:(1)2(1)2yx Q，抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x.当1x 时，y有最大值 2.故选 B.(2)由题

5、意，配方有2222222221 12(1)1yxxmxxmxm ，可知抛物线的顶点坐标为2(1,1)m.又210,10m,抛物线的顶点坐标在第一象限.故选 A.(3)Q二次函数22114(2)344yxxx ，其对称轴为直线2x，顶点坐标为(2,-3).显然选项 C 错误.104a Q,抛物线开口向下，顶点为最高点，当2x 时，y有最大值-3.故选项 B 正确.由抛物线开口向下，对称轴为直线2x 可知，当2x 时，y随x的增大而减小.故选项 A 错误.由抛物线开口向下，顶点坐标为(2,-3),可知函数图象在x轴的下方，所以二次函数的图象与x轴没有交点.故选项 D 错误.故选 B.评注:解决与二

6、次函数的图象与性质有关的问题的关键是熟练掌握二次函数2()ya xhk(,a h k为常数，0a)的如下性质:(1)图象形状:抛物线;(2)开口方向:()0a 抛物线的开口向上(下);(3)顶点坐标:(,)h k;(4)对称轴:直线xh;(5)最大(小)值:当()0,axh 时，y有最小(大)值k;(6)增减性:当0a 时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大;当0a 时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式2yaxbxc(,a b c为常数0a)配

7、方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式24(,)24bacbaa来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.三、函数值的大小比较例 3点112233(1,),(3,),(5,)PyPyPy均在二次函数22yxxc 的图象上，则123,y yy的大小关系是()A.321yyyB.312yyyC.123yyyD.123yyy分析:由于三个点不都在对称轴1x 的同侧，因此可以利用抛物线上的对称点将它们转化为同侧的点，再根据二次函数的增减性得到结论;也可以先计算出自变量分别为-1,3 和 5 时的函数值，再比较函数值的大小;还可以画出函数图象的草图，通过观察图象直接得到结论.解法

8、一:因为222(1)1yxxcxc ,所以抛物线的对称轴为直线1x.因为点1122(1,),(3,)PyPy关于直线1x 对称，所以12yy.又2233(3,),(5,)PyPy在直线1x 的右侧，抛物线开口向下，由抛物线的性质:在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，所以23yy，所以123yyy.故选 D.解法二:当1x 时，21(1)2(1)3ycc ;当3x 时，2232 33ycc ;当5x 时，2352 515ycc ;因为3315ccc ,来源:学科网所以123yyy.故选 D.解法三:画出抛物线的草图(图略)，利用图象可以直接得到123yyy.故选 D.评注:这里给出了比较抛物线上

9、点的纵坐标大小的三种基本方法.运用解法一时，一定要注意将对称轴两侧的点转化为同侧的点，再运用二次函数的增减性来作出判断;运用解法二时，要注意代数式大小比较的方法;运用解法三时，只要画出二次函数的大致图象，就可以借助图象的直观性快速地得到结论.四、二次函数的解析式例 4如图 1，二次函数的图象与x轴交于(3,0)A 和(1,0)B两点，交y轴于点(0,3)C，点,C D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点,B D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.分析:(1)根据抛物线的对称性，由,A B两点的坐标求

10、出抛物线的对称轴，再由对称轴和点C的坐标得到点D的坐标;(2)用待定系数法求二次函数的解析式，设解析式为一般式、顶点式或交点式都可以;(3)观察给出的函数图象直接得到结论.解:(1)由题意知，该抛物线的对称轴是直线3 112x .Q点C的坐标为(0，3)，点D的坐标为(-2,3).(2)设二次函数的解析式为2(0)yaxbxc a根据题意，得93003abcabcc,解得123abc .二次函数的解析式为223yxx.(3)2x 或1x.来源:Z。xx。k.Com评注:一般的，若1(,)x y和2(,)xy是抛物线上的两点，则抛物线的对称轴为直线122xxx，这是一个很有用的结论.用待定系数法

