【2022高中数学精品教案】4.3.1等比数列的概念 (2).docx

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1、4.3.1等比数列的概念 (2) 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等比数列的概念数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题B能够运用

2、等比数列的性质解决有关问题 1.数学抽象：等比数列的性质2.逻辑推理：类比等差数列性质推导等比数列性质3.数学运算：等比数列的运用4.数学建模：运用等比数列解决实际问题重点：运用等比数列解决简单的实际问题 难点：等比数列的综合运用多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新 二、典例解析例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利

3、息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a, a1+r，a1+r2构成等比数列.解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列an， 则an是等比数列，首项a1=1041+0.400%，公比q=1+0.400%，所以a12=a1q11=1041+0.400%1210490.7.所以，12个月后的利息为10490.7-104491（元）.解：（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列bn，则bn也是一个等比数列，首项 b1=1041+r，公比为1+r，于是 b4=1041+r4.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 1041+r4-10

4、4元.解不等式1041+r4-104491，得r1.206%.所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解跟踪训练1. 2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？解：(1)由题意可得16a(125%)n125a(120%)n1，解得n2，故到2019年两林场木材的总存量相等(2)令n

5、5，则a516a425a42(16a25a)，故到2021年不能翻一番例5. 已知数列an的首项a1=3.（1）若an为等差数列，公差d=2，证明数列3an为等比数列；（2）若an为等比数列，公比q=19，证明数列log3an为等差数列.分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由a1=3，d=2，得an的通项公式为an=2n+1.设bn=3an=32n+1，则 ： bn+1bn=32n+1+132n+1=9 ，又 b1=33=27,所以，3an是以 27为首项，9为公比的等比数列.证明（2）：由a1=3, q=19,得an=3(19)n-1

6、=33-2n两边取以3为底的对数，得log3an=log333-2n=3-2n.所以 log3an+1-log3an=3-2n+1-3-2n=-2.又 log3a1=log33=1，所以，log3an是首项为1，公差为-2的等差数列.1.若an是等差数列，则数列ban是等比数列；2.若数列an是各项均为正的等比数列，则数列logban是等差数列例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品

7、一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列an是等比数列，数列bn是等差数列,由于数列anbn既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，bn由题意，知an=10501.05n-1，bn=1-90%+0.4%n-1=0.104-0.004n,其中n=1,2,24,则从今年1月起，各月不合格产品的数量是an bn=10501.05n-1 （ 0.104-0.004n）由计算工具计算（精

8、确到0.1），并列表观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n6时，anbn递减，且a13b13100即可.由an+1bn+1anbn=1.05n+1104-4(n+1)1.05n104-4n5.所以，当n6时，anbn递减又 a13b13 98100,所以当13n24时, anbna13b130).则x=logam,于是1x=logma,同理1y=logmb,1z=logmc,因为1x,1y,1z成等差数列,所以2y=1x+1z,即2logmb=logma+logmc.因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.所以a,b,c成等比数列.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景-建立模型-求解-解释-应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。