8.6.1 直线与直线垂直（解析版）.docx

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1、 8.6.1直线与直线垂直导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角【自主学习】知识点1 异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.【合作探究】探究一 异面直线所成的角【例1】如图，已知正方体ABCDABC

2、D.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？解(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线(2)由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA45，所以直线BA和CC的夹角为45.(3)直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直归纳总结：“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关.【练习1】如图，已知在长方体A

3、BCDABCD中，AB2，AD2，AA2.(1)BC和AC所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？解(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.探究二 直线与直线垂直的证明【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1EF.解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1

4、G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.DB1EF.法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HEDB1.于是HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角连接HF，设AA11，则EF，HE，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF.HF2HI2IF2.HF2EF2HE2.HEF90.异面直线DB1与EF所成的角为90.DB1EF.归纳总结：证明两条异面直线垂直的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角.(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补

5、角).(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数.(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证.【练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG2，GE，EF3.求证：ACBD证明点G，E分别是CD，BC的中点，GEBD，同理GFACFGE或FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角在EFG中，FG2，GE，EF3，满足FG2GE2EF2，FGE90.即异面直线AC与BD所成的角是90.ACBD课后作业A组 基础题一、选择题1已知直线a，b，c，下列三个命题：若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若ab，a和c相交，则b和c也

6、相交；若ab，ac，则bc.其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D3【答案】A不正确如图；不正确，有可能相交也有可能异面；不正确可能平行，可能相交也可能异面2如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A30B45 C60D90【答案】C连接BC1、A1C1(图略)，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成角为60.3如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线

7、BC1C与AE共面CAE，B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60【答案】C由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误综上所述，故选C4在正方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60的有()A4条B6条 C8条D10条【答案】C如图所示在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1B1

8、是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60，同理ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60角5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A60B75 C90D105【答案】C设BB11，如图，延长CC1至C2，使C1C2CC11，连接B1C2，则B1C2BC1，所以AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)连接AC2，因为AB1，B1C2，AC2，所以ACABB1C，则AB1C290.二、填空题6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分

9、别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_【答案】90如图，过点M作MEDN交CC1于点E，连接A1E，则A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)设正方体的棱长为a，则A1Ma，MEa，A1Ea，所以A1M2ME2A1E2，所以A1ME90，则异面直线A1M与DN所成的角为90.7如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN等于_【答案】5取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN为异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5.8.一个正方

10、体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上结论中正确结论的序号为_【答案】把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确三、解答题9如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角解如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，EGCD，GFAB，且EGCD，GFABGFE就是EF与AB所成的角，EGGF.ABCD，EGGF.EGF90.EFG为等腰直角三角形GFE4

11、5，即EF与AB所成的角为45.10如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD中点求证：CD1EF.解取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBCF是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形且G为CD1的中点，DGCD1.D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.CD1EF.B组 能力提升一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在

12、线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A060B060C060D060【答案】D如图，连接CD1，AC，因为CD1BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即D1CP.当点P从D1向A运动时，D1CP从0增大到60，但当点P与D1重合时，CPBA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是060.2(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是()A15B30C60D75【答案】AD取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB

13、，且EGAB，FGCD，且FGCD，由ABCD知EGFG.易知GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.二、填空题3.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_【答案】60连接BC1，AD1，AB1，则EF为BCC1的中位线，EFBC1.又ABCDC1D1，四边形ABC1D1为平行四边形BC1AD1，EFAD1.A

14、D1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角在AB1D1中，易知AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形，AD1B160.EF与B1D1所成的角为60.三、解答题4.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B和AD1所成的角为90，试求AA1的长解连接CD1，AC由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角异面直线A1B和AD1所成的角为90，AD1C90.四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，ACD1是等腰直角三角形，AD1AC底面四边形ABCD是菱形，且ABBC2，ABC120，AC2sin 6026，AD1AC3，AA1.5.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60的角，且ADBCa，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？解AD与BC成60角，HGF60或120.设AEABx，则x.又BCa，EFax.由1x，得EHa(1x)S四边形EFGHEFEHsin 60axa(1x)a2(x2x)a2x2.当x时，S最大值a2，即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为a2.