2021-2022学年福建省永春第一中学高二4月线上考试数学试题解析.doc

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1、2021-2022学年福建省永春第一中学高二4月线上考试数学试题一、单选题1设，且，则等于（）ABCD【答案】A【分析】先确定最大数，即，再确定因式的个数，根据排列公式即可求解【详解】先确定最大数，即，再确定因式的个数，即，所以原式故选：A2一组样本数据：，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）A5B6C7D8【答案】B【分析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，则这个样本的中心点为，因此，解得，所以实数m的值为6.故选：B3设随机变量，则（）ABCD【答案】B【分析】由题意列方程解出，然后计算【详解】，解得或（舍）故故选：B4在关于的二项

2、式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（）AB或CD或【答案】D【分析】根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.【详解】由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，即，又，或.故选：D5已知能被11整除，则实数的值为（）A7B8C9D10【答案】D【分析】由及二项式定理展开可求出结果.【详解】因为能被11整除，且，所以，即.故选：D6汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成现有五种不同的颜

3、色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A180B192C420D480【答案】C【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数.【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）.综上，共有不同的涂色方案数为（种）.故选：C.

4、【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.7如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上中下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（）种.A12B24C16D32【答案】D【分析】，的取值范围都是从，可以根据公差的情况进行讨论【详解】解：根据题意，的取值范围都是从共8个数字，故公差范围是到3，当公差时，有种，当公差时，不取7和14，有种，当公差时，不取7，8，13，14，有种，当公差时，只能取1

5、0或11，有种，综上共有种，故选：D8为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为20，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求的值.【详解】若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为，数学期望为，由，解得故选：A.【点睛】本题考查利用随机变量的数学期望求参数，是基础题.二、多选题9下

6、列四个表述中，正确的是（）A将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；D在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大.【答案】AD【分析】根据数据的方差的公式可判断A;根据线性回归直线方程的斜率，可判断B;根据相关系数的含义即可判断C;根据独立性检验的思想结合的意义，可判断D.【详解】A.将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后,，方差不变，正确；B.设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5

7、个单位，错误；C.设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于1，之间的线性相关程度越高，错误；D.在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确,故选：AD10带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】ACD【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为4组，再全排

8、，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确；【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B不正确；对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法，故C正确；对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种放法，故D正确；故选：ACD.11甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑

9、球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）A事件与事件相互独立B，是两两互斥的事件CD【答案】BCD【分析】根据题意得，是两两互斥的事件，由条件概率公式得到的值，再得到，求解判断即可.【详解】由于事件，和两两都不能同时发生，所以，是两两互斥的事件，故B正确；根据题意， 所以，故C正确；所以，所以，故D正确；因为，所以，所以事件与事件不是相互独立事件，故A错误.故选：BCD.12在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中提出

10、了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（）AB的前项和为CD【答案】BCD【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可【详解】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以为一个等比数列，所以，故A错误；，的前项和为，故B正确；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，构成一个等差数列，项数之和为，则的最大整数为10，杨

11、辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，取的就是第12行中的第三项，故C正确；，这11行中共去掉了22个1，故D正确，故选：BCD三、填空题13已知的展开式中的系数为15，则的值为_.【答案】【分析】由二项展开式通项公式求出的系数，结合已知可得参数值【详解】，所以，故答案为：14若，则的取值集合是_【答案】【分析】根据组合数的计算公式即可求解.【详解】因为，所以所以，解得：，因为，所以所以的取值集合为，故答案为：.15某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则_.【答案】0.6【分析】由题意知，根据二项分布的概率、方

12、差公式计算即可.【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或由，得，即，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可16某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为_.（请算出具体数值）【答案】【分析】由排列组合中的分类计数原理，分类讨论当甲、乙、丙只有两人参加时和当甲、乙、丙三人都参加时

13、不同的安排数，再求解即可【详解】解：甲、乙、丙中只选两人，有种选法，再从余下5人中任选4人有选法，将选取的6人安排到周一到周六有种，因此，共有不同安排种数为，当甲、乙、丙三人都参加时，因为丙一定得排在甲乙之间，从余下5人中任选3人有选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有种，另3天安排所选3人有种，那么不同的安排数为种，故不同的安排数为，故答案为：四、解答题17某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、二级品、和三级品，批发单价分别为6元/、5元/和4元/(1)根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为，估计这批西

