【2022高中数学精品教案】2.1 等式性质与不等式性质（1）.docx

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1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）本节内容是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版教材）高中数学必修5第三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和

2、培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点课程目标学科素养A.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤； B.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2.逻辑推理：作差法的原理；3.数学运算：用作

3、差法比较大小；4.直观想象：在几何图形中发现不等式；5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2.教学难点： 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 情景引入，温故知新（一）、情境导学1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票从数学的角度，应如何理解和表示

4、“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18，白天最高温度为30。师：明天白天广州的温度t满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（），小于（），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。老师总结板书：不等式的定义：用不等号(,)表示不等关系的式子叫做不等式。1.师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2.师：两个指示标志分别表示什么意思？ 生：速度大于或等于80，高度小于或等于4.53.师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：

5、师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）、探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍试写出满足上述所有不等关系的不等式教师引导学生共同：分析应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；两种钢管的数量都不能为负于是可列不等式组表示上述不等关系解析设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：，即.归纳总结;用不等式(组)表

6、示实际问题中不等关系的步骤：审题通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示跟踪训练：1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？2某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是()Axy120

7、BxyNBMNCM0，MN，故选A2.比较x2y21与2(xy1)的大小；3.设aR且a0，比较a与的大小解析2. x2y212(xy1)x22x1y22y2(x1)2(y1)210，x2y212(xy1)3.由a当a1时，a；当1a0或a1时，a；当a1或0a1时，a.通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养用数学语言表示不等关系。通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，

8、提升数学抽象能力。复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。三、达标检测1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x0)人,瓦工y(y0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是()A.5x+4yBB.A0,所以AB,故选A.【答案】A3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.

9、试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.【解析】由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位,则有600x+700y56 000,800x+400y63 000,x0,y0,即6x+7y560,4x+2y315,x0,y0.4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.

10、 【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)20,(5-x)+(12-x)13-x,(5-x)2+(12-x)20,所以2x2+3x+2.(2)(a+2)-31-a=(a+2)(1-a)-31-a=-a2-a-11-a=a2+a+1a-1.由于a2+a+1=a+122+34340,所以当a1时,a2+a+1a-10,即a+231-a;当a1时,a2+a+1a-10,即a+21时,a+231-a; 当

11、a1时,a+2,b，那么ab是 ；如果ab_abbb,a-b0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)0.即b-a0,ba.同理可证,如果bb.跟踪训练.1.与m(n-2)2等价的是().A.m(n-2)2 B.(n-2)2m C.(n-2)2m D.(n-2)2b,bcac变形ab,bcac; ab,bcaba+cb+c变形aba+c0,a+cb+c.(4)乘法法则 文字语言不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.符号语言ab,c0acbcab,c0ac0acbc；ab,c0acbca0acbc；ab,cbcab,c0acbc；ab,cb,a-

12、b0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c0时,(a-b)c0,即acbc;当c0时,(a-b)c0,即acbc ab.2.acbcab,c0或ab,cb,cda+cb+d变形ab,cda+cba+cb+ccdb+cb+da+cb+d.归纳总结：1 .此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减.3.该性质不能逆推,如a+cb+d ab,cd.(6)乘法单调性 文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向.符号语言ab0,cd0ac

13、bd作用两个不等式相乘的变形证明:ab0,c0,acbc.cd0,b0,bcbd.acbd.归纳总结：1. 这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.2.ab0,cd0acbd;ab0,cdbd.3.该性质不能逆推,如acbd ab,cd.(7)正值不等式可乘方 文字语言当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向.符号语言ab0anbn(nN,且n1)作用不等式两边的乘方变形性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由ab可得anbn.跟踪训练：1.

14、 给出下列结论：若acbc，则ab；若ab，则ac2bc2；若b；若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd.其中正确结论的序号是_.解析当c0时，由acbcab，当cbcab，故错当c0时，由abac2bc2，当c0时，由abac2bc2，故错0，a0，b0，abab，即bb，故正确cd，cb，两不等式不等号的方向不同，不能相加，acbd错误acbd，acbd，acbd.反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便

15、于验证计算.典例解析：用不等式的性质证明不等式例1已知ab0，cd0，e.解析cdd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e.跟踪训练：1若bcad0，bd0，求证：.解析：bcad0，adbc，adbdbcbd，bd0，0，.归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则典例解析：利用不等式的性质求取值范围例2已知，求，的范围解

16、析，.两式相加，得.，.又，0.0.规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小跟踪训练1.已知1a2,3b4，求下列各式的取值范围：(1)2ab；(2)ab；(3).解析(1)1a2，22a4，3b4，52ab8；(2)3b4，4b3，又1a2，3ab1；(3)3b4，又1a2，.通过学生熟悉的等式性质出发，设问，引导学生类比发现不等的性质，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养；用数学语言表示不等式的性质。由不等式七个性质的分析与证明，体会证明不等式的基本方法；培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养及时归纳总结，引导学生准确理解和运用不等式的性质，培养思

17、维的严谨性；通过练习巩固不等式的性质，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度。通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确问题模型，发展数学建模核心素养。三、达标检测1已知ab0，cd0，那么下列判断中正确的是()AacbdC.bc解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确答案：B2若a、b、cR，且ab，则下列不等式中一定成立的是()Aabbc BacbcC.0 D(ab)c20解析：ab，ab0.选项A中，当c0时，(ab)(bc)ac，由于aR，则选项A不成立；选项B中，acbcc(ab)，由于cR，则选项B不成立；选项C中，由于cR，则c20，0，则选项C不成立；选项D中，ab0，c2

18、0，(ab)c20，则选项D成立答案：D3设2a3，-2b-1，则2a-b的范围是_解析：42a6，-2b-1，1-b2，由同向不等式相加得到52a -b8答案：52a -bb0，cd0.求证：.解析cdd0.0b0，0.，即.两边同乘以1，得b_2传递性ab，bc_3可加性abac bc可逆4可乘性ac bcc的符号ac bc5同向可加性ac bd同向6同向同正可乘性ac bd同向同正7可乘方性ab0anbn(nN*，n2)8可开方性ab0(nN*，n2)五、作业1. 习题2.1 5,6,7,9,10题2. 预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；