数学分析课件第四版华东师大研制--第10章-定积分的应用.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在一、直角坐标方程表示的平面图形的 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 面积各种表示形式下的面积.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页平面图形的面积一、直角坐标方程表示的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页通过上移通过上移返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由定积分的几何意义，可知由定积分的几何意义，可知 A 的面积为的面积为例例1 1解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是返回返回返回返回后页后

2、页后页后页前页前页前页前页于是于是例例2解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页显然显然,由于由于 g1(y),g2(y)不是不是分段定义的函数分段定义的函数,比较比较 容易计算容易计算.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、参数方程表示的 平面图形的面积设曲线设曲线C 由参数方程由参数方程表示表示,积为积为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此,不论不论 x(t)递递增或递减增或递减,若上述曲线若上述曲线C 是封闭的，即是封闭的，即返回返回返回返回后

3、页后页后页后页前页前页前页前页则由则由C 所围的平面图形所围的平面图形 A 的面积同样是的面积同样是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解所围图形的面积所围图形的面积.与与 x 轴轴例例3 3返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、极坐标表示的平面图形的面积由曲线由曲线 C 设曲线设曲线C 的极坐标方程为的极坐标方程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而由于由于设设返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此例例4解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5由图形的对称性由图形的对称性,解解 a/2 aOx返回返回返回返回

4、后页后页后页后页前页前页前页前页解解例例6注注 也可利用对称性也可利用对称性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 由平行截面面积求体积面面 x=a,x=b 之间之间(a b).作垂直于作垂直于 x 为三维空间中一立体为三维空间中一立体,它夹在垂直于它夹在垂直于 x 轴的两平轴的两平 轴的平面轴的平面,截得截得 的截面面积为的截面面积为 A(x).返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证若若A(x)在在于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 求由两个圆柱面求由两个圆柱面围立

5、体的体积围立体的体积.解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以下讨论旋转体的体积以下讨论旋转体的体积.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2旋转一周所得环状立体的体积旋转一周所得环状立体的体积.解解从而从而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1 设平面曲线设平面曲线 C 由以下参数方程表示由以下参数方程表示:3 平面曲线的弧长与曲率本节定义光滑曲线的弧长本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计并用定积分给出弧长计算公式算公式.

6、一、平面曲线的弧长返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义2 设平面曲线设平面曲线 C 由参数方程由参数方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页曲线曲线,则则 C 是可求长的是可求长的,且弧且弧长为长为定理定理10.1(光滑曲线弧长公式光滑曲线弧长公式)设曲线设曲线 C 由参数方由参数方若若C为一光滑为一光滑返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由第一章由第一章1习题习题 6 可知可知于是于是,返回返回返回返回后页后页后页后页

7、前页前页前页前页即即从而从而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此当因此当 f 在在 a,b 上连续可微时上连续可微时,示示,则则 C 又又可可看作看作注注1 若曲线若曲线 C 由直角坐标方程由直角坐标方程表示表示,则则 C 亦可看作亦可看作注注2 若曲线若曲线 C 由极坐标方程由极坐标方程由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解例例1a返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 2解解解解段段弧长弧长.例例3 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在光滑曲在光滑曲线线 上上,弧段弧段 与与

8、的长度相差不的长度相差不*二、平面曲线的曲率曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示如图所示,多而弯曲程度却很不一多而弯曲程度却很不一样样.转过的角度转过的角度 要大得多要大得多比动点从比动点从Q 移到移到 R 时切线时切线.到到Q 时时,切线转过的角度切线转过的角度这反映动点沿曲线从这反映动点沿曲线从P 移移返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设设 表示曲线在点表示曲线在点 处切线的倾角处切线的倾角,表示动点由表示动点由 P 沿曲沿曲线线移至移至时时切切线倾线倾角的增量角的增量.若若之之长为长为,则则称称为弧段为弧段 的平均曲率的平均曲率.如

9、果存在有限极限如果存在有限极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则称此极限则称此极限 K 为曲线为曲线 C 在点在点 P 的曲率的曲率.由于曲线光滑由于曲线光滑,故总有故总有 可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即若曲若曲线线由由 表示表示,则则例例1 求求椭圆椭圆 上曲率上曲率解解 由于由于最大和最小的点最大和最小的点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此椭圆在各点的曲率为因此椭圆在各点的曲率为当当 时时,在在 处曲率最大处曲率最大,在在 由例由例1 1可得可得,若若 则则各点各点处处曲率相等曲率相等,为为 处曲率最小处曲率最小,返回返回返

