2020-2021学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二下学期期中数学（理）试题解析.doc

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1、2020-2021学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1给出下列命题：（1）概率为1的事件为必然事件；（2）因为抛掷一枚质地均匀硬币正面向上概率为，所以抛掷相同硬币10次一定有5次正面向上；（3）事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大；（4）将空间中所有单位向量起点都平移到同一点O，则这些单位向量终点位于半径为1的球面上其中假命题的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】对四个说法一一判断：对于（1）：几何概型中，举一个反例：在0和5之间随机取一个实数,这个数不等于3.5概率是1，否定结论；对于（2）：利用概率的意义直

2、接判断；对于（3）：举反例事件A,B互斥，否定结论；对于（4）：利用单位向量的定义及球的定义即可判断.【详解】对于（1）：几何概型中，这种说法不成立.举一个反例：在0和5之间随机取一个实数,这个数不等于3.5概率是1,但不是必然事件.在这里,把无限接近1视为1,把无限接近0视为0.但1不等于必然,0不等于不可能.故（1）错误；对于（2）：抛掷一枚质地均匀硬币正面向上概率为，概率的意义为：“抛掷一枚质地均匀硬币正面向上的可能性为，不能肯定的说抛掷相同硬币10次一定有5次正面向上.故（2）错误；对于（3）：若事件A,B互斥，则事件A与事件B中至少有一个发生的概率和A与B中恰有一个发生的概率相同.故

3、（3）错误；对于（4）：将空间中所有单位向量起点都平移到同一点O，则这些单位向量终点位于半径为1的球面上故（4）正确.故选：B2一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球则下列事件中互斥而不对立的是（）A“第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”B“至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”C“两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”D“两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”可以同时发生，不是互斥事件；B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”可以

4、同时发生（两球一红一白时）不是互斥事件；C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”，不可以同时发生，但可以同时不发生，互斥但不对立；D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”不可以同时发生，但一定有一个会发生，对立事件故选：C3对于任意空间向量，下列说法正确的是（）A若且，则BC若，且，则D【答案】B【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD【详解】若，则由且，不能得出，A错；由数量积对向量加法的分配律知B正确；若，则，当时就成立，不一定有，C错；是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错故选：B4已知，则满足概率是（）ABCD【答案】A【分析】先由求出的

5、范围，再根据几何概型的概率公式求解即可【详解】因为，所以，解得或，因为，所以或，所以满足概率为，故选：A5设直线m，n方向向量分别记作，表示两个平面，若，则“”是“”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定可得结论【详解】当，时，直线与平面平行，所以当时，不成立，当时，因为，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B6已知平面ABCD外任意一点O满足，则取值是（）ABCD【答案】A【分析】利用向量共面定理列方程直接求得.【详解】由向量共面定理可知：，解得：.故选：A7如图在三棱锥PABC中，点G是A

6、BC的重心，点E为线段PA中点，设，则（）ABCD【答案】A【分析】由空间向量的线性运算求解【详解】G是ABC的重心，则，所以，所以，故选：A8不定项选择题是高中物理选择题中必考题型之一，正确答案为A、B、C、D四个选项中的一个或多个，假设某考生对A、B、C、D选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案概率是（）ABCD【答案】C【分析】由列举法结合古典概型概率公式求解即可.【详解】所有的情况如下：，共15种，则该考生猜对答案概率是.故选：C9已知，求的值是（）ABC1D1【答案】D【分析】在二项展开式中分别令和，可得展开式中奇数项系数和与偶数项系数和的和与差，然后由因式分解思想求值【详解】在中

7、，令得，令得，故选：D10在棱长为2的正方体内随机取一点P，则点P到各顶点之距离均不小于1的概率是（）ABCD【答案】B【分析】先以正方体各顶点为球心，作半径为1的球，可得球区域内的点存在到某个顶点的距离小于等于1，从而可求出点到正方体八个顶点的距离都不小于1的所在区域的体积，然后利用几何概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，正方体的体积为，以正方体各顶点为球心，作半径为1的球，则球区域内的点存在到某个顶点的距离小于等于1，点到正方体八个顶点的距离都不小于1的所在区域为，所以点P到各顶点之距离均不小于1的概率是，故选：B112021年3月19日西昌市发布森林草原防灭火橙色预警，某校派遣3位行