11、求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式2(0)yaxbxc a;(2)已知顶点(,)m n(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式2()(0)ya xmn a;(3)已知抛物线与x轴的两个交点坐标为12(,0),(,0)xx，常设抛物线的解析式为交点式。学#科 3 网12()()(0)ya xxxxa.五、二次函数的图象与系数的关系例 5 二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图 2 所示，对称轴是直线1x.下列结论:0ab;24bac;0abc;30ac.其中正确的是()A.B.C.D.分析:观察图象，根据二次函数的有

12、关知识，对四个结论逐一判断，进而得到正确答案.解:Q抛物线开口向上，0a.Q抛物线的对称轴在y轴的右侧，来源:学*科*网02ba.0b 0ab.故正确.Q抛物线与y轴的交点在x轴的下方，0c.Q抛物线与x轴有 2 个交点，240bac V，即24bac.故正确.Q当1x 时，yabc，由函数图象可知1x 时对应的点在x轴的下方，0y，即0abc.故正确.Q抛物线的对称轴是直线1x,12ba，即2ba.由图 2 可知，当1x 时对应的点在x轴的上方，0y，即0yabc.(2)0aac .30ac.故不正确.故选 C.评注:本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向

13、、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出,a b c与 0 的大小关系及含有,a b c的代数式的值的大小关系.(1)a决定开口方向:当0a 时抛物线开口向上;当0a 时抛物线开口向下.(2),a b共同决定抛物线的对称轴位置:当,a b同号时，对称轴在y轴左侧;当,a b异号时，对称轴在y轴右侧(可以简称为“左同右异”);当0b 时，对称轴为y轴.(3)c决定与y轴交点的纵坐标:当0c 时，图象与y轴交于正半轴;当0c 时，图象过原点;当0c 时，图象与y轴交于负半轴.(4)24bac的值决定了抛物线与x轴交点的个数:当240bac时，抛物线与x轴有两个交点;当240ba

14、c时，抛物线与x轴有一个交点;当240bac时，抛物线与x轴没有交点.(5)abc的符号由1x 时，y的值确定:若0y，则0abc;若0y，则0abc.(6)abc的符号由1x 时，y的值确定:若0y，则0abc;若0y，则0abc.六、二次函数与一元二次方程(或不等式)的关系例 6已知抛物线2(1 2)1 3ymxm xm 与x轴相交于不同的两点,A B.(1)求m的取值范围.(2)证明:该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标.(3)当184m时，由(2)求出的点P和点,A B构成的ABP的面积是否有最值?若有，求出最值及相对应的m值;若没有，请说明理由.分析:(1)根据二次函

15、数与一元二次方程之间的关系，由抛物线2(1 2)1 3ymxm xm 与x轴相交于不同的两点,A B，可得出对应一元二次方程的0V，解不等式即可得到m的取值范围;(2)2(23)1ym xxx，故只要2230 xx，那么y的值便与m无关，求解即可得到定点的坐标;(3)解对应的一元二次方程，求出,A B两点的坐标，即可得到AB的长度(用含m的代数式表示);再计算ABP的面积，根据题目中的条件184m确定三角形的面积是否有最值，并求出m的值或说明没有最值的理由.解:(1)2(1 2)1 3ymxm xm Q是二次函数，0m.Q抛物线与x轴相交于不同的两点，222(1 2)4(1 3)1681(41

16、)0mmmmmm V，410m，解得14m.m的取值范围是0m 且14m.(2)222(1 2)1 321 3(23)1ymxm xmmxxmxmm xxx ，故只要2230 xx，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点.解2230 xx，得123,1xx.当3x 时14yx，即(3,4)P;当1x 时,10yx，但点(-1,0)是x轴上的一点，不合题意，舍去.该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，点P的坐标为(3,4).(3)解一元二次方程2(1 2)1 30mxm xm，得1213,1xxm.当184m时，131m,111113(1)4,(4)42(4)2ABPABSmmmm.Q

