8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（解析版）.docx

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1、 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积1棱柱的表面积棱柱的表面积：S表S侧2S底其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧Ch；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表2(abacbc)；棱长为a的正方体的表面积：S表6a2.2棱锥的表面积棱锥的表面积：S表S侧S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h的正棱锥的侧面积：S侧Ch.3棱台的表面积棱台的表面积：S表S侧S上底S下底多面体的表面积就是围成

2、多面体各个面的面积之和知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积1棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积VSh.2棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积VSh.3棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离(2)棱台的上、下底面面积分别是S、S，高为h，其体积Vh(SS)【合作探究】探究一 多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、

3、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为_【答案】(59) cm2分析利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积解析正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3(24)24259.归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端

4、是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧Ch60.461.64.416(m2)所以S表S侧2S底4.41620.46265.6(m2)故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板探究二 多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.B5C6 D. 【答案】D解析如图，连接EB，EC，AC，则VEABCD3226.AB2

5、EF，EFAB，SEAB2SBEF.VFEBCVCEFBVCABEVEABCVEABCD.VVEABCDVFEBC6.归纳总结：求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B11：2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A111B112C124D144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h，SAB

6、CS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V三棱台ABCA1B1C1h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV三棱台ABCA1B1C1VA1ABCVCA1B1C1ShSh.体积比为124，应选C.课后作业A组 基础题一、选择题1如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()ABC D【答案】CVCABCVABCABC，VCAABB1.2正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A48B64C16D96【答案】B3棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成12(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部

7、分的面积之比等于()A19B18 C14D13【答案】B两个锥体的侧面积之比为19，小锥体与台体的侧面积之比为18，故选B4若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A B C D【答案】A如图所示，正方体的A、C、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为a.正方体表面积S16a2，正四面体表面积为S24(a)22a2，.5四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A BC D【答案】C由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h，则根据条件

8、得，消去h得，4z2(xy)2(yx)2(yx)2(x2y2)2.4z2(xy)24x2y2，z(xy)xy，.二、填空题6已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_【答案】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长方体的体积Vabc.7已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是_，体积是_【答案】S表412，V体12 .8.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d_.【答案】a在三棱锥A1ABD中，AA1是三棱锥A1ABD的高，ABADAA1a，A1BBDA1Da，V三棱锥A1ABDV三

9、棱锥AA1BD，a2aaad，da.点A到平面A1BD的距离为a.三、解答题9已知四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则VDABEDESABEV长方体，同理，VCABFVDACGVDBCHV长方体，V四面体ABCDV长方体4V长方体V长方体而V长方体23424，V四面体ABCD8.10如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积解如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh

10、.S侧2S底，3aha22.ah.SOOE，SO2OE2SE2.32h2.h2，ah6.S底a2629，S侧2S底18.S表S侧S底18927.11建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价解：设长方体的长、宽、高分别为a m，b m，h m，水池的总造价为y元Vabh16，h2，b2，a4.则有S底428 (m2)，S壁2(24)224 (m2)，yS底120S壁80120880242 880(元)B组 能力提升一、选择题1正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A3 B CD

11、1【答案】B如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()22；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为21.则几何体的体积为2.2正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为()A B C D【答案】D由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为.二、填空题3已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体

12、的体积是_，表面积是_【答案】90138该几何体的体积V46343390，表面积S2(464363)33432334138.三、解答题4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解如图，连接EB，EC四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.5一个正三棱锥PABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？解设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则，令A1B1x，而POh，则PO1x，于是OO1hPO1hxh. 所以所求三棱柱的侧面积为S3xh(ax)x.当x时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点