8、政领导和6位普通教师到安哈镇3个不同执勤点执勤要求：每个执勤点需要1名行政领导带领2名普通教师参与执勤，则共多少种不同的分配方案？（）A90B540C1620D3240【答案】B【分析】先分配领导，再分配教师，最后总计，即可得到答案.【详解】利用两个基本原理：先分配领导有：种；再分配教师有：种，所以一共有：种.故选：B12在区间内随机取两个实数x，y，则满足条件的概率是（）ABCD【答案】D【分析】将化简，作出其表示的平面区域，再求出符合题意要求的区域面积，根据几何概型的概率公式，求得答案.【详解】即 ，作出不等式组表示的平面区域如图示：图中阴影部分为在区间内随机取两个实数x，y，则满足条件的

9、区域，面积为 ，正方形的面积为 ，故所求概率为： ，故选：D二、填空题13展开式中系数是_（用数字作答）【答案】56【分析】写出二项展开式通项公式，确定所在项数，可得其系数【详解】展开式通项公式为，令，所以所求系数为故答案为：14中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题此类问题最早见于九章算术“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷140颗米粒(大小忽略不计，取)，落在三角形内切圆内的米粒数大约是_【答案】63【分析】由题意画出图形，利用等面积法求出

10、三角形内切圆的半径，再由与面积相关的几何概型即可计算【详解】如图，设，可得，设其内切圆的半径为，则由等面积法，可得，解得，则其内切圆的直径为6；现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是，则14063.故答案为：63.15如图，在平行六面体中，ABAD2，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是_【答案】【分析】以为空间向量的一组基底，用基底表示向量，根据向量间的夹角公式计算即可求解.【详解】由题意，ABAD2，且, ，又,设异面直线与DE所成角为，则.故答案为：16用一个平面去截棱长为2的正方体所得截面形状为正六边形时，正方体各个顶点到平面的距离是_【答案】或【分析】

11、先作出六边形EFGHMN，再用等体积法分别求出各个顶点到面EFGHMN的距离.【详解】如图示，取正方体各边中点E、F、G、H、M、N，依次连结，下面证明六边形EFGHMN为正六边形.由EF/AC,MH/A1C1,而AC/A1C1,可得EF/MH,且.同理可证：FG/MN,NE/GH,且.所以六边形EFGHMN为正六边形.设A到面EFGHMN的距离为d，则A到面EFN的距离为d，利用等体积法可得：,所以，解得：.即A到面EFGHMN的距离为.同理可求：B、C、A1、C1、D1到面EFGHMN的距离均为.设D到面EFGHMN的距离为h，则D到面EFN的距离为h，利用等体积法可得：,所以，解得：.即

12、D到面EFGHMN的距离为.同理可求：B1到面EFGHMN的距离均为.故答案为：或三、解答题17某校准备施行“禁止智能手机进校园”有关规定，为进一步了解同学们对此项规定的支持程度，学校在全校随机抽取了130名同学进行调查，其中男生比女生多10人，表示反对规定的30人中有10人是女生(1)完成下列表格，并判断是否有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”；支持规定反对规定合计男生女生10合计30130(2)从被调查的“反对规定”的同学中，采取分层抽样方法抽取6名同学，再从这6名同学中任意抽取2名，求抽取的2人中有女生的概率参考公式：.0.150.100.050.0250.0100.0050.

