6.4.3 余弦定理、正弦定理1课时（解析版）.docx

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1、6.4.3 余弦定理、正弦定理（1 课时）导学案导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】【学习目标】1.1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【自主学习】【自主学习】知识点知识点 1 1余弦定理及其变形余弦定理及其变形a2b2c22bccos_A，cos Ab2c2a22bc；b2c2a22cacos_B，cos Bc2a2b22ca；c2a2b22abcos_C.cos Ca2b2c22ab.知识点知识点 2 2余弦定理及其推论的应用余弦定理及其推论的应用一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，

2、c 叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形【合作探究】【合作探究】探究一探究一已知三角形三边解三角形已知三角形三边解三角形【例【例 1-11-1】边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是()A90B120C135D150答案B解析设中间角为，则为锐角，cos 52827225812，60，18060120为所求归纳总结归纳总结：已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函

3、数在(0，)上是单调的当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角【练习【练习 1 1】ABC 的三边长分别为 AB7，BC5，CA6，则ABBC的值为()A19B14C18D19答案D解析设三角形的三边分别为 a，b，c，依题意得，a5，b6，c7.ABBC|AB|BC|cos(B)accos B.由余弦定理得 b2a2c22accos B，accos B12(b2a2c2)12(625272)19，ABBC19.探究二探究二已知三角形两边及一角解三角形已知三角形两边及一角解三角形【例【例 2 2】一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是35，则三角形的另一边长为()A

4、52B2 13C16D4答案B解析设另一边长为 x，则 x25232253(35)52，x2 13.归纳总结：归纳总结：已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.【练习【练习 2 2】在ABC 中，已知 B120，a3，c5，则 b 等于()A4 3B.7C7D5答案C解析b2a2c22accos B3252235cos 12049，b7.探究三探究三判断三角形的形状判断三角形的形状【例【

5、例 3 3】在ABC 中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状解因为 abcsin Asin Bsin C245，所以可令 a2k，b4k，c5k(k0)c 最大，cos C2k24k25k222k4k0，b0)，则最大角为_答案120解析易知 a2abb2a，a2abb2b，设最大角为，则 cos a2b2 a2abb222ab12，又(0，180)，120.归纳总结：归纳总结：【练习【练习 4 4】在ABC 中，已知 CB7，AC8，AB9，则 AC 边上的中线长为_答案7解析由条件知cos AAB2AC2BC22ABAC92827229823，设中线长为 x，由余弦定理

6、，知x2AC22AB22AC2ABcos A42922492349，所以 x7.所以 AC 边上的中线长为 7.课后作业课后作业A A 组组 基础题基础题一、选择题一、选择题1.在ABC中，60B，2bac，则cos A（）A0B12C22D32【答案】B【解析】由余弦定理得：222222cosbacacBacac，又2bac，22acacac，2()0ac，ac，60ABC，1cos2A故选：B2.在ABC 中，cosC?，AC4，BC3，则 cosB（）A?B?C?D?【答案】A【解析】在ABC 中，cosC?，AC4，BC3，由余弦定理可得 AB2AC2+BC22ACBCcosC42+3

7、2243?9；故 AB3；cosB?，故选：A3.在ABC 中,已知 a=2,b=3,cos C=?,则边 c 长为()A.2B.3C.?D.?7解析:因为 c2=a2+b2-2abcosC=22+32-223?=9,所以 c=3.答案:B4.在ABC 中,若 C=60,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析:因为在ABC 中,C=60,c2=ab,所以 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以 a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选 C.答案:C5.已知ABC 的三边满足 a2+b2=c2-?ab

8、,则ABC 的最大内角为()A.60B.90C.120D.150解析:由已知得,c2=a2+b2+?ab,所以 ca,cb,故 C 为最大内角.由 cosC=?-?=-?,得C=150,故选 D.答案:D二、填空题二、填空题6.ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c若13,3,60abA，则边c。【答案】4【解析】2222cosacbcbA213923 cos60cc，即2340cc，解得4c 或1c （舍去）7.已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边且2223bcbca，则A=_【答案】30（或6）【解析】因为2223bcbca，所以2223bcabc，所以 2b

