湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学（理）.doc

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1、20182019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：_一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数A12i B12i C2i D2i2已知全集UR，函数yln(1x)的定义域为M，集合Nx|x2x0，a2，命题q：x0R，sin x0cos x0，则下列判断正确的是Ap是假命题 Bq是真命题Cp(綈q)是真命题 D(綈p)q是真命题4已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则an的前10项和为A10 B8 C6 D85已知函数f(x)ex(aR)，若f(x)为奇函数，则曲线y

2、f(x)在x0处的切线方程为Ay2x Byx Cy2x Dyx6已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则A. BC. D.7某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产A9千台 B8千台 C6千台 D3千台8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为A.a B.a C.a D.a9已知直线l1：x1，l2：xy10，点P为抛物线y24x上的任意一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为A2 B. C1 D.10已知f(x)g(x)f(

3、x)xm，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是A1，) B1，0) C0，) D1，)11在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OMPF1，2|PF1|PF2|，则双曲线的离心率为A. B2 C. D.12已知函数f(x)xln x，g(x)x3x25.若对任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)0成立，则实数a的取值范围是A. B(，1C. D.答题卡题号123456789101112得分答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知x1，观察下列不等式：x2；x23；x34；按此规律，第

4、n个不等式为_14若x，y满足约束条件则zxy的最小值为_15.dxsin xdx_16若函数f(x)ax2xln x有两个极值点，则实数a的取值范围是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2c2a2S.()求A；()若a5，cos B，求c.18.(本小题满分12分)已知数列an，Sn是其前n项和，且满足3an2Snn(nN*)()求证：数列是等比数列；()记TnS1S2Sn，求T

5、n的表达式19.(本小题满分12分)如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上()证明：平面SAB平面SAD；()若AB1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值20.(本小题满分12分)已知圆M: x2y22y100和点N， Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.()求曲线E的方程；()点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线xtym交E于B、C两点，直线AB, AC的斜率分别是k1, k2，若k1k29，求：m的值；ABC面积的最大值21.(本

6、小题满分12分)已知函数f(x)x2axln x(aR)()讨论函数f(x)在定义域上的单调性；()令函数g(x)ex1x2af(x)，e2.718 28是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系()求圆C的普通方程及其极坐标方程；()设直线l的极坐标方程为sin2，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，

7、求线段PQ的长23选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x1|x1|.()解不等式f(x)2；()设函数f(x)的最小值为m，若a，b均为正数，且m，求ab的最小值20182019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1D2A【解析】函数yln(1x)的定义域为Mx|x1，Nx|x2x0x|0x1，结合选项MNN正确，选A.3C【解析】由均值不等式知p为真命题；因为sin x0cos x0sin，所以q为假命题，则綈q为真命题，所以p(綈q)为真命题故选C.4A【解析】由题意可得aa1

8、a4，即(a14)2a1(a16)，解之可得a18，故S10810210.故选A.5C【解析】由题意，因为函数f(x)ex(aR)为奇函数，则f(0)e00，解得a1，即f(x)ex，则f(x)ex，所以f(0)e02，即k2，且当x0时，f(0)e00，即切点的坐标为(0，0)，所以切线的方程为y2x，故选C.6B【解析】如图，过E作EFBC，由向量加法的平行四边形法则可知，故选B.7C【解析】f(x)y1y22x318x2，f(x)6x236x0，x6，故选C.8A【解析】如图，设a，b，c，则|.又ab0，ac0，bc0，|2，可得|a.或者建立空间直角坐标系来求解9B【解析】抛物线y2

9、4x，其焦点坐标F(1，0)，准线为x1也就是直线l1，故P到直线l1的距离就是P到F的距离如图所示，设P到直线l2的距离为d，则d|PF|，当且仅当P，E，F三点共线时等号成立，故选B.10A【解析】g(x)f(x)mx有两个零点，等价于f(x)mx0有两个根，即yf(x)与yxm有两个交点，画出yf(x)与yxm的图象，如图，由图可知，当yxm在y轴的截距不大于1时，两函数图象有两个交点，即m1，m1，m的取值范围是1，)，故选A.11C【解析】因为M是PF1的中点，O为F1F2的中点，所以OM为三角形F1PF2的中位线因为OMPF1，所以PF2PF1.又因为|PF2|PF1|2a，2|P

10、F1|PF2|，|F1F2|2c，所以|PF1|2a，|PF2|4a.在F1PF2中，PF2PF1，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.代入得(2a)2(4a)2(2c)2，所以5.即e.选C.12A【解析】根据题意，对任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)0，即f(x1)g(x2)，f(x)maxg(x)min恒成立，g(x)3x22x，在x内先增后减，g(2)g，故g(x)min1.则f(x)1，xln x1，解axx2ln x.令h(x)xx2ln x，则h(x)12xln xx，h(x)2ln x3.在区间内，h(x)0，x1，2时，h(x)n1142【解析】作出x，y满足

11、的约束条件表示的平面区域，得到如图的区域，其中A(1，1)，设zF(x，y)xy，将直线l：zxy进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z最小值F(1，1)112.故答案为：2.15.2【解析】由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于.sinxdx(cos x)|cos cos 02.dxsin xdx2.答案为：2.16a0【解析】f(x)xln xax2(x0)，f(x)ln x12ax.令g(x)ln x12ax，函数f(x)ax2xln x有两个极值点g(x)0在(0，)上有两个实数根g(x)2a，当a0时，g(x)0，函数g(x)在区间

12、(0，)上单调递增，因此g(x)0在区间(0，)上不可能有两个实数根，应舍去当a0时，令g(x)0，解得x.令g(x)0，解得0x，此时函数g(x)单调递增；令g(x)0，解得x，此时函数g(x)单调递减当x时，函数g(x)取得极大值要使g(x)0在区间(0，)上有两个实数根，则gln0，解得a0.实数a的取值范围是a，所以曲线E是以M, N为焦点，长轴长为2的椭圆，由a， c，得b2321，所以曲线E的方程为x21.4分()设B， C，直线BC: xtym，联立方程组， 得y26mty3m230，36t212m212，y1y2， y1y2，由k1k29知y1y2999t2y1y29t9，且m

13、1，代入化简得18mt230，解得m2.8分由36t212m21236(t21)0，解得t21，SABC (当且仅当t2时取等号)综上，ABC面积的最大值为.12分21【解析】()由已知x0，f(x)2xa，当a2时，f(x)0，则函数f(x)在(0，)单调递增. 2分当a0时，2x2ax10有两个正根，记x1，x2，当x(0，x1)时，f(x)0，f(x)递增，当x(x1，x2)时，f(x)0，f(x)递增综上，当a2时，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0，所以g(x)在(0，)上单调递增，当x0时，g(x)；x时，g(x)；所以g(x)R，所以g(x)在(0，)上有唯一零点x0，所以g(x0)为g(x)的最小值由已知函数g(x)有且只有一个零点m，则mx0.所以g(m)0，g(m)0，则则em1ln mm0，得(2m)em1ln m0，令p(x)(2x)ex1ln x(x0)，所以p(m)0，则p(x)(1x)，所以x(0，1)时，p(x)0，x(1，)时，p(x)0，p(e)(2e)ee11(2e)ee10，所以p(x)在(1，e)上有一个零点，在(e，)无零点，所以m0，b0，1，ab(ab)2，当且仅当时取等号，所以(ab)min.10分