10、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页显显然然,直直线线上各点上各点处处的曲率的曲率为为 0.设设曲曲线线上一点上一点P处处曲率曲率 若过若过 P 作一个半径为作一个半径为的的圆圆,使它在点使它在点 P 处处与曲与曲线线有相同的切有相同的切线线,并在并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧近旁与曲线位于切线的同侧(见图见图).).在在 P 处的曲率圆处的曲率圆.曲率圆曲率圆率圆的圆心称为曲率中心率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径的半径称为曲率半径,曲曲我们把这个圆称为曲线我们把这个圆称为曲线返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页火车轨道从直道进入半径为火车轨道从直道进入半径为 R

11、的的(使火车的向心加速度使火车的向心加速度以保证火车行驶安全以保证火车行驶安全道道(用虚线表示用虚线表示),使得曲率由零连续地变到使得曲率由零连续地变到圆形弯道时圆形弯道时,为了行车安全为了行车安全,必须经过一段缓冲轨必须经过一段缓冲轨 例例2 如图所示如图所示,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对对此曲此曲线线用曲率公式求得用曲率公式求得:缓冲曲线常采用三次缓冲曲线常采用三次曲线曲线返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的曲的曲率从率从 0 渐渐增加到接近于渐渐增加到接近于 从而起到缓冲从而起到缓冲因此曲因此曲线线段段 作用作用.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前

12、页前页前页4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,都可按“分一、微元法二、旋转曲面的面积用以导出旋转曲面面积的计算公式.“微元法”来处理.本节将介绍微元法,并量的积分形式,但在实际应用中又常用割、近似、求极限”三个步骤导出所求返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则,且且当当上的连续函数时，若令上的连续函数时，若令一、微元法现在恰好要把问题倒过来现在恰好要把问题倒过来:若所求量若所求量 是分布在区是分布在区 或者说它是该区间的端点或者说它是该区间的端点 x 的函数的函数,即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 f 为某一连续函数为某一连续函数

13、,而且当时而且当时,而且当而且当 x=b 时时,适为最终所求的值适为最终所求的值.那么只要把那么只要把计算出来计算出来,就是该问题所就是该问题所在任意小区间上在任意小区间上,若能把若能把 的的微小增量近似表示为的线性形式微小增量近似表示为的线性形式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在一般情况下在一般情况下,要严格检验要严格检验以上方法通常称为以上方法通常称为微元法微元法,在用微元法时在用微元法时,应注意应注意:求的结果求的结果.(2)微元法的关键是正确给出微元法的关键是正确给出的近似表达式的近似表达式为为的高阶无穷小量不是一件容易的事的高阶无穷小量不是一件容易的事.(1)所求量

14、所求量 关于分布区间必须是可加的关于分布区间必须是可加的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这段曲线绕这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面(如下图如下图).设平面光滑曲线设平面光滑曲线 C 的方程为的方程为二、旋转曲面的面积通过通过 x 轴上点轴上点 x 与与 分别作垂直于分别作垂直于 x 轴的平轴的平 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中由于由于时时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,即即面面,它们在旋转曲面上截下一条狭带它们在旋转曲面上截下一条狭带.当很小当很小返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页

15、前页前页因此由的连续性可以保证因此由的连续性可以保证所以得到所以得到如果光滑曲线由参数方程如果光滑曲线由参数方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页给出给出,且且则曲线则曲线 C 绕绕 x 轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转曲面的面积为曲面的面积为例例1 求将椭圆求将椭圆绕绕 x 轴旋转轴旋转所得所得椭球面的面积椭球面的面积.解解 将上半椭圆写成参数方程将上半椭圆写成参数方程返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 求心脏线求心脏线绕极轴旋转所得曲绕极轴旋转所得曲面的面积面的

16、面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解解 将曲线用参数方程表示将曲线用参数方程表示:于是于是请读者自行指出这应该怎么做？请读者自行指出这应该怎么做？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5 定积分在物理中的应用定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问一、液体静压力应用微元法化为计算题中,常遇到的物理量具有连续性与可加性.要求 三、功与功率二、引力返回返回返回返回出某物理量 ,重要的是找到 然后返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 如图所示为管道如图所示为管道一、