13、001k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，没有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”(2)【分析】（1）根据已知数据得出列联表，然后计算可得结论；（2）把所抽取的6人（4男2女）编号，用列举法写出任取2人的所有基本事件，得出2人中有女生的基本事件，计数后可计算出概率【详解】(1)列联表如下：支持规定反对规定合计男生502070女生501060合计10030130，所以没有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”；(2)因为反对规定的男生有20人，女生有10人，所以抽取6人中男生4人，可记为a，b，c，d，女生2人，记为A

14、、B，则从6人中抽取2名同学有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个结果，其中有女生的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9个结果，则抽取2人中有女生的概率为.18如图，在正四棱锥PABCD中，侧棱长为，底面边长为2点E，F分别CD，BC中点求证：(1)PAEF；(2)平面PAB平面PCD【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】建立如图的空间直角坐标系，（1）由两直线的方向向量的数量积为0证明线线垂直；（2）由两平面的法向量的数量积为0可得证面面垂直【详解】(1)连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥

15、性质OA，OB，OP两两互相垂直，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴建系如图易得，即PAEF；(2)设平面PAB，平面PCD法向量分别为，取，则，取，则，平面PAB平面PCD.19在森林草原防灭火工作中，包括甲，乙在内6名教师被分配到A，B，C，D，E五个不同的执勤点参与执勤，每个执勤点至少要有一名教师求：(1)甲、乙两名教师同时在A执勤点执勤的概率；(2)甲、乙两名教师不在同一执勤点执勤的概率【答案】(1)(2)【分析】先利用排列组合求出基本事件，再利用古典概型的概率公式分别求（1），（2）的概率.【详解】(1)记“甲、乙两名教师同时在A路口执勤”为事件，“甲、乙两名教师不在同一路口执勤”

16、为事件6名教师分配到5个不同路口执勤共个基本事件.事件发生包含个基本事件，由古典概型；(2)事件发生包含个基本事件，由古典概型，.20如图，在直三棱柱中，BAC90，点M，N，P，Q分别是AB，中点，点R是中点，证明：(1)PQ平面ABC；(2)求PR与平面所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则由空间向量证明即可，（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可【详解】(1)由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，是的中点，所以，因为点N，P，Q分别是，中点

17、，点R是中点，所以，.所以，平面ABC一个法向量为，所以，因为平面ABC，所以PQ平面ABC；(2)设平面法向量为，PR与平面线面角为，则，令，则，所以，.所以PR与平面所成角的余弦值为21已知关于x的方程，记“该方程有两个不等的正实根”为事件A(1)设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，求事件A发生的概率；(2)对于随机数x、y，且x、，若a2x1，求事件A发生的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次方程两个正跟列式，找出所有的a、b组合即可；（2）将三个式子中的a、b全部转化为 的取值范围，并借助几何概型，面积之比等于概率即可求解.【详解】(1)关于x的一元二次方程

18、有两个不等的正实根，则有 ,抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，则总的基本事件个数为36个，事件A有：b4，a3，4，5，6;b5，a3，4，5，6;b6，a4，5，6;以上共计共11个基本事件，.(2)对于两个随机数x、y，且x、，a2x1，所以事件A构成的区域如图中的阴影部分区域如图所示：阴影部分区域的面积为，因此，.22如图，在平行四边形ABCD中，BC2，四边形ACEF为矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1求证：(1)平面ABF平面CDE；(2)点P为线段EF上动点，且，是否存在实数，使得平面PBC与平面CDE所成锐二面角余弦值为，若存在求出实数的值，若不存在请说明理

19、由【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AF平面ABCD，利用勾股定理证得ABAC，以A为坐标原点，建系，利用向量法即可得证；（2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量法即可得出答案.【详解】(1)证明：四边形ACEF为矩形，AFAC，又平面ACEF平面ABCD，平面平面ABCDAC，平面ACEF，AF平面ABCD，AFAB，AFAC，在ABC中，BC2，所以，故，ABAC，以A为坐标原点，建系如图示：，设平面ECD法向量为，可取，因为ABAC，AFAC，所以平面ABF，所以为平面ABF的一条法向量，所以，所以平面ECD平面ABF；(2)解：由（1）知平面ECD法向量，因为，所有，则，设平面MBC法向量为， 则，可取，因为面PBC与平面CDE所成锐二面角余弦值为，所有，解得或（舍），所以当点M为EF中点时满足条件，.第 18 页 共 18 页