17、184m,1148m.当118m时，12(4)m有最大值314，即ABP的面积有最大值314，此时8m.来源:Zxxk.Com评注:(1)二次函数2yaxbxc的图象与x轴的位置关系有三种情况:没有公共点;有一个公共点;有两个公共点，这对应着一元二次方程20axbxc的根的三种情况:有实数根，此时0V;有两个相等的实数根，此时0V;有两个不相等的实数根，此时0V.(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为 0 时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面

18、积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.七、与二次函数有关的新题型例 7定义:如图 3，抛物线2(0)yaxbxc a与x轴交于,A B两点，点P在该抛物线上(点P与,A B两点不重合)，如果ABP的三边满足222APBPAB，则称点P为抛物线2(0)yaxbxc a的“勾股点”.(1)直接写出抛物线21yx 的勾股点的坐标.(2)如图 4，已知抛物线2:(0)C yaxbx a与x轴交于,A B两点，点(1,3)P是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件ABQABPSS的点Q(异于点P)的坐

19、标.分析:(1)因为抛物线21yx 与x轴交于(1,0),(1,0)AB，与y轴交于点(0,1)，根据抛物线上勾股点的定义可直接得到答案;(2)作PGx轴，由点P的坐标求得,AG PG PA的长度和60PAG，从而求得AB的长度，得到点B的坐标，即可用待定系数法求解;(3)由ABQABPSS且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离，据此即可求解.解:(1)抛物线21yx 的勾股点的坐标为(0,1).(2)如图 5，过点P作PGx轴于G.Q抛物线2yaxbx过原点，即点(0,0)A，点P的坐标为(1,3)，22221,3,1(3)2AGPGPAAGPG.30APG.60PAG.4AB，点B的坐标为(

20、4,0).设(4)yax x，将点(1,3)P代入，得31(1 4)a.33a。2334 3(4)333yx xxx .(3)当点Q在x轴的上方时，由ABQABPSS可知点Q的纵坐标为3，有234 3333xx,解得123,1xx(不合题意，舍去)，点Q的坐标为(3,3).当点Q在x轴的下方时，由ABQABPSS知点Q的纵坐标为3，有234 3333xx,解得1227,27xx，点Q的坐标为(27,3)或(27,3).综上所述，满足条件的点Q有 3 个，分别为(3,3)或(27,3)或(27,3).评注:本题考查了新定义的抛物线的“勾股点”，属于阅读理解型题目，解题的关键是理解抛物线“勾股点”

21、的定义.解决阅读理解题首先要仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法;然后再运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出判断和推理，进而解决问题。【强化训练】1.（2017 江苏省苏州市）若二次函数21yax的图象经过点（2，0），则关于 x 的方程2(2)10a x 的实数根为（）Ax1=0，x2=4Bx1=2，x2=6Cx1=32，x2=52Dx1=4，x2=0【答案】A【解析】考点：抛物线与 x 轴的交点2.（2017 四川省泸州市）已知 m，n 是关于x的一元二次方程222240 xtxtt的两实数根，则(2)(2)mn的最小值是（

22、）A7B11C12D16【答案】D【解析】试 题 分 析：=（2t）2 4（224tt）0，t 2，又 m+n=2t，mn=224tt，(2)(2)mn=2()4mnmn=2242 24ttt=228tt=2(1)7t，根据二次函数的性质，t-1 时，函数值随 t 的增大而增大，t2，当 t=2 时，(2)(2)mn的值最小，此时(2)(2)mn=2(2 1)7=16，即最小值为 16故选 D考点：1二次函数的性质；2最值问题；3二次函数的最值；4根与系数的关系；5综合题3.（2017 湖南省常德市）如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形的边上若设 AE=x，正方形 EFGH的面