9、ccosA=3bc,所以3cos2A,6A.故答案为6.8.在ABC 中，BC2，AB4，cos C14，则 AC 的值为()【答案】3【解析】ABC 中，aBC2，cAB4，cos C14，c2a2b22abcos C，即 164b24b14，化简得 b2b120，解得 b3 或 b4(不合题意，舍去)，bAC3.9.如图ABC,在,已知点D在边BC上,ADAC,2 2sin3BAC,3 2AB,3AD,则BD的长为。【答案】3【解析】由题意2 2sin()cos23BADBAD，2222cosBDABADAB ADBAD222 2(3 2)32 3 2333 ，3BD 10.如图，在ABC

10、 中，点 D 在 AC 上，ABBD，BC3 3，BD5，sinABC2 35，则CD 的长为。【答案】4【解析】利用余弦定理求解因为 sinABCsinDBC2cosDBC2 35，在DBC中，由余弦定理可得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC2527253 32 3516，所以 CD4。11.在ABC中，设内角,A B C的对边分别为,a b c，若coscosaBbA，则ABC的形状是三角形【答案】等腰三角形三、解答题三、解答题12在ABC 中，BCa，ACb，a，b 是方程 x22 3x20 的两根，2cos(AB)1.(1)求角 C 的度数；(2)求 AB 的长解(1)cos

11、Ccos180(AB)cos(AB)12.又C(0，180)，C120.(2)a，b 是方程 x22 3x20 的两根，ab2 3，ab2.AB2a2b22abcos 120(ab)2ab10，AB 10.13在ABC 中，已知 ab4，ac2b，最大角为 120，求三边长解由ab4，ac2b，得ab4，cb4.abc，A120，a2b2c22bccos 120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)12，即 b210b0，解得 b0(舍去)或 b10.当 b10 时，a14，c6.B B 组组 能力提升能力提升一、选择题一、选择题1.在ABC 中，cosC?，AC4，BC3，则 tanB（）

12、A?B2?C4?D8?【答案】C【解析】cosC?，AC4，BC3，tanC?t?，AB?t?3，可得 AC，B2C，则 tanBtan（2C）tan2C?4?故选：C2.在ABC 中，cos?，BC1，AC5，则 AB（）A4?B?C?D2?【答案】A【解析】在ABC 中，cos?，cosC2?，BC1，AC5，则AB?t?4?故选：A3.在ABC 中，a2b2c22 3absin C，则ABC 的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D解析易知 a2b2c2a2b2a2b22abcos C2 3absin C，即 a2b22absinC6，由于 a2b22

13、ab，当且仅当 ab 时取等号，所以 2absinC6 2ab，sinC6 1，故只能 ab 且 C62，所以ABC 为正三角形二、填空题二、填空题4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222332 3sinabcbcA，则C _.【答案】6【解析】根据222332 3sinabcbcA余弦定理2222cosabcbcA由可得：22222 3sin2cosbcbcAbcA化简：223sincosbcbcAbcA222sin()6bcbcA222bcbc，sin()16A，0A，5666A，62A,23A，此时222bcbc，故得bc，即BC，2326C故答案为：65.若()()

14、3abc bcabc，且sin2sincosABC，那么ABC是三角形【答案】等腰直角【解析】由题设可得2222221cos,223bcabcabcAAbc由题设可得222222 cos202abcabCabbcbcab，即该三角形是等边三角形6.已知,A B C D四点共面，2BC，2220ABAC，3CDCA ，则|BD 的最大值为_【答案】10【解析】设ACm，由题意可得：23,20DCm ABm，则：22228cos22ACBCABmCACBCm，ABC 构成三角形，则：22220220mmmm，解得：24m，由余弦定理：2222282cos492 2 35232mBDBCCDBCCDCmmmm ，当4m时，BD 取得最大值为 10.7.如图，四边形ABCD中，4AB，5BC，3CD，90ABC，120BCD，则AD的长为_【答案】65 12 3【解析】连接AC,设ACB,则120ACD，如图：故在Rt ABC中，45sin,cos4141，1315344 35cos 120cossin222241412 41 ，又在ACD中由余弦定理有2224134 35cos 1202 3412 41AD,解得265 12 3AD,即65 12 3AD，故答案为65 12 3.