2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期4月月考数学试题解析.doc

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1、2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1函数，正确的命题是A值域为B在 是增函数C有两个不同的零点D过点的切线有两条【答案】B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为，所以，因此当时在上是增函数，即在上是增函数；当时在上是减函数，因此；值域不为R;当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；设切点为，则，所以过点的切线只有一条；综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.2已知函数，那么下列说法正确的是（）A在点处有相同的切线B函数有两个极值点C对任意恒成立D的图象有且只

2、有两个交点【答案】D【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，所以A选项错误.B选项，令，所以在区间递减；在区间递增.所以有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数有个极值点，所以有个零点，也即的图象有且只有两个交点，所以BC选项错误，D选项正确.故选：D3关于函数，下列判断正确的是（）是极大值点；函数有且仅有个零点；存在正实数，使得成立；对任意两个正实数、且，若，则.ABCD【答案】D【分析】利用极值与导数的关系可判断的正误；利用导数分析函数的极值与单调性，结合零点存在定理可判断的正误；利用参变量分离法结合导数可判断的

3、正误；利用对数平均不等式结合基本不等式可判断的正误.【详解】对于，函数的定义域为，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，是极小值点，错；对于，令，该函数的定义域为，则函数在上单调递减，因为，所以，函数有且仅有个零点，对；对于，若存在正实数，使得成立，则，令，其中，则，令，其中，则，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，则，所以，当时，故函数在上单调递减，则无最小值，故不存在正实数，使得成立，错；对于，先证明，其中，即证，令，即证，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，当时，所以，当时，由，得可得，所以，所以，因此，对.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问

4、题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.4已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（）A3B4C5D6【答案】C【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，即可求解.【详解】依题意，当时，根据等比数列求和公式

5、，有，故函数在上为增函数，故函数零点在区间内，所以零点在内，故当取最小值时，所以.故选：C二、填空题5函数在上的最大值为_.【答案】2【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.【详解】因为，所以，由得或；由得；又即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；又当时，；当时，因此函数在上的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.6已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为_.【答案】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.【详解】

6、构造函数，则该函数的定义域为，且，所以，则函数在上为增函数，由可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.7已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果【详解】由题意可知，令，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立；由，则当时，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；当时，由得或又因为且函数为奇函数，所以可得，解得，则，综上，实数的取值范围为故答案为：8若函数存在单调递增区间，则的取值范围是_.【答案】【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可【详解】，其中，则由

7、于函数存在单调递增区间，则，使得，即，构造函数，则，令，得当时，；当时，所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，所以，故答案为【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数在区间上单调递增，；（2）函数在区间上单调递减，；（3）函数在区间上存在单调递增区间，；（4）函数在区间上存在单调递减区间，；（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点9已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为_mm/min.【答案】【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，

8、即可求解【详解】解：因为，故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.故答案为：10已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是_【答案】【分析】根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围【详解】根据零点定义，则 所以令则，令解得 当时，函数单调递减当时，函数单调递增所以当时取得最小值，最小值为 所以由零点的条件为 所以，即的取值范围为【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题11已知函数，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程

9、为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题12写出一个同时具有下列三个性质的函数：_.在上单调递增；曲线存在斜率为4的切线.【答案】（答案不唯一）【分析】由在上单调递增，知，曲线存在斜率为4的切线，则有解，知，故满足即可.【详解】函数满足在上单调递增，则恒成立，即曲线存在斜率为4的切线，则有解，即即满足，解得.故答案为：13已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_.【答案】13【解析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】，当时，函数有极值，解得，当时，单调递增，当时，单调

10、递减，当时，单调递增，在处取得极大值，且，在上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.14已知函数，其导函数的图像经过点、.如图，则下列说法正确的是_当时，函数取得最小值；有两个极值点;当时函数取得极小值；当时函数取得极大值；【答案】【分析】由导函数的图像判断出函数f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.【详解】由图象可知,当时,;当时, ;当时, .所以函数f(x)在上单增，在上单减，在上单增，无最大最小值，所以错；f(x)有两个

11、极值点1和2，且当x=2时函数取得极小值，当x=1时,函数取得极大值，所以正确.故答案为：.15若对恒成立，则的取值范围是_;【答案】【分析】设，利用导数研究其单调性，将问题转化为，即，设，再利用导数求其最大值，最后求出的取值范围【详解】解：设，则，在上单调递增，由对恒成立，得，即，则，即设，则，当时，当时，故的取值范围是故答案为：16设函数，若存在的极大值点满足，则实数的取值范围是_;【答案】【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出以及的值，得到关于的不等式，解出即可【详解】解：因为所以，令，解得或，令，解得，故在单调递增，在单调递减，在单调递增，故是的极大值点，即，而，故，

12、即，即，解得：，故答案为：三、解答题17已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，进而得到，写出切线方程；（2）将不等式在恒成立，转化为恒成立，令，求得其最小值即可.【详解】(1)解:，切线方程为.(2)不等式在恒成立，即恒成立，令，令，在区间为增函数，且，满足，则为减函数，为增函数，所以，又因为，又因为在为增函数所以，18已知的图象在处的切线与直线平行（1）求函数的极值；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的

13、极值;(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.【详解】（1）的导数为，可得的图象在，（1）处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，由，可得，由，可得，则在递增，在递减，可得在处取得极大值为，无极小值；（2）可设，若，可得，即有，设在为增函数，即有对恒成立，可得在恒成立，由的导数为得：当，可得，在递减，在，递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，解得，则实数的取值范围是，【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式

14、转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.19已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)函数在区间上有零点，求k的值；(3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解【详解】(1)解：因为，所以，切线斜率为

15、，又，切点为，所以切线方程为；(2)解：，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以的极小值为，在区间上存在一个零点，此时；又，在区间上存在一个零点，此时综上，的值为0或3；(3)解：函数，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，又，解得，构造函数，所以，在上单调递减；所以当时，所以20某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm（I）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数关系式；设，将

16、表示成的函数关系式（）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短【答案】（I）（）选择函数模型，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处【详解】（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则故，又，所以，则，所以，所以所求的函数关系式为（）选择函数模型令得，又，所以当时，是的减函数；时，是的增函数所以当时当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处21已知函数（），为函数的导函数.(1)若为函数的极值点，求实数的值;(2)当有且只有两个整数满足不等式时，求实数的取值范围;(3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）首先求

17、出函数的导函数，依题意，即可得到方程，解得，再代入检验即可；（2）依题意有且只有两个整数满足不等式，再分和两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可；（3）由，令利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得到，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】(1)解：因为，所以，依题意，解得或；当时，则，所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意；当时，则，所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意；故或(2)解：因为，因为有且只有两个整数满足不等式，即有且只有两个整数满足不等式，显然，当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；综上可得(3)解：因为，令，则，令，则或，因为，所以，所以当，和，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数的极小值为，又，令，易知，当时，函数单调递增，故，所以，即当，时， 又其对应函数图象的对称轴为，所以时，所以，故有，又，因为，所以，所以第 17 页 共 17 页