【2022高中数学精品教案】6.4.1 平面几何中的向量方法（2）.docx

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1、【新教材】6.4.1 平面几何中的向量方法教学设计（人教A版）向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；

2、4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入提问：（1）若O为重心,则+= .（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本38-39页，思考并完成以下问题1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？要求：学生独立

3、完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积 表示出来(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化成向量问题 ；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系四、典例分析、举一反三题型 向量在几何中的应用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：【答案】见解析【解析】证明：不妨设a，b，则a+b，a-

4、b，|a|2，|b|2得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.【答案】见解析【解析】证明法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又ab，ba，所以a2abb2|a|2|b|20.故，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)

5、220，所以，即AFDE.解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化跟踪训练1如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上【答案】见解析【解析】证明：设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上2、在直角梯形ABCD中，ABCD

6、，CDADAB90，CDDAAB，求证：ACBC.【答案】见解析【解析】证法一：CDADAB90，ABCD，CDDAAB，故可设e1，e2，|e1|e2|，则2e2.e1e2，(e1e2)2e2e1e2.而(e1e2)(e1e2)ee|e1|2|e2|20，即ACBC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)(1,1)，(1,1)(1,1)(1,1)110.ACBC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.4.1 平面几何中的向量方法1、向量在几何中的应用 例1 例2 七、作业课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.