4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用（学案）-2021-2022学年高一数学教材配套学案+课件+练习（人教A版2019必修第一册）.docx

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1、4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 【学习目标】课程标准学科素养1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；2.能借助指数函数图象及单调性比较大小；3.会解简单的指数方程、不等式；4.会判断指数型函数的奇偶性。1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】一指数函数图象位置关系一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：1.“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.2.指数函数yax与y

2、x(a0且a1)的图象关于 对称.二比较大小1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断；2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.三.解指数方程、不等式(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的 求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的 求解；(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解.四.指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有 的定义

3、域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a0.3b，则ab.()(2)函数y3x2在0，)上为增函数()(3)函数y2在其定义域上为减函数()(4)若am1，则m0.()【经典例题】题型一利用指数函数的单调性比较大小点拨：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.例1 比较下列各题中两个值的大小.1.72.5,1.73； 1.70.3,1.50.3； 1.70.3,0.83.1.【跟踪训练】1 设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acb C.bac D.bcay的不等式

4、：可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情况讨论(2)形如axb的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解例2 (1)不等式4xax7(a0且a1)，求x的取值范围【跟踪训练】2 已知集合M1,1，N，则MN ()A1,1 B1 C0 D1,0题型三指数型函数的单调性点拨：(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，求出

5、yf(x)的单调性.例3 判断f(x)()x2-2x的单调性，并求其值域【跟踪训练】3 求函数y 的单调区间.题型四指数函数性质的综合问题例4 已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围。【跟踪训练】4 已知函数f(x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域【当堂达标】1.已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是

6、减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数2.函数y1x的单调增区间为()A(，) B(0，) C(1，) D(0,1)3.(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）ABCD4.函数yx，y2x，y3x的图象(如图)分别是_.(用序号作答)5.不等式232x0，且a1).7.已知函数f(x)2x22x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在0,3上的值域8.设函数f(x)kaxax(a0，且a1)是定义在R上的奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x22x)f(4x2)0的解集【参考答案】【自主学习】

7、一由大变小 由大变小 y轴 二单调性 图象 中间值三单调性 单调性 四. 相同 相同 相反【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)【经典例题】例1 解1.71，y1.7x在(，)上是增函数.2.53，1.72.51.73.方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方.而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.【跟踪训练】1 C 解析：1.50.61.501，0.60.60.60.6，又函数y0.6x在(，)上是减函

8、数，且1.50.6，所以0.61.50.60.6，故0.61.50.60.61.50.6，选C.例2 （1） 解析4x423x，x23x，x1时，a5xax7，且函数yax为增函数，5xx7，解得x.当0aax7，且函数yax为减函数，5x.综上所述，当a1时，x的取值范围为.当0a1时，x的取值范围为.【跟踪训练】2 B 解析：2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN1例3 解：令ux22x，则原函数变为y()u.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y()u在(，)上递减，y()x2-2x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x

9、1)211，y()u，u1，)，01时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).例4 解：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知f(x)，故f(x)在R上为减函数.(3)f(x)为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k，k的取值范围是.【跟踪训练】4 (1)证明由题意知f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)解f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取x1，x

10、2R，且x1x2，f(x2)f(x1)(1)(1).x10, 10, 10，f(x2)f(x1)，f(x)为R上的增函数(3)解f(x)1，3x03x110220，111，即f(x)的值域为(1,1)【当堂达标】1.A 解析:f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数.y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.2.A 解析: 设t1x，则yt，则函数t1x的递减区间为(，),即为y1x的递增区间3.ACD 解析:对于A，正确；对于B，错误；对于C，在定义域中单调递增，正确；对于D，又，则，正确.4.，5. x|x1 解析: 原不等式可化为232x243

11、x，因为函数y2x是R上的增函数，所以32x43x，解得x1，则解集为x|x0.2，所以1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31.901，0.73.10.73.1.(3)当a1时，函数yax是R上的增函数，又1.32.5，故a1.3a2.5；当0a1时，函数yax是R上的减函数，又1.3a2.5.7.解: (1)函数y2x22x的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在1，)上是减函数综上，函数y2x22x的单调减

12、区间是1，)，单调增区间是(，1(2)由(1)知f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，且f(0)1，f(1)2，f(3)，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(3)，所以f(x)的值域为.8.(1)方法一：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即k10，k1.当k1时，f(x)axax，f(x)axax(axax)f(x)，故k1符合题意方法二：f(x)kaxax，f(x)kaxax，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)在定义域R上恒成立，解得k1.(2)f(1)a0，又a0，且a1，a1.yax，yax都是R上的增函数，f(x)是R上的增函数故f(x22x)f(4x2)0f(x22x)f(4x2)f(x24)x22xx24x2.f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为x|x2