23、积为 y，则 y 与 x 的函数关系为【答案】2244yxx（0 x2）【解析】试题分析：如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，A=B=90，AB=2，1+2=90，四边形 EFGH 为正方形，HEF=90，EH=EF，1+3=90，2=3，在AHE 与BEF 中，A=B，2=3，EH=FE，AHEBEF（AAS），AE=BF=x，AH=BE=2x，在 RtAHE 中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2x）2=2x24x+4；即2244yxx（0 x2），故答案为：2244yxx（0 x2）考点：1根据实际问题列二次函数关系式；2正方形的性质4.（2017 山东省威

24、海市）已知二次函数2yaxbxc（a0）的图象如图所示，则正比例函数 y=（b+c）x 与反比例函数xcbay在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD【答案】C【解析】试题分析：由二次函数图象可知 a0，c0，由对称轴 x=2ba0，可知 b0，当 x=1 时，a+b+c0，即b+c0，所以正比例函数 y=（b+c）x 经过二四象限，反比例函数xcbay图象经过一三象限，故选 C考点：1反比例函数的图象；2正比例函数的图象；3二次函数的图象5.（2017 湖北省鄂州市）如图抛物线cbxaxy2的图象交 x 轴于 A（2，0）和点 B，交 y 轴负半轴于点 C，且 OB=OC，下列结论：2bc=2

25、；a=12；ac=b1；abc0其中正确的个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】C【解析】acb+1=0，b=ac+1，a=12，b=12c+1，2bc=2，故正确；故选 C考点：1抛物线与 x 轴的交点；2二次函数图象与系数的关系6.（2017 江苏省连云港市）已知抛物线2yax=（a0）过 A（2，1y、B（1，2y）两点，则下列关系式一定正确的是（）A120yyB210yyC120yyD210yy【答案】C【解析】试题分析：抛物线2yax=（a0），A（2，1y）关于 y 轴对称点的坐标为（2，1y）又a0，012，2y1y故选 C学科网考点：二次函数图象上点的坐标特征7（2

26、017 浙江省嘉兴市）下列关于函数1062xxy的四个命题：当 x=0 时，y 有最小值 10；n 为任意实数，x=3+n 时的函数值大于 x=3n 时的函数值；若 n3，且 n 是整数，当 nxn+1 时，y 的整数值有（2n4）个；若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中 a0，b0，则 ab其中真命题的序号是（）ABCD【答案】C【解析】抛物线1062xxy的对称轴为 x=3，a=10，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x=n+1 时，y=（n+1）26（n+1）+10，当 x=n 时，y=n26n+10，（n+1）26（n+1）+10n26n+10=2n5，n 是整

27、数，2n5 是整数，故正确；抛物线1062xxy的对称轴为 x=3，10，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，x0 时，y 随 x 的增大而减小，y0+1y0，当 0a3，0b3 时，ab，当 a3，b3 时，ab，当 0a3，b3时，ab，当 0a3，b3 时，ab，故是假命题故选 C考点：1命题与定理；2二次函数的性质；3综合题学科%网8.（2017 湖南省益阳市）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（3，5）与（5，3）是一对“互换点”（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N 是一

28、对“互换点”，若点 M 的坐标为（m，n），求直线 MN 的表达式（用含 m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线2yxbxc的图象上有一对“互换点”A、B，其中点 A 在反比例函数2yx 的图象上，直线 AB 经过点 P（12，12），求此抛物线的表达式【答案】（1）不一定；（2）y=x+m+n；（3）221yxx【解析】（3）设点 A（p，q），则q=2p，由直线 AB 经过点 P（12，12），得到 p+q=1，得到 q=1 或 q=2，将这一对“互换点”代入2yxbxc得，于是得到结论试题解析：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当 ab=0 时，它们不可能在反

