高等数学无穷级数 (3)优秀PPT.ppt

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1、高等数学无穷级数第一页，本课件共有52页1.函数项级数的定义设有一函数序列为定义在区间 I 上的函数项级数.一、一般函数项级数第二页，本课件共有52页函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数第三页，本课件共有52页2.函数项级数的敛散性的收敛点.的发散点.第四页，本课件共有52页它的收敛域,记为 D.它的发散域.第五页，本课件共有52页3.函数项级数的和函数为函数项级数的和函数.第六页，本课件共有52页称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：不论级数在点处是否收敛,均可写出其部分和.如果级数在点处收敛,则有第七页，本课件共有52页4.函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数的敛

2、散性判别法,判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.第八页，本课件共有52页并求其收敛域.即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为解解例例1第九页，本课件共有52页的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.故该级数的收敛域为:要打开思路!解解例例2第十页，本课件共有52页形如的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.1.幂级数的定义幂级数的定义二.幂级数及其敛散性第十一页，本课件共有52页幂级数的一般形式为第十二页，本课件共有52页当幂级数收敛时,由可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当 n 的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.第十三页，本课件共有52页由

3、此可联想到什么？首先进行分析：则由收敛的必要条件,有而有极限的量必有界,故2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性第十四页，本课件共有52页它是收敛的,结论结论:第十五页，本课件共有52页（）收敛以上分析结论的图示以上分析结论的图示:第十六页，本课件共有52页（）发散若在外部一点收敛,会怎么样？若在内部一点收敛,会怎么样？不怎么样推出推出第十七页，本课件共有52页则由上面的分析可知,所有满足这与假设矛盾.该矛盾说明:当原级数发散.第十八页，本课件共有52页由以上的分析发现：既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界是关

4、于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.第十九页，本课件共有52页（）收发幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.当幂级数仅在第二十页，本课件共有52页 现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.第二十一页，本课件共有52页阿贝尔定理阿贝尔定理第二十二页，本课件共有52页幂级数敛散性定理幂级数敛散性定理都存在一个非负第二十三页，本课件共有52页幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数的收敛半径.如何求收敛半径？第二十四页，本课件共有52页求收

5、敛半径的定理求收敛半径的定理 你能证明吗?有点像达朗贝尔判别法？第二十五页，本课件共有52页由达朗贝尔判别法：讨论要证证第二十六页，本课件共有52页第二十七页，本课件共有52页第二十八页，本课件共有52页故此时幂级数发散,仅当第二十九页，本课件共有52页例例3解解综上所述,得:第三十页，本课件共有52页谁的收敛半径？例例4解解第三十一页，本课件共有52页由交错级数判别法,可知此时级数收敛.第三十二页，本课件共有52页例例5解解第三十三页，本课件共有52页由级数收敛的必要条件,可知综上所述,第三十四页，本课件共有52页这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式.今后遇到这类级数

6、应该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗贝尔判别法.例例6解解第三十五页，本课件共有52页3.幂级数的运算幂级数的运算幂级数的四则运算幂级数的四则运算第三十六页，本课件共有52页设有两个幂级数则有以下运算规则第三十七页，本课件共有52页1.1.加、减法加、减法第三十八页，本课件共有52页2.2.乘乘 法法 (对角线法对角线法)第三十九页，本课件共有52页第四十页，本课件共有52页就是说,在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.第四十一页，本课件共有52页由收敛的必要条件知原级数发散.例例7解解第四十二页，本课件共有52页1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的在收敛

7、区间端点处是指和函数的左、右连续性.4.幂级数的幂级数的解析性质解析性质第四十三页，本课件共有52页2幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性,且在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.第四十四页，本课件共有52页3幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性，且逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值.第四十五页，本课件共有52页首项为 x,公比为 x.例1解第四十六页，本课件共有52页例2解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得第四十七页，本课件共有52页第四十八页，本课件共有52页 请自己完成例3分析第四十九页，本课件共有52页在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.幂级数的性质多好啊！第五十页，本课件共有52页