【2022高中数学精品教案】3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx
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1、3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程,本节课主要学习抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上,通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重要内容,也是高考的重点与热点内容。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学.课程目标学科素养A.掌握抛物线的简单几何性质.B.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的
2、几何性质的异同.C.掌握直线与抛物线位置关系的判断。1.数学抽象:抛物线的几何性质 2.逻辑推理:运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算:运用抛物线的方程推导其几何性质4.直观想象:抛物线几何性质的简单应用重点:抛物线的简单几何性质及其应用 难点:直线与抛物线位置关系的判断 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题导学类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法,y2=2px(p0), 你认为应研究抛物线的哪些几何性质,如何研究这些性质?1. 范围 抛物线 y2 = 2px (p0) 在 y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M 的坐标 (x, y) 的横坐标满足不等式
3、x 0;当x 的值增大时,|y| 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸抛物线是无界曲线2. 对称性 观察图象,不难发现,抛物线 y2 = 2px (p0)关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线只有一条对称轴3. 顶点 抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0, 0) 4. 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率. 用 e 表示,e = 1探究如果抛物线的标准方程是y2=-2px(p0), x2=2py(p0), x2=-2py(p0), 那么抛物线的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率中,哪些与所表示
4、的抛物线是相同的?哪些是有区别的?抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=11.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14;(4)焦点到准线
5、的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.1. 判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()答案:(1)(2)(3)2.思考:怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴
6、和开口方向?解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0),依题意得x=p2,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,2|y|=2p=8,p=4.抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C问题思考(1
7、)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.二、典例解析例3. 已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点,并且经过点M 2,-22,求它的标准方程。解:因为抛物线的对称轴为x轴,它的顶点在原点,并且经过点M 2,-22,所以可设它
8、的标准方程为y2=2px(p0), 因为点M 2,-22在抛物线上,所以(-22)2=2p2解得p= 2因此,所求抛物线的标准方程是y2=4x 顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M 2,-22,的抛物线有几条?求出这些抛物线的标准方程。跟踪训练1 .设抛物线y=mx2(m0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.错解:由y=mx2(m0)可知其准线方程为y=-m4.由题意知-m4=-2,解得m=8,故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;二
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