29、比例函数的图象上，当 ab0 时，由 b=ka可得 a=kb，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数kyx（k0）的图象上；（2）由 M（m，n）得 N（n，m），设直线 MN 的表达式为 y=cx+d（c0）则有：mcdnncdm，解得：1cdmn，直线 MN 的表达式为 y=x+m+n；（3）设点 A（p，q），则 q=2p，直线 AB 经过点 P（12，12），由（2）得：1122pq，p+q=1，21pp，解并检验得：p=2 或 p=1，q=1 或 q=2，这一对“互换点”是（2，1）和（1，2），将这一对“互换点”代入2yxbxc得，12421bcbc，解得：21bc ，此抛物线的表

30、达式为221yxx考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2待定系数法求一次函数解析式；3待定系数法求二次函数解析式；4新定义学！科网9.（2017 天门）已知关于 x 的一元二次方程221(1)(1)02xmxm有实数根（1）求 m 的值；（2）先作221(1)(1)2yxmxm的图象关于 x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线 y=2x+n（nm）与变化后的图象有公共点时，求24nn的最大值和最小值【答案】（1）1；（2）242yxx；（3）最大值为 21，最小值为4【解析】（2）由（1）可

31、知221yxx=2(1)x，图象如图所示：平移后的解析式为2(2)2yx，即242yxx 来源:学科网（3）由2242yxnyxx 消去 y 得到2620 xxn，由题意0，364n80，n7，nm，m=1，1n7，令 y=n24n=（n2）24，n=2 时，y的值最小，最小值为4，n=7 时，y的值最大，最大值为 21，24nn的最大值为 21，最小值为4考点：1抛物线与 x 轴的交点；2根的判别式；3二次函数图象与几何变换；4二次函数的最值；5最值问题10.（2017 四川省宜宾市）如图，抛物线2yxbxc 与 x 轴分别交于 A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在

32、第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 RtACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）245yxx；（2）m 的值为 7 或 9；（3）Q 点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）【分析】（1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可

33、求得 C 点坐标，设平移后的点 C 的对应点为 C，则 C点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可求得 C点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m 的值；来源:Z*xx*k.Com（3）由（2）可求得 E 点坐标，连接 BE 交对称轴于点 M，过 E 作 EFx 轴于点 F，当 BE 为平行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得PQNEFB，可求得 QN，即可求得 Q 到对称轴的距离，则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q 点坐标；当 BE 为对角线时，由 B、E 的坐标可求得线段 BE 的中点坐标，设 Q（x，y），由 P 点的横坐标则可求得 Q 点的横坐标，代

34、入抛物线解析式可求得Q 点的坐标【解析】（2）AD=5，且 OA=1，OD=6，且 CD=8，C（6，8），设平移后的点 C 的对应点为 C，则 C点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可得 8=245xx，解得 x=1 或 x=3，C点的坐标为（1，8）或（3，8），C（6，8），当点 C 落在抛物线上时，向右平移了 7 或 9 个单位，m 的值为 7 或 9；（3）245yxx=2(2)9x，抛物线对称轴为 x=2，可设 P（2，t），由（2）可知 E 点坐标为（1，8），分两种情况讨论：当 BE 为平行四边形的边时，连接 BE 交对称轴于点 M，过 E 作 EFx 轴于点 F，当 BE 为平

35、行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，如图，则BEF=BMP=QPN，在PQN 和EFB 中，QPN=BEF，PNQ=EFB，PQ=BE，PQNEFB（AAS），NQ=BF=OBOF=51=4，设 Q（x，y），则 QN=|x 2|，|x2|=4，解得 x=2 或 x=6，当 x=2 或 x=6 时，代入抛物线解析式可求得 y=7，Q 点坐标为（2，7）或（6，7）；当 BE 为对角线时，B（5，0），E（1，8），线段 BE 的中点坐标为（3，4），则线段 PQ 的中点坐标为（3，4），设 Q（x，y），且 P（2，t），x+2=32，解得 x=4，把 x=4 代入抛物线解析式可求得 y=5，Q（4，5）；综上可知 Q 点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后 C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出 Q 点的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中考点：1二次函数综合题；2平移的性质；3分类讨论；4存在型；5压轴题学 2 科 6 网