17、液体静压力解解 取圆心为原点取圆心为原点,建立坐标系如图建立坐标系如图.此时圆的此时圆的方方的静压力为多大的静压力为多大(设水设水径时径时,闸门所受到的水闸门所受到的水 米米).).问水平面齐及直问水平面齐及直 的圆形闸门的圆形闸门(半径为半径为 3的比重为的比重为 )？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于在相同深度处水的静压强相同由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水的其值等于水的而总静压力为各狭条所受的静压力之和而总静压力为各狭条所受的静压力之和,因此因此程为程为比重与深度的乘积比重与深度的乘积,故当故当 很小时很小时,从深度从深度 x 到到 x的狭条的狭条 上所受的静

18、压力为上所受的静压力为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、引 力例例2 一根长为一根长为 l 的均匀细的均匀细解解 建立直角坐标系建立直角坐标系如图所示如图所示.细杆位于细杆位于 x 轴上的轴上的 质点位于质点位于 y 轴上点轴上点 a.任取任取质点的万有引力质点的万有引力.量为量为 m 的质点的质点,试求细杆对试求细杆对 上相距细杆为上相距细杆为 a 处有一质处有一质 杆杆,质量为质量为 M,在其中垂线在其中垂线 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则其质量微元为则其质量微元为它对质点它对质点 m 的引力为的引力为由于细杆上各点对质点由于细杆上各点对质点m的引力

19、方向不同的引力方向不同,因此不因此不能直接对能直接对 dF 积分积分,为此将为此将 dF 分解到分解到 x 轴和轴和 y 轴轴返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页两个方向上两个方向上,得得得垂直方向总合力为得垂直方向总合力为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页负号表示合力与负号表示合力与 y 轴方向相反轴方向相反.例例3返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页间的作用力间的作用力.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 一圆锥形水池一圆锥形水池,池池三

20、、功与功率解解 如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系.的功的功?全部池水抽出池外需作全部池水抽出池外需作池中盛满了水池中盛满了水.试求将试求将口直径口直径 30 米米,深深 10米米,将池中深度为将池中深度为 x 到到 x+的一薄层水抽到池口的一薄层水抽到池口xx+x返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所作的功所作的功 W 的微元为的微元为 而而因此因此于是求得于是求得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5解解显然显然,只须计算在一个周期上的平均功率只须计算在一个周期上的平均功率.这时这时返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后

21、页前页前页前页前页*6 定积分的近似计算 利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计近似计算方法.数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的算定积分的值,但它仅适合被积函数的原函返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据定积分的定义根据定积分的定义,在几何意义上在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边这是用一系列小矩形来近似小曲边两种方法两种方法.法法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的梯形面积的结果梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为所以把这个近似计算法称为矩形矩形返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、梯形法

22、 将将积积分区分区间间相应的被积函数值记为相应的被积函数值记为 曲曲线线 上相应的点记为上相应的点记为 将曲将曲线线上每一段上每一段 这使每个小这使每个小返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是,整个曲边梯形面积的近似值为整个曲边梯形面积的近似值为 即即 曲边梯形换成了梯形曲边梯形换成了梯形,其面积为其面积为以上近似式称以上近似式称为为定定积积分的梯形法公式分的梯形法公式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、抛物线法由梯形法求定由梯形法求定积积分的近似分的近似值值,当当 为凸曲为凸曲线线时时偏大偏大,为为凹曲凹曲线时线时偏小偏小.用抛物用抛物线线法可克服上法可克

23、服上述缺点述缺点.将将积积分区分区间间 分点为分点为:相应的被积函数值记为相应的被积函数值记为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页曲曲线线 上相应的点上相应的点记记为为现现把区把区间间上的曲上的曲线线用通用通过过三点三点 的抛物的抛物线线 来近似替代来近似替代,便有便有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 将得到将得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页最后得到最后得到 即即 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式.例例 计计算算 的近似值的近似值.解解 将区将区间间 十等分，

24、各分点上被积函数的值列十等分，各分点上被积函数的值列表如下：表如下：xi00.10.20.30.40.5yi10.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000 xi0.60.70.80.91yi0.73529410.67114090.60975610.55248620.5返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(1)用矩形法公式用矩形法公式(2)用梯形法用梯形法(3)用抛物线法用抛物线法 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与精确值与精确值 相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的;梯梯位有效数字是准确的位有效数字是准确的.形法有三位有效数字是准确的形法有三位有效数字是准确的;后而抛物线法有六后而抛物线法有六