14、红柿的批发单价的平均值；(2)为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y和单价进行了统计，得到一组数据如表所示：销售单价（元/）56789日销量（）1501351109575根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/时，该超市西红柿的日销量参考公式：线性回归方程中，参考数据：【答案】(1)4.9元/(2)，【分析】（1）根据平均数的定义求解即可，（2）先求出，然后根据公式和已知的数据求出回归系数，从而可求得回归方程，将代入回归方程中可估计出超市西红柿的日销量【详解】(1)由题意，因此估计这批西红柿的批发单价的平均值为4.9元

15、/(2)由表知，所以，故y关于x的线性回归方程为当时，即当西红柿单价为12元/时，预测该超市西红柿的日销量为18某超市为了方便顾客的购物，对货物的分类分区域摆放进行了重新设计，为了解顾客对新设计的满意情况，在一段时间内对进入超市的顾客随机抽取120名进行调查，男顾客与女顾客的人数之比为，其中男顾客有30人对于新设计满意，女顾客有10名对新设计不满意.(1)完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对新设计是否满意与性别有关？满意不满意总计男顾客30女顾客10合计120参考公式：附0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828(2)从被调查的对新设计不满意的顾客中，按

16、男女分层抽样抽取9名客，再在9名顾客中抽取3名征求对新设计的改进建议，记抽取女顾客的个数为，求的分布列及期望值.【答案】(1)满意不满意总计男顾客302050女顾客601070合计9030120有99%的把握认为对新设计是否满意与性别有关(2)期望：【分析】（1）根据题意填写表格，再根据独立性检验公式求解即可；（2）先求出9名顾客中，男顾客有6名，女顾客有3名，再根据超几何分布求分布列和期望即可.【详解】(1)根据题意得如下表格：满意不满意总计男顾客302050女顾客601070合计9030120，所以有99%的把握认为对新设计是否满意与性别有关.(2)根据题意可知，9名顾客中，男顾客有6名，

17、女顾客有3名，所以的可能取值为：，所以的分布列为：所以19如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解【详解】(1)，四边形是梯形，四边形是正方形，故，又平面平面，平面，平面(2)如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，故平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为由题意得，解得故，20某市教育局对该市普通高中学生进行学业

18、水平测试，试卷满分120分现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望（正态分布参考数据：，）【答案】(1)中位数为，方差为；(2)4；分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据中位

19、数的定义求中位数，应用方差公式求成绩的方差.（2）应用正态分布特殊区间的概率求法求成绩在的概率，再求实验班学生30人中成绩在中的人数；由题设知且服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求期望.【详解】(1)这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，所以中位数为，平均数为，所以方差.(2)由（1）知：，该班学生成绩在的人数为.随机变量，显然X服从二项分布，其分布列为，其中，X01234P所以，.21已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边

20、形ODMP的面积；(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.【答案】(1)；(2)；(3)定值0，证明见解析.【分析】(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解.(2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得.(3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答.【详解】(1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：，于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，则有，所以双曲线C的方程为.(2)依题意，设点，则，即，当

21、时，此时，点M到直线DP：的距离为，而，如图，四边形ODMP的面积，所以四边形ODMP的面积为.(3)显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：，当时，恒成立，设，则有，因此，所以为定值0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22已知函数.（1）若在处取得极值，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若函数在上无零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【分析】（1）根据在处取极值可得，可求得，验证可知满足题意；根据导数的几何意义求得切线

22、斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（3）根据在上无零点可知在上的最大值和最小值符号一致；分别在，两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值，利用符号一致构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：在处取极值，解得：则当时，单调递减；当时，单调递增为的极小值点，满足题意函数当时，由得：在处的切线方程为：，即：（2）由题意知：函数的定义域为，当时若，恒成立，恒成立在内单调递减当时由，得：；由得：在内单调递减，在内单调递增综上所述：当时，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增（3）当时，在上单调递减在上无零点，且当时（i）若，即，则在上单调递增由，知符合题意（ii）若，即，则在上单调递减在上无零点，且（iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增，符合题意综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到导数几何意义、极值与导数的关系、讨论含参数函数的单调性、根据区间内零点个数求解参数范围问题.本题的关键是能够通过分类讨论的方式，确定导函数的符号，从而判断出函数的单调性以及最值.第 18 页 共 18 页