【2022高中数学精品教案】5.2.3简单复合函数的导数（教学设计）.docx

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1、5.2.3 简单复合函数的导数简单复合函数的导数本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习简单复合函数的导数本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标课程目标学科素养学科素养A.了解复合函数的概念B 理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数1.数学抽象：复合函数2.逻辑推理：复合函数的求导法则3.数学运算：复合函数的求导重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数多媒体教学过

2、程教学设计意图核心素养目标一、一、新知探究新知探究探究 1.如何求?何?导数呢？解析：方法一：?何?何?=?何?若求?何?的导数呢？还有其它求导方法吗？探究 2.如何求?何 ln?导数呢？分析：函数?何 ln?不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点若设?何?则?何?，从而?何 ln?可以看成是由?何?和?何?经过?复合?得到的，即?可以通过中间变量?表示为自变量的函数。如果把?与?的关系记作?何?，?和的关系记作?何?，那么这个?复合?过程可表示为若设?何?何?何 ln?1复合函数的概念一般地，对于两个函数 yf(u)和

3、 ug(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作_yf(g(x)思考：函数 ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数 ylog2(x1)是由 ylog2u 及 ux1两个函数复合而成的探究探究 3：求函数?何?的导数分析：令?何?,得?何?以?表示?对 的导数，?表示?对?的导数，一方面，?何?=?cosx?=2?提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。何 2?何?何?另一方面?何?u?=?，?何?2x?=2可以发现?何?何?何?2复合函数的求导法

4、则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx_，即 y 对 x 的导数等于_yuux;y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的;乘积1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 ysin(x)的复合过程是 ysin u，ux()(2)f(x)ln(3x1)则 f(x)13x1()(3)f(x)x2cos2x，则 f(x)2xcos2x2x2sin2x()提示(2)中 f(x)33x1.(3)中，f(x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案(1)(2)(3)2函数 y13x12的导数是()A63x13B63x12C63x13D63x12C y

5、13x12，y 213x13(3x 1)63x13.3下列对函数的求导正确的是()Ay(12x)3，则 y3(12x)2Bylog2(2x1)，则 y错误错误!Cycosx3，则 y13sinx3Dy22x1，则 y22xln 2DA 中，y6(12x)2，A 错误；B 中，y错误错误!，B 错误；C 中，y13sinx3，C 错误；D 中 y22x1ln 2(2x1)22xln 2.故 D 正确通过对复合函数的概念及求导法则的推导。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。二、二、典例解析典例解析例 6.求下列函数的导数（1）?何（?）?;（2）?何?;(3)?何 ln?解：（1）函数

6、?何（?）?可以看作函数?何?和?何?的复合函数，根据复合函数求导法则，有?何?=?=?3=?（?）?（2）函数?何?可以看作函数?何?和?何?的复合函数，根据复合函数求导法则，有?何?=?=?=?（3）函数?何 ln?可以看成是由?何?和?何?的复合函数，根据复合函数求导法则，有?何?=?=?=?1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟踪训练 1求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y12x13；(3)y5log2(1x)；(4)yln 3xex.解(1)函数 ye2x1可看作

7、函数 yeu和 u2x1 的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。(2)函数 y12x13可看作函数 yu3和 u2x1 的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)462x14.(3)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x)5uln 25x1ln 2.(4)(ln 3x)13x(3x)1x.yln 3xexln 3xexex21xln 3xex1xln 3xxex.例 7某个弹簧

8、振子在振动过程中的位移?(单位:mm),关于时间?(单位:s)的函数满足关系式?何?sin?.求函数在时的导数，并解释它的实际意义。解：函数?何?sin?可以看作函数?何?和?何?的复合函数，根据复合函数的求导法则，有?何?=?=?=?cos?当?=3 时，?何?cos?=0它表示当?=3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为 0mm/s跟踪训练 2求下列函数的导数：(1)ycosx2sinx2cosx2；(2)yx2tan x.思路探究先将给出的解析式化简整理，再求导解(1)ycosx2sinx2cosx2 cosx2sinx2cos2x212sin x12(1cos x)12(sin xcos

9、x)12，y12sin xcos x1212(sin xcos x)12(cos xsin x)(2)因为 yx2sin xcos x，所以 y(x2)sin xcos x2xcos2xsin xsin xcos2x2x1cos2x.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.三、达标检测1函数 y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx21

10、答案A2函数 yx2cos 2x 的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知 f(x)ln(3x1)，则 f(1)_.32f(x)13x1(3x1)33x1，f(1)331132.4已知 f(x)xex，则 f(x)在 x2 处的切线斜率是_1e2f(x)xex，f(x)exxex(1x)ex，f(2)1e2.根据导数的几何意义知 f(x)在 x2

11、处的切线斜率为 kf(2)1e2.5求下列函数的导数：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。从问题出发，引导学生探究复合函数的求导问题，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)yx 1x2.解(1)令 u3x2，则 y10u.所以 yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.2)令 uexx2，则 yln u.yxyuux1u(exx2)ex2xexx2.(3)y(x 1x2)1x2x(1x2)1x2x21x2错

12、误错误!.6.曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是?解解：设曲线 yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线 2xy30 平行y22x1，y|xx022x012，解得 x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0)切点(1，0)到直线 2xy 30 的距离为 d|203|41 5，即曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是 5.四、小结1 求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁2和与差的运算法则可以推广f(x1)f(x2)f(xn)f(x1)f(x2)f